2026届甘肃省嘉峪关市第一中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2026届甘肃省嘉峪关市第一中学数学高二上期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）
A. B.
C.4 D.
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
3．直线：和圆的位置关系是（）
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
4．已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则的值为（）
A. B.0
C.1 D.
6．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．等比数列的前项和为，若，则（）
A. B.8
C.1或 D.或
8．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
9．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.
A. B.
C.20 D.400
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知直线与直线垂直，则实数（）
A.10 B.
C.5 D.
12．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（ ）

A.底面边长为6米 B.体积为立方米
C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等比数列中，若，，则_____
14．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________
15．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______
16．已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知，动点M满足
（1）求M的轨迹方程；
（2）设，点N是的中点，求点N的轨迹方程；
（3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求
19．（12分）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点
（1）若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
（2）若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，，求的面积
22．（10分）已知直线和，设a为实数，分别根据下列条件求a的值：
（1）
（2）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由已知条件列方程组求解即可
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
故选：A
2、B
【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.
【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，
则线段垂直于轴且的中点在轴，
从而点关于轴对称的点的坐标为.
故选：B.
3、C
【解析】直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率存在，故可知直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系
【详解】圆C：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1
∴圆心为（0，1），半径为1
∵直线l：y﹣1＝k（x﹣1）恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上且直线的斜率存在
∴直线l：y﹣1＝k（x﹣1）和圆C：x2+y2﹣2y＝0的关系是相交，
故选C
【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线恒过定点，此题易误选B，忽视直线的斜率存在
4、C
【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.
【详解】当时，不等式不成立，错误；
，故错误正确；
当时，不等式不成立，错误；
故选：.
【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.
5、B
【解析】求导，代入，求出，进而求出.
【详解】，则，即，解得：，故，所以
故选：B
6、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
7、C
【解析】根据等比数列的前项和公式及等比数列通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，则
因为，所以，
即，解得或，
所以或.
故选：C.
8、A
【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.
【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；
令，又，则，故，
∵在上递减，
∴，故的最大值为.
∴为真命题，为假命题；
∴为真，为假，为假，为假.
故选：A.
9、B
【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.
【详解】由题设，，则，
所以在时的瞬时降雨强度为 mm/min.
故选：B
10、C
【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.
【详解】由题知：，解得，抛物线.
双曲线的左顶点为，，
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，解得.
故选：C
11、B
【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，直线与直线垂直，
可得，解得.
故选：B.
12、D
【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.
【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接
则为该正四棱锥的高，即平面
取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得
由分别为的中点，所以，则
所以为二面角的平面角，由条件可得
设正方形的边长为，则,又
则 , 解得 故选项A正确.
所以,
则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.
该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.
由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据等比数列下标和性质计算可得；
【详解】解：
∵在等比数列中，，
∴原式
故答案为：
【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.
14、
【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得
【详解】∵，球半径为4，
∴小圆的半径为，
∵小圆中弦长，作垂直于，
∴，同理可得，在直角三角形中，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
15、
【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：
令，此时，，于是直线过定点
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：
16、##
【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.
【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，
所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，
所以，四边形为矩形，
设点，则，不妨设点为直线上的点，
则，，所以，.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出线段中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求
（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.
试题解析：（1）线段的中点为，∵，
∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，
∴.
∴圆的方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案；
（2）设，，进而根据相关点法求解即可；
（3）根据题意得弦由两圆相交得，进而根据几何法弦长即可得答案.
【小问1详解】
解：设，则，
所以，即
所以M的轨迹方程为.
【小问2详解】
解：设，，
因为点N是的中点，
所以，即，
又因为在上，
所以，即.
所以点N的轨迹方程为.
【小问3详解】
解：因为M的轨迹与N的轨迹分别为，，是两个圆.
所以两个方程作差得直线所在的方程，
所以圆到：的距离为，
所以
19、（1）
（2）或
【解析】（1）根据题意可得，又因为且，解得，可得双曲线方程，进而可得的渐近线方程
（2）设直线的方程为：，，，联立直线与双曲线方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由两点之间距离公式得，解得，进而由可求出，即可求得离心率.
【小问1详解】
∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，∴双曲线方程为，
∴的渐近线方程为：；
小问2详解】
设直线的方程为，且，，
联立，可得，
则，∴，即，
∴，
解得或，即由可得或，
故双曲线的离心率或.
20、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，.
因为，由，可得.
①当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
解：当且时，由，可得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题可得，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；
（2）由题可得直线方程为，联立椭圆方程可得点P，利用三角形的面积公式，即求.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
22、（1）a=4或a= -2
（2）a=
【解析】（1）根据，由a(a-2)-2×4=0求解；
（2）根据，由4a= -2(a-2）求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以a(a-2)-2×4=0，
解得a=4或a= -2
所以当时，a=4或a= -2；
【小问2详解】
因为，
所以4a= -2(a-2），解得a=
检验：此时，，成立
所以当时，a=.