2025年鹰潭市重点中学高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年鹰潭市重点中学高二数学第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
2．经过点的直线的倾斜角为，则
A. B.
C. D.
3．已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：
年度
项目
2017年
2018年
2019年
2020年
独立用户访问总量（单位：个）
2512
57392
44000
60989
网站总访问量（单位：次）
23435
370348
194783
219288
下列表述中错误的是（ ）
A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；
B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；
C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；
D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势
5．已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（）
A. B.
C. D.
6．已知在等比数列中，，，则（ ）
A.9或 B.9
C.27或 D.27
7．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（）.
A. B.
C. D.
8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（）
A.1 B.
C.2 D.3
9．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是
A. B.
C. D.
10．已知直线与直线垂直，则实数a为（ ）
A. B.或
C. D.或
11．已知，若是函数一个零点，则的值为( )
A.0 B.
C.1 D.
12．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______
14．若满足约束条件，则的最小值为________.
15．已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD面积为_____.
16．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正三棱柱中，D是的中点，.

（1）求点C到平面的距离；
（2）试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.
18．（12分）等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.
（1）求数列与通项公式：
（2）若，求数列的前n项和.
19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题
已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于
22．（10分）已知函数，且在处取得极值.
（1）求的值；
（2）当，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.
【详解】设点，其中，，则，可得，则，
所以点，故，因此，直线的倾斜角为.
故选：C.
2、A
【解析】由题意，得，解得；故选A
考点：直线的倾斜角与斜率
3、C
【解析】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支，
，的轨迹方程是，故选C.
4、D
【解析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；
B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；
C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；
D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.
故选：D.
5、D
【解析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，

又因为且，故四边形为正方形，
圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，
所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，
故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.
故选：D.
6、B
【解析】根据等比数列的性质可求.
【详解】因为为等比数列，设公比为，
则，解得，又，所以.
故选：B.
7、A
【解析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标.
【详解】因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
8、C
【解析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.
【详解】抛物线的焦点坐标为,准线方程为, ,
∴，
故选：C.
9、C
【解析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），
∴，∵，
∴，b=2a，∴，∴，∴
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
10、B
【解析】由题可得，即得.
【详解】∵直线与直线垂直，
∴，解得或.
故选：B.
11、A
【解析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
不妨设，()，故，
从而，
易知在上单调递增，
故，即，
从而.
故选：A.
12、C
【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；
对B：因为，故选项B错误；
对C：因为，故选项C正确；
对D：因为，故选项D错误
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积；
【详解】解：因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．因为，当且仅当时等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为
故答案为：
14、5
【解析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中是直线的纵截距，
代入得，即
平移直线，当直线过点时取得最小值5
故答案为：5
15、
【解析】根据椭圆的方程，求得顶点的坐标，结合菱形的面积公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，可得，
所以椭圆与坐标轴的交点分别为，
此时构成的四边形为菱形，则面积为.
故答案为：.
16、
【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值
【详解】由，得，则，
∵曲线在点处的切线平行于x轴，
∴，即.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）平行，证明过程见解析.
【解析】（1）利用等体积法即可求解；
（2）利用线面平行判定即可求解.
【小问1详解】
解：正三棱柱中，D是的中点，
所以，，
正三棱柱中，
所以
又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为
且平面中，
所以平面
又平面
所以
设点C到平面的距离为
在三棱锥中，

即

所以点C到平面的距离为.
【小问2详解】
与平面的位置，证明如下：
连接交于点，连接，如下图所示，

因为正三棱柱的侧面为矩形
所以为的中点
又因为为中点
所以为的中位线
所以
又因为平面，且平面
所以平面
18、（1），
（2）
【解析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；
【小问1详解】
解：由已知，又，所以
故
解得（舍去）或
∴
∵①
故当时，可知，∴，
当时，可知②
①②得
∴又也满足，故当时，都有；
【小问2详解】
解：由（1）知，
故③，
∴④，
由③④得

整理得.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）设为中点，连接，，∵，∴，
又∵底面四边形为菱形，，∴为等边三角形，
∴，
又∴，，平面，∴平面，
而平面，∴.

（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由，，，即，
∴，，，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的的余弦值为.

【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.
20、；
【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与原式相减可得，取可求，由此可得，故，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，
【详解】解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为2，-1，2，-1，2，-1……，所以，
即，所以，
又，所以是以为首项，公比为-1的等比数列，
所以，即；
所以
选②：因为，易知，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，又，
时，，所以，因为，
所以也满足上式，所以，
即，以下过程与①相同
21、（1）；
（2）存在，1； （3）证明见解析.
【解析】(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
【小问1详解】
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为
【小问2详解】
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求
【小问3详解】
由(2)知，，

点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出a,b，然后讨论函数的单调区间进行验证，最后确定答案；
（2）根据（1）得到函数在上的单调区间，进而求出最小值.
【小问1详解】
，因为在处取得极值，所以，则，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，故为函数的极值点.
于是.
【小问2详解】
结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，而，所以.
因为，所以.
综上：的最小值为.