吉林省松原市乾安县七中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

吉林省松原市乾安县七中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
2．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是
A. B.
C. D.
4．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．若数列满足，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
7．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A. B.1
C. D.
8．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相切
C.相离 D.与k有关
10．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
11．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A B.
C. D.
12．设是周期为2的奇函数，当时，，则　（　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：平行，则双曲线C的离心率是______
14．经过、两点的直线斜率为______.
15．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______
16．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关数据如下表：
单价x（百元/个）
30
35
40
45
50
日销售量y（个）
140
130
110
90
80
（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数），
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.
18．（12分）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求b的值.
19．（12分）已知圆心C的坐标为，且是圆C上一点
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程
20．（12分）已知数列满足
（1）求；
（2）若，且数列的前n项和为，求证：
21．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由
22．（10分）在数列中，，且，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
2、B
【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；
必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，
所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3、C
【解析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），
∴，∵，
∴，b=2a，∴，∴，∴
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
4、B
【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为
故选：B.
5、D
【解析】根据给定递推公式求出即可计算作答.
【详解】因数列的前n项和为，，，则，
，，
所以.
故选：D
6、D
【解析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式；
【详解】解：因为①，当时，，当时②，
①②得，所以，当时也成立，所以；
故选：D
7、A
【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】如图所示

由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点

故选：
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
8、B
【解析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.
【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.
故选：B.
9、A
【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为
，半径为,
由可知，则该直线恒过定点，
将点代入圆的方程可得，则点在圆内，
则直线与圆的位置关系为相交.
故选：.
10、C
【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
11、A
【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.
【详解】，表示两点连线斜率，
表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；
根据图象可知，.
故选：A
12、A
【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论
【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，
又函数为奇函数，∴．故选A
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先用两直线平行斜率相等求出，再利用离心率的定义求解即可.
【详解】由题意可得双曲线C的一条渐近线方程为，则，即，
则，
故双曲线C的离心率
故答案为：.
14、
【解析】利用斜率公式可求得结果.
【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.
故答案为：.
15、
【解析】先求出两函数在上的值域，再由已知条件可得，且，列不等式组可求得结果
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
16、
【解析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.
依题意有，，
则一只寿命超过10岁猫的寿命超过12岁的概率.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）确定单价为50百元时，销售利润最大.
【解析】（1）根据参考公式和数据求出，进而求出线性回归方程；
（2）设出定价，结合（1）求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.
【小问1详解】
由题意，，则，，结合参考数据可得，，所以线性回归方程为.
【小问2详解】
设定价为x百元，利润为，则，由题意，则（百元）时，最大.
故确定单价为50百元时，销售利润最大.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；
（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
代入数据解得，
所以
19、（1）
（2）或
【解析】（1）计算圆的半径，写出圆的标准方程即可；
（2）先验证斜率不存在时，是否满足题意，再分析斜率存在时，利用点到直线距离求出斜率即可得解.
【小问1详解】
由题意得：
所以，圆C的标准方程为
【小问2详解】
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意
当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
即，圆心到直线l的距离，
由题意，得，解得，
∴直线l的方程为，即
综上，直线l的方程为或
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.
（2）利用放缩法证得结论成立.
【小问1详解】
依题意，，
，
，
猜想，下面用数学归纳法进行证明：
当时，结论成立，
假设当时结论成立，即，
由，
，
所以当时，有，结论成立，
所以当时，.
【小问2详解】
由（1）得，且为单调递增数列，
所以
.
所以
.
21、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.
【解析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；
（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得
【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或
当时，的标准方程为，代入，无解
当时，的标准方程为，代入，解得
故的标准方程为
（2）不能是线段的中点
设交点，，
当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组
，整理得，
则，由得，
将代入判别式，
所以满足题意的直线也不存在
所以点不能为线段的中点
22、（1）
（2）40
【解析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）令，求得，进而根据数列的前项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值.
【小问1详解】
解：∵数列满足，∴，∴是等差数列，
设的公差为d，则，即，解得，
∴，∴
【小问2详解】
令，得，解得，
所以当或5时，有最大值，且最大值为