贵州省六盘水市第二中学2026届数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

贵州省六盘水市第二中学2026届数学高二第一学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数f(x)＝－1＋lnx，对∀x0，f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是（）
A(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
2．已知全集，集合，则（）
A. B.
C. D.
3．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（ ）
A.43 B.44
C.45 D.46
4．直线的倾斜角为（）
A B.
C. D.
5．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（）
A.10 B.8
C.6 D.4
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. B.
C.2 D.
7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　）
A 或3 B.
C. D.1或
10．数列满足，，则（　　　　）
A. B.
C. D.2
11．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）
A.2 B.4
C.6 D.8
12．与空间向量共线的一个向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________
14．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______

15． “第七届全国画院美术作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在郑州美术馆展出.已知某油画作品高2米，宽6米，画的底部离地有2.7米（如图所示）.有一身高为1.8米的游客从正面观赏它（该游客头顶E到眼睛C的距离为10），设该游客离墙距离CD为x米，视角为.为使观赏视角最大，x应为___________米.

16．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间上的棵数为______.
参考数据：若，则，，.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（1）已知等轴双曲线的上顶点到一条渐近线的距离为，求此双曲线的方程；
（2）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求线段的长
18．（12分）立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：
体能
文化
一般
良好
优秀
一般
0

良好
3

优秀
2

例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人
（1）若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；
（2）在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；
（3）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）
19．（12分）已知，，其中
（1）已知，若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.

（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角的正弦值.
21．（12分）已知为直角梯形，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）（1）求函数的单调区间.
（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由导数求得的最小值，由最小值非负可得的范围
【详解】定义域是，，
若，则在上恒成立，单调递增，，不合题意；
若，则时，，递减，时，，递增，
所以时，取得极小值也是最小值，
由题意，解得
故选：B
2、B
【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.
【详解】全集，集合，
则，故
故选：B
3、C
【解析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由等差数列中，满足，
根据等差数列的性质，可得，所以，则.
故选：C.
4、C
【解析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
∵，所以.
故选：C
5、B
【解析】根据抛物线的定义求解
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，
所以，
故选：B
6、A
【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心
，又点在圆上，
，即
，故选A

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来
7、C
【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.
故选：C.
8、A
【解析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.
【详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A
9、B
【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.
【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，
∴
解得 m=﹣1，
故选B
【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：
已知，
，
则，

10、C
【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案
【详解】解：∵数列满足，，
∴，，，，
故数列以4为周期呈现周期性变化，
由，
故，
故选C
【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档
11、B
【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：

∵，，三点共线，
∴是圆的直径，
∴，轴，
又为的中点，且点到准线的距离为2，
∴，
由抛物线的定义可得，
故选：B.
12、C
【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.
【详解】.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
即 (d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立
所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.
14、
【解析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可
【详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，

所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以，
所以，EH=，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得：，，
设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，
则三棱锥的外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，
15、
【解析】设，进而得到，，从而求出，再利用基本不等式即可求得答案.
【详解】设，则，，所以，当且仅当时取“=”.
所以该游客离墙距离为米时，观赏视角最大.
故答案为：.
16、1359
【解析】由已知求得，则，结合已知求得，乘以10000得答案
【详解】解：由，得，
又，，
则
，
估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为
故答案为：1359

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）8.
【解析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，再由点到直线距离公式求解即可；
（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.
【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，
可得，
解得，故双曲线方程
（2）抛物线的焦点为
直线的方程为，即
与抛物线方程联立，得，
消，整理得，设其两根为，，且
由抛物线的定义可知，
所以，线段的长是
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
18、（1），；
（2）；
（3）.
【解析】（1）由题设可得求参数a，结合表格数据及已知总学生人数求参数b.
（2）应用列举法求古典概型的概率.
（3）应用表格数据及方差公式可得且，即可确定成绩方差最小对应的值.
【小问1详解】
设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生
由题意知，体能或文化优秀的学生共有人，则，解得
所以；
【小问2详解】
体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为；文化成绩良好的人记为；文化成绩优秀的人记为
从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间，
设事件：至少有一个人文化的成绩为优秀，，

所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是；
【小问3详解】
由题设知：体能测试成绩，{一般，良好，优秀}人数分别为{5，，}，对应平均分为{100,120,140}，
所以体能测试平均成绩，
所以，而
所以当时最小.
19、（1）（2）
【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）由，解得，所以
又 ，因为，解得，
所以．当时，，
又为真，所以.
（2）由是的充分不必要条件，即，，
其逆否命题为，
由（1），，
所以，即：
【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有命题的真假判断与应用，充分不必要条件对应的等价结果，注意原命题与逆否命题等价，属于简单题目.
20、（1）
（2）
【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.
（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.
【小问1详解】
因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，
可知，是正三角形.
过P在平面PAB内作，垂足为E，
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
是直线PD与平面ABCD所成角.
在正中，，，所以，
故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为，平面平面ABCD，平面平面ABCD
又平面ABCD，所以平面PAB.
又平面PAB.则
过B在平面PAB内作，垂足为F，连结CF，
又,则 平面, 又平面
所以，所以是二面角的平面角.
因为，，所以，
从而
所以二面角正弦值为.

21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】建立空间直角坐标系.
（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.
方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.
（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
可得，，，.
（1）证明法一：因为，，，
所以，，
所以，，，平面，平面，
所以平面.
证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，
所以平面.

（2）由（1）知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
又，，
且
所以
所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得
【详解】（1）解：定义域为R，
，
，解得，.
当或时，，
当时，.
所以的单调减区间为和，单调增区间为.
（2）证明：在直线a上取非零向量，
因为，所以是直线l的方向向量，
设是平面的一个法向量，因为，所以.
又，所以.