江西省吉安市一中2025年高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

江西省吉安市一中2025年高二数学第一学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（ ）
A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；
C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）
A B.
C. D.
3．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
4．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间

销售量

由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）
A B.
C. D.
5．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）
A.或 B.或15
C.5或 D.5或15
8．已知向量，且，则（）
A. B.
C. D.
9．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.150°
10．已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）.

A.函数在上是增函数
B.
C.
D.是函数的极小值点
12．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（）

A.直方图中a的值为0.40
B.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒
C.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54
D.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为18
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______
14．已知等差数列公差不为0，且，，等比数列，则_________.
15．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
16．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，记数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前100项和
18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且
（1）求证；、、成等差数列；
（2）若，的面积为，求的周长
19．（12分）已知椭圆：经过点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.已知点，且，求此时的值.
20．（12分）已知数列满足，
（1）证明是等比数列，
（2）求数列的前项和
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1) 证明：PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积
22．（10分）如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.
【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.
故选：B.
2、C
【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列
故选：C.
3、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
4、C
【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
所以，回归直线方程为，故当时，.
故选：C.
5、D
【解析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解
【详解】解：由题意，即在区间上有两个异号零点，
构造函数，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，且，

所以，即，
所以的范围
故选：D
6、C
【解析】求出圆心到直线距离 ，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.
【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，
因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，
即的取值范围是：.
故选：C
7、D
【解析】利用点到直线距离公式即可得出.
【详解】解：点到直线的距离为1，

解得：m=15或5
故选：D.
8、A
【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由题意可得，
解得，
所以.
故选：A
9、C
【解析】先求斜率，再求倾斜角即可
【详解】解：直线的斜截式方程为，
∴直线的斜率，
∴倾斜角，
故选：C
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题
10、D
【解析】根据对数函数的性质和幂函数的单调性可得正确的选项.
【详解】因为，故，故，
又，在上的增函数，故，
故，
故选：D.
11、B
【解析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】解：根据函数的导函数的图象，
可得或时，，当或时，，
所以函数在和上递减，在和上递增，
故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
是函数的极大值点，故D错误.
故选：B.
12、D
【解析】根据频率之和为求得，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，解得，A选项正确.
众数为，B选项正确.
成绩低于秒的频率为，人数为，所以C选项正确.
成绩高于的频率为，人数为人，D选项错误.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##2.9375
【解析】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.
【详解】①，当时，；当时，②，①-②得：，即
又满足，所以
由，得
令，则，
两式相减得，则
所以新数列的前70项和为
故答案为：
14、
【解析】设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求
【详解】解：设等差数列的公差为，
，，等比数列，，
则，得，

故答案为：
15、1560
【解析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
16、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由题意得出，然后与原式结合，两式相减并化简求出，最后根据等差数列的定义求得答案；
（2）结合（1），分别讨论，和三种情况，分别求出，进而求出.
【小问1详解】
因为，所以，
两式相减得，所以
又，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以.
【小问2详解】
由得，当时，，
当时，，
当时，，
所以
.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可求得的值，即可证得结论成立；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.
【小问1详解】
证明：由正弦定理及，得，
所以，，
所以，，
，则，所以，，
又，，，因此，、、成等差数列.
【小问2详解】
解：，，
又，，
故的周长为.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】（1）由已知得，，而，解得，
椭圆的方程为；
（2）设直线方程为
代入得，
化简得
由，
得，，

设，则，，
则
设，则，则，
所以在轴存在使.
，

，所以在.
20、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；
（2）由（1）求出，利用分组求和法求
【详解】（1）由得，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，
（2）由（1）知的通项公式为；则
所以
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题
21、
【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD中点
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
22、（1）证明见解析（2）
【解析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；
（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.
【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，
所以平面，，又，，
则平面，平面，
所以，；
（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；
以点坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

已知，则，，
，，，，
则，，
设平面的一个法向量，
由得令，则，，
即；
平面的一个法向量为；
.
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.