2026届安徽省蚌埠铁中数学高二第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2026届安徽省蚌埠铁中数学高二第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（ ）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A.148 B.116
C.222 D.325
2．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（）
A.72 B.90
C.36 D.45
3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）
A.7 B.10
C.12 D.14
4．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（）
（次数/分钟）
20
30
40
50
60
（℃）
25
27.5
29
32.5
36
A.的值是20
B.变量，呈正相关关系
C.若的值增加1，则的值约增加0.25
D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
5．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（）
A.－1 B.0
C.1 D.－6
6．设，为双曲线的上，下两个焦点，过的直线l交该双曲线的下支于A，B两点，且满足，，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
7． “五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去两安，一人去云南.回来后，三人对去向作了如下陈述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人陈述都只对了一半(关于去向的地点仅对一个).根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（）
A.甲去了西安 B.乙去了北京
C.丙去了西安 D.甲去了云南
8．函数f（x）＝的图象大致形状是（　　）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若在处取得极值，且恒成立，则实数的最大值为（）
A. B.
C. D.
10．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（ ）
A. B.
C. D.
12．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数x、y满足，则的最小值等于________.
14．已知数列前项和为，且，则_______.
15．已知数列满足，则的最小值为__________．的前20项和为________
16．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在正方体中，为棱的中点.求证：

（1）平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
18．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是边长为的等边三角形，，、分别在棱、上，且.

（1）求证：底面；
（2）在棱上找一点，使得和面所成角的余弦值为，并说明理由.
19．（12分）在数列中，，且.
（1）证明；数列是等比数列.
（2）若，求数列的前n项和.
20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.

（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.
21．（12分）两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，
（1）分别求以获胜、以获胜的概率；
（2）若前两局双方战成，后因为其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？
22．（10分）已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.
（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：A.
2、B
【解析】由题意结合成等比数列，有即可得，进而得到、，即可求.
【详解】由题意知：，，又成等比数列，
∴，解之得，
∴，则，
∴，
故选：B
【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量
1、由成等比，即；
2、等差数列前n项和公式的应用.
3、A
【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.
【详解】
因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.
故选：A.
4、D
【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.
【详解】由题意，得，
，
则，故A正确；
由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确；
若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：D.
5、D
【解析】根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
6、A
【解析】设，表示出，由勾股定理列式计算得，然后在，再由勾股定理列式，计算离心率.
【详解】由题意得，，且，如图所示，

设，由双曲线的定义可得，，因为，所以，得，所以，在中，，即.
故选：A
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)
7、D
【解析】根据题意，先假设甲去了北京正确，则可分析其他人的陈述是否符合题意，再假设乙去西安正确，分析其他人的陈述是否符合题意，即可得答案.
【详解】由题意得，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半，
假设甲去了北京正确，
对于甲的陈述：则乙去西安错误，则乙去了云南；
对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；
对于丙的陈述：甲去了云南错误，乙去了北京也错误，故假设错误.
假设乙去了西安正确，
对于甲的陈述：则甲去了北京错误，则甲去了云南；
对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；
对于丙的陈述：甲去了云南正确，乙去了北京错误，
此种假设满足题意，故甲去了云南.
故选：D
8、B
【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B
9、D
【解析】根据已知在处取得极值，可得，将在恒成立，转化为，只需求，求出最小值即可得答案
【详解】解：，，
由在处取得极值，得，解得，
所以，，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在处取得极小值，
，恒成立，转化为，
令，，则，，
令得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，即得，
故选：D
10、C
【解析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
11、C
【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.
【详解】由题知：，解得，抛物线.
双曲线的左顶点为，，
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，解得.
故选：C
12、D
【解析】根据四点共面的向量表示，可得结果.
【详解】由共面知，

故选：
【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得结果.
【详解】因为，所以

，
当且仅当时取等号，故答案为.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14、，.
【解析】由的递推关系，讨论、求及，注意验证是否满足通项，即可写出的通项公式.
【详解】当时，，
当且时，，
而，即也满足，
∴，.
故答案为：，.
15、 ① ②.
【解析】由题设可得，应用累加法求的通项公式，由基本不等式及确定的最小值，再应用裂项求和法求的前20和.
【详解】由题设，，
∴，…，，又，
∴将上式累加可得：，则，
∴，当且仅当时等号成立，
又，故最小，则或5，
当时，；当时，；
∴的最小值为.
由上知：，
∴前20项和为.
故答案为：8，.
16、
【解析】设出动点，根据已知条件得到关于的方程.
【详解】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小.
【详解】（1）证明：连接，交于，连接，
∵在正方体中，是正方形，∴是中点，
∵为棱的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角的大小为，
则，∴，
∴直线与平面所成角的大小为.

【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角
18、（1）证明见解析；（2）为的中点，理由见解析.
【解析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）取的中点，连接，如图：
因为三角形是等边三角形，所以，
又因为面底面，平面平面，面，
所以平面，
又面，所以，
又，，平面；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，在上找一点，其中，
，，，
设面的一个法向量，则，
不妨令，则，
和面所成角的余弦值为，
则，解得或（舍），
所以，为的中点，符合题意.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，
∴，∴，从而，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知，则，
∴，
∴.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角
【小问1详解】
因为底面ABCD，平面，
所以
因为，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，点E为棱PC的动点，
所以，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线BE与平面PBD所成角为，则
，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，
【小问2详解】
，
因为E为棱PC上任一点，所以设，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则
，
所以二面角P-AB-E余弦值为

21、（1）以获胜、以获胜的概率分别是；
（2）分给分别元，元.
【解析】（1）以获胜、以获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局之后正常结束比赛时，的胜率，按照胜率分奖金.
【小问1详解】
设以获胜、以获胜的事件分别为，依题意要想获胜，必须从第一局开始连胜局，；要想获胜，则前局只能胜局，且第局胜利，故概率;
【小问2详解】
设前两局双方战成后胜，胜的事件分别为.若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率；由于两人比赛没有和局，获胜的概率为，则获胜的概率为，若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率.故奖金应分给元，分给元.
22、（1）抛物线的方程为，焦点坐标为
（2）存在，且
【解析】（1）根据点坐标求得，进而求得抛物线的方程和焦点的坐标.
（2）设，根据列方程，化简求得的坐标.
【小问1详解】
将代入得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
【小问2详解】
存在，理由如下：
直线的方程为，
或，即.
抛物线的准线，设，
，即
，
所以.
即存在点使.