2025-2026学年沈阳市第二中学数学高二上期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年沈阳市第二中学数学高二上期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）
A.-1 B.1
C.-3 D.3
3．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）
A.40 B.30
C.20 D.12
4．已知向量，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
5．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（ ）
A.72 B.56
C.48 D.36
6．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ值为(　　)
A.－3或7 B.－2或8
C0或10 D.1或11
7．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）
A.0.72 B.0.26
C.0.7 D.0.98
8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
10．等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（）
A. B.2
C.或2 D.或
11．已知直线l：，则下列结论正确的是（）
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线m：，则
D.过与直线l平行的直线方程是
12．两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．假设要考查某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.
15．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.
16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求在的最值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由
19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当弦的长为时，求直线的方程
21．（12分）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.
（1）求直线方程；
（2）求直线的方程.
22．（10分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？
（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意, 对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.
【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，
对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，
即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，
故选C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.
2、B
【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.
【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以且，即.
故选：B.
3、B
【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.
【详解】由总数为1200，样本容量为40，
所以抽样距为：
故选：B
【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.
4、D
【解析】根据向量的坐标运算和向量垂直数量积为0可解.
【详解】解：根据题意，易得，
∵ 与两向量互相垂直，∴ ，解得.
故选：D
5、A
【解析】以位置优先法去安排即可解决.
【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;
第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法
故安排方法的种数为
故选：A
6、A
【解析】根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值
解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，
直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，
因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，
化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，
解得λ=﹣3或7
故选A
考点：直线与圆的位置关系
7、D
【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.
【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
8、C
【解析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
9、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
10、C
【解析】根据等比数列的通项公式计算可得；
详解】解：依题意、，所以，即，所以；
故选：C
11、D
【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
12、C
【解析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.
【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，
当时，将移到乙柱，只移动1次；
当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；
当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；
当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；
当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；
……
以此类推，可知，
故选.
【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、【解析】根据随机数表法依次列举出来即可.
【详解】根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455、068.
故答案为：068.
14、
【解析】对函数求导，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程
【详解】函数的导数为
∴，.
曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
15、 ①.； ②.
【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，所以数列是以，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
于是，
故答案为：；
16、
【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.
【详解】令可得，
若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，
即与的图象有三个不同的交点，
作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，
此时与的图象没有交点，不符合题意；
当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，时，与的图象有一个交点，
所以时与的图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，
可得与的图象有两个不同的交点，
令，则，
由即可得，
由即可得，
所以在单调递增，在单调递减，
作出其图象如图：

当时，，
当
时，可得与的图象有两个不同的交点，
即时，函数有三个零点，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】（1）由与解方程组即可得解；
（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.
【详解】（1）求导得，处有极值，即，
又 图象过点，代入可得.
.
（2）由（1）知，令得
又 ，.
列表如下：

0

2

3

0
+

4
↘
极小值
↗
1
在时，，.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.
18、（1）
（2）为定值，该定值为2
【解析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准方程；
（2）设，分别表示出直线方程，进而求得点的纵坐标，点横坐标，即可表示出，即可求得答案
【小问1详解】
由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上，
所以设椭圆：，焦距为，
因为椭圆经过点，焦点为
所以，，
解得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，由椭圆的方程可知，
因为，则直线，
由已知得，直线斜率均存在，
则直线，令得，
直线，令得，
因为点在第一象限，所以，，
则，
又因为，即，所以
所以为定值，该定值为2.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
20、（1）；（2）或
【解析】（1）求得圆心坐标，由点斜式求得直线点的方程.
（2）分成直线斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.
【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，
整理得
（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
整理得，
圆心到直线的距离为，
解得，代入整理得
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意
∴直线的方程为或
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.
(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.
【小问1详解】
在中，，，，则边中点，边的中点，
直线DE斜率，于是得，即，
所以直线的方程是：.
【小问2详解】
依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即.
22、 (1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2) 该公司平均每天的利润有1000元．(3).
【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.
（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.
（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.
【详解】（1）每天包裹数量的平均数为
；
或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，
所以每天包裹数量的平均数为
设中位数为x，易知，则，解得x=260.
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，
所以该公司平均每天的利润有1000元
（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），
礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，
故E和F的重量数分别有，，，，共5种，
对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）
故所求概率为.
【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.