江苏省苏州市苏州中学2025年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

江苏省苏州市苏州中学2025年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，若，，共面，则λ等于（）
A. B.3
C. D.9
2．已知函数，则（）
A.3 B.
C. D.
3．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）
A. B.
C. D.
4．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知事件A，B相互独立，，则（）
A.0.24 B.0.8
C.0.3 D.0.16
6．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）
A.133斤 B.116斤
C.99斤 D.65斤
7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（）
A. B.
C. D.
8．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）
A.， B.，
C.， D.，
9．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A. B.
C. D.
10．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（ ）

A. B.2
C. D.
11．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A. B.1
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在长方体中，设，，则异面直线与所成角的大小为______
14．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1= 2，a2= 3，则a2022的值为_________.
15．已知圆柱轴截面是边长为4的正方形，则圆柱的侧面积为______________ .
16．将边长为2 的正方形 绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
（2）如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.
18．（12分）已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.
19．（12分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）
20．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），

其中样本数据分组区间
（1）求频率分布直方图中a的值：
（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
21．（12分）求适合条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
22．（10分）已知函数
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值
【详解】∵，，共面，
∴设(实数m、n)，
即，
∴，解得
故选：C
2、B
【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值
【详解】由题意，所以
故选：B
3、A
【解析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果
【详解】因为前三项的系数为，
，
，
当时，为有理项，从而概率为.
故选：A.
4、B
【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.
【详解】令公差为，则，解得，
所以，
当时，取最大值.
故选：B
5、B
【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.
【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以
故选：B
6、A
【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，
则由题意得，，
解得，
故选：A
7、A
【解析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：A.
8、B
【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.
【详解】直线方程化成截距式为，
所以，
故选：B.
9、D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间
10、D
【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.
【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，
于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，
因此，，
所以矿石落点的最远处到点的距离为.
故选：D
11、D
【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
12、A
【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】如图所示

由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点

故选：
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】建立空间直角坐标系，用向量法即可求出异面直线与所成的角.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则,
所以，
因为，所以，即，
所以异面直线与所成的角为.

故答案为：90°.
14、
【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论
【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，
所以
故答案为：
15、
【解析】由圆柱轴截面的性质知：圆柱体的高为，底面半径为，根据圆柱体的侧面积公式，即可求其侧面积.
【详解】由圆柱的轴截面是边长为4的正方形，
∴圆柱体的高为，底面半径为，
∴圆柱的侧面积为.
故答案为：.
16、
【解析】依题意可得圆柱的底面半径、高，再根据圆柱的体积公式计算可得；
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高，所以；
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用双曲线定义，根据点到一个焦点的距离求点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【小问1详解】
是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）
即点到另一个焦点的距离为；
【小问2详解】
P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知计算可得即可得出方程.
（2）由已知可得联立方程，结合韦达定理计算即可得出结果.
【小问1详解】

依题得解得：
椭圆的方程为.
【小问2详解】
由已知动直线与椭圆相交于、，设
联立得：

解得：，即：或
（*）
坐标原点总在以为直径的圆外

则：,
即将（*）代入此式，
解得：，即
或
或
19、（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；
（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；
（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.
【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）
共15个基本事件，
其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二：（茎叶图）画出茎叶图

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.
20、（1）
（2）众数；中位数
【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；
（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.
【小问1详解】
由,得
【小问2详解】
50名学生竞赛成绩的众数为
设中位数为,则
解得
所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
21、（1）或
（2）
【解析】（1）待定系数法去求椭圆的标准方程即可；
（2）待定系数法去求椭圆的标准方程即可.
【小问1详解】
当椭圆焦点在x轴上时，方程可设为，将点代入得，
解之得，则所求椭圆方程为
当椭圆焦点在y轴上时，方程可设为，将点代入得，
解之得，则所求椭圆方程为
【小问2详解】
椭圆方程可设为，则，
解之得，则椭圆方程为
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）用找零点法去绝对值，然后再解不等式.（Ⅱ）将原函数转化为分段函数，再结合函数图像求得其最小值．将恒成立转化为
试题解析：（Ⅰ）或或
或
所以原不等式解集为
（Ⅱ），
由函数图像可知，
所以要使恒成立，只需
考点：1绝对值不等式；2恒成立问题；3转化思想