2025年江苏省射阳县盘湾中学、陈洋中学数学高二第一学期期末预测试题含解析.doc

2025年江苏省射阳县盘湾中学、陈洋中学数学高二第一学期期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相切
C.相离 D.与k有关
2．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）
A. B.
C. D.
3．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为 4 天，那么感染人数超过 1000 人大约需要（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染）
A.20 天 B.24 天
C.28 天 D.32 天
4．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）
A. B.
C. D.
5．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：
满意程度
学生族
上班族
退休族
满意

一般

不满意

记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.
则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
6．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7．已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A.长轴长为2 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
8．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ）
A.30尺 B.40尺
C.6尺 D.60尺
10．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，的面积为，则（ ）
A. B.
C. D.
11．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）
A.1 B.2
C.4 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则实数m的值是___________.
14．设为曲线上一点，，，若，则__________
15．已知双曲线的渐近线上两点A，B的中点坐标为（2，2），则直线AB的斜率是 _________ .
16．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）记数列的前n项和为，已知点在函数的图像上
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前9项和
18．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
19．（12分）在①(b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)=－1+2sin2 ， ③acosC=b－c ，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求 b+c
20．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中各项的系数之和
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，.

（1）证明：平面；
（2）已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
22．（10分）已知等比数列满足，.
（1）求数列的前8项和；
（2）求数列的前项积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为
，半径为,
由可知，则该直线恒过定点，
将点代入圆的方程可得，则点在圆内，
则直线与圆的位置关系为相交.
故选：.
2、A
【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.
【详解】如图，连接、，∵M是的中点，

∴是的中位线，∴，且，
根据双曲线的定义，得，∴，
∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，
∴，可得，
中，，即得，
，解得，即，得.
由此得双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.
3、B
【解析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程
4、A
【解析】利用古典概型的概率公式求解.
【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：
，
其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，
所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，
故选：A
5、A
【解析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.
【详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；
样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，
方差为，命题正确，
所以为真，、、为假命题，
故选：
6、C
【解析】利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
7、D
【解析】根据已知条件求得，由此确定正确答案.
【详解】依题意椭圆，
所以，
所以长轴长为，焦距为，短轴长为，ABC选项错误.
离心率为，D选项正确.
故选：D
8、C
【解析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】已知，若，即，解得.
若数列是单调递增数列，对任意的，，即，
所以，对任意的恒成立，故，
因此，“”是“是单调递增数列”充要条件.
故选：C.
9、A
【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.
【详解】由题女子织布数成等差数列，设第日织布为，有，所以
，
故选:A.
10、C
【解析】利用面积公式，求出，进而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出
【详解】由面积公式得：，
因为的面积为，所以，求得：
因，所以
由余弦定理得：
所以
由正弦定理得：，即，解得：
故选：C
11、A
【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.
【详解】如下图：
设直线l的方程为即

圆心为，半径是1
又直线与圆有两个不同的交点

故选：A

12、C
【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
14、4
【解析】化简曲线方程，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果
【详解】由，得，即，故为双曲线右支上一点，且分别为该双曲线的左、右焦点，则，.
【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础
15、##
【解析】设出直线的方程，通过联立直线的方程和渐近线的方程，结合中点的坐标来求得直线的斜率.
【详解】双曲线，，渐近线方程为，
设直线的方程为，，
由，
由，
所以，
所以直线的斜率是.
故答案为：
16、
【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：
令，此时，，于是直线过定点
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用的关系可求.
（2）利用裂项相消法可求数列的前9项和
【小问1详解】
由题意知
当时，；
当时，，适合上式
所以
【小问2详解】

则
18、（1）
（2）或
【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；
（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.
【小问1详解】
由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
19、（1）
（2）
【解析】（1）选①：化边为角化简求出cos；
选②：利用倍角公式将sin() = − 1 + 2sin2化简为sin = −cos,再利用辅助角公式求解即可；
选③：化边为角化简运算求解
（2）利用面积公式求得，再利用余弦定理可得，计算即可.
【小问1详解】
选①∵
∴sincos= sinCcos+ sincosC= sin(+ C) = sin
∴cos
∵ ∈ ,∴ =
选②∵sin() = − 1 + 2sin2 ,∴sin = −cos
∴sin( + A) = 1
∵A ∈∴A =
选③∵
∴
∴
∵A ∈ ,∴A =
【小问2详解】
∵ ,∴
又∵

∴ 即
20、（1）60（2）①1024；②1
【解析】（1）根据二项式定理求解
（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值
【小问1详解】
若，则，（，…，9）
令∴∴常数项为.
【小问2详解】
，（，…，）
，解得
①
②令，得系数和为
21、（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】（1）利用平面与平面垂直的性质得出直线与平面垂直，进而得出平面；
（2）建立空间直角坐标系即可求解.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，交线为
且平面中，
所以平面
又平面
所以
又，且
所以平面
【小问2详解】
解：由（1）知，平面且
所以、、两两垂直
因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，，，设
所以，，，，
由（1）知，平面
所以为平面的法向量且

因为直线与平面所成角的正弦值为
所以
解得：
所以，又，，
所以，，，
设平面与平面的法向量分别为：，
所以，
令，则
令，则，，即
设平面与平面夹角为
则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，求出公比，然后由等比数列前项和公式可得答案.
（2） 先得出通项公式，然后可得，由指数的运算性质，结合由等差数列前项和公式可得答案.
小问1详解】
设等比数列的公比为，，解得
所以
所以
【小问2详解】