山东省济南市实验中学2026届数学高二第一学期期末统考试题含解析.doc

山东省济南市实验中学2026届数学高二第一学期期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则(　　)
A.84 B.72
C.33 D.189
2．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为

A. B.
C. D.
3．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（）
A如果，，n∥β，那么
B.如果，，，那么α∥β
C.如果m∥n，，，那么α∥β
D.如果m∥n，，，那么
4．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）
A.6 B.8
C.10 D.12
5．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（ ）
A. B.
C. D.
6．若命题为“，”，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
7．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）

A. B.
C. D.
8．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
9．下列函数求导错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
11．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
12．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______
14．“五经”是《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》的合称，贵为中国文化经典著作，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“五经”经典诵读比赛活动，某班有、两位同学参赛，比赛时每位同学从这本书中随机抽取本选择其中的内容诵读，则、两位同学抽到同一本书的概率为______.
15．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.
16．若直线:x-2y+1=0与直线:2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为实数.
（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，直线过与交于两点，的周长为8
（1）求的方程；
（2）过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围
19．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程;
（2）过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.
21．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合
表Ⅰ
温度x/℃
20
22
25
27
29
31
35
产卵数y/个
7
11
21
24
65
114
325
（1）请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：
表Ⅱ（注：表中）

189
567
25.27
162
78106

11.06
3040
41.86
825.09

（2）类似的，可以得到回归模型②的方程为，试求两种模型下温度为时的残差；
（3）若求得回归模型①的相关指数，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好
参考数据：.
附：回归方程中，
相关指数.
22．（10分）已知在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.

（1）求证：在四棱锥A-BCDE中，AB⊥AC.
（2）在线段AC上是否存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为？若存在，找出点F的位置；若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项的和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数，舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
2、C
【解析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.
【详解】过点作于点，连接，
因为四棱柱为正方体，所以易得平面，
因此即为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，设，则，，
因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，
因此，
所以，
因为，所以，则，
因此.
故选：C.

【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.
3、C
【解析】AB.利用两平面的位置关系判断；CD.利用面面平行的判定定理判断；
【详解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故错误；
B.如果，，，那么α，β垂直，故错误；
C.如果m∥n，，则，又，那么α∥β，故C正确；D错误，
故选:C
4、D
【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算
【详解】由得焦点，准线方程为，设，，
由得

则，化简得
所以
故选：D
5、D
【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.
【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.
故选：D.
6、B
【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“，”的否命题为“，”，
故选：B
7、A
【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.
【详解】设，正八面体的棱长为，
根据正八面体的性质可知：，
所以是外接球的球心，且半径，
所以外接球的体积为.
故选：A

8、C
【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.
【详解】由题意可知，，因为，，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角为.
故选：C.
9、C
【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.
【详解】对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，不正确；
对于D，，正确.
故选：C
10、B
【解析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.
【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，
则线段垂直于轴且的中点在轴，
从而点关于轴对称的点的坐标为.
故选：B.
11、A
【解析】解方程即得解.
【详解】由题得.
故选：A
【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
12、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.
【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，

由抛物线定义知：，又且，
所以，故，
又，故.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.
14、##
【解析】计算出、两位同学各随机抽出一本书的结果种数，以及、两位同学抽到同一本书的结果种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】、两位同学抽到的结果都有种，
由分步乘法计数原理可知，、两位同学各随机抽出一本书，共有种结果，
而、两位同学抽到同一本书的结果有种，故所求概率为.
故答案为：.
15、
【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.
故答案为：.
16、1
【解析】由两条直线垂直可知，进而解得答案即可.
【详解】因为两条直线垂直，所以.
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），
【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.
【小问1详解】
，
.
由题意得：，解得：.
，
【小问2详解】
，则，解得，
，
，
当，解得：，即函数在单调递减，
当，解得：或，
即函数分别在，递增.
又，，，，
，.
18、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.
(2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，，
因此椭圆的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
由消去并整理得：，则，，
因与方向相同，即，又椭圆是以原点O为对称中心的中心对称图形，
于是得，即四边形为平行四边形，其面积，
则，
令，则，则，
显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，
所以四边形面积的取值范围为.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积
19、（1）
（2）直线的方程为或或
【解析】（1）由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解；
（2）由，可得或，进而有或，显然直线斜率存在，设直线，由点到直线的距离公式求出的值即可得答案.
【小问1详解】
解：设弦的中点为，则有，
因为，所以直线，
所以直线的中垂线为，则圆心在直线上，且在直线上，
联立方程解得圆心， 则圆的半径为，
所以圆方程为；
【小问2详解】
解：设圆心到直线的距离为，因为，
所以或，所以或，
显然直线斜率存在，所以设直线，则或，
解得或或，
故直线的方程为或或.
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，
将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值; 当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.
【小问1详解】
将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，
将联立得，
，
由韦达定理得：，，

，
当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,
则，，，
，
综上所述可知，为定值为.
21、（1）（或）
（2）模型①：1.54；模型②：65.54
（3）模型①
【解析】（1）利用两边取自然对数，利用表中的数据即可求解；
（2）分别计算模型①、②在时残差；
（3）根据相关指数的大小判断摸型①、②的残差平方和，再得出那个模型的拟合效果更好.
【小问1详解】
由，得，
令，得，
由表Ⅱ数据可得，，
，
所以，
所以回归方程为（或）.
【小问2详解】
由题意可知，模型①在时残差为，
模型②在时残差为.
【小问3详解】
因为，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.
22、（1）证明见解析
（2）点F为线段AC的中点
【解析】（1）由平面几何知识证得CE⊥BE，再根据面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质可得证；
（2）取BE的中点O，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设在线段AC上存在点F，设=λ，运用二面角的向量求解方法可求得，可得点F的位置.
【小问1详解】
证明：因为在长方形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.
【小问2详解】
解：存在点F，F为线段AC的中点.
由（1）得△ABE和△BEC均为等腰直角三角形，取BE的中点O，则，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，
以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，取平面ABE的一个法向量为.

假设在线段AC上存在点F，使二面角A-BE-F的余弦值为.
则A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=（-1，2，-1），
设=λ，则+λ=（1-λ，2λ，1-λ），又=（2，0，0），
设平面BEF的法向量为，可得，即得，可取y=1，得，所以，解得λ=，
即当点F为线段AC的中点时，二面角A-BE-F的余弦值为.