安徽省定远县中2025年数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

安徽省定远县中2025年数学高二上期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（　　）
A. B.
C. D.
2．若直线与互相垂直，则实数a的值为（）
A.-3 B.
C. D.3
3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点中心（，）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
4．有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（）
A. B.
C. D.
5．方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）
A. B.
C. D.
6．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（）（结果精确到）

（参考数值：）
A B.
C. D.
7．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（ ）

A. B.
C. D.
8．在等差数列中，为其前n项和，，则（ ）
A.55 B.65
C.15 D.60
9．圆与圆的位置关系为（）
A.内切 B.外切
C.相交 D.相离
10．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（ ）
A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列
C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列
11．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A.2 B.
C. D.
12．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.
14．已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________
15．过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
16．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则__________，的最小值为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.

（1）证明：AB1//面BC1D；
（2）若AA1 =AB，求二面角B1 -AC-C1的余弦值.
18．（12分）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程
19．（12分）已知三角形的三个顶点是，，
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.
21．（12分）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值
22．（10分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱

（1）试确定的值，并证明你的结论；
（2）求平面与平面夹角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，
根据题意可得，，故可得，
故所求椭圆方程为：.
故选：C.
2、C
【解析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.
【详解】因直线与互相垂直，则，解得，
所以实数a的值为.
故选：C
3、D
【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误
故选D
4、B
【解析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.
【详解】记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后抽到有奖票.
所以，，于是.
故选：B.
5、D
【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.
【详解】若方程表示椭圆，则，解得或.
故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.
故选：D.
6、C
【解析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，

由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，
令y＝，解得，
所以水面宽度为2.24×817.9m
故选：C
7、D
【解析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.
【详解】由函数的图象可知，
当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；
当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，
所以B选项错误.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.
8、B
【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.
故选:B
9、B
【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.
【详解】由可得圆心为，半径，
由可得圆心为，半径，
所以圆心距为，
所以两圆相外切，
故选：B.
10、B
【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.
【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，
，，依次成公差不为0的等差数列，
∴，
根据正弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，，依次成等差数列.
故选：B.
【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.
11、B
【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
所以则，
当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，
由题意可得，
设切线PA的方程为：，
，整理可得，
，可得，
将代入，可得，所以，
即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，
所以的最大值为：，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化
12、C
【解析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.
【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
代入点，得，解得 ，
所以所求双曲线方程为，即
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.
【详解】
由题得，所以直线经过定点，
圆的圆心为，半径为.
圆心到定点的距离为，
当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：8
14、3－5
【解析】因为点在圆上，点在圆上，故两圆的圆心分别为半径分别为和两圆的圆心距为，故两圆相离，则最小值为，故答案为.
考点：1、圆的方程及圆的几何性质；2、两点间的距离公式及最值问题.
【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、两点间的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用圆的几何性质，将的最小值转化两圆心的距离减半径解答的.
15、
【解析】相关点法求解轨迹方程.
【详解】设，则，则，即，因为，
代入可得，即的轨迹方程为.
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】首先确定的正负，分别在和两种情况下求得，代入即可求得；由可求得，分别在和两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最小值，综合可得最终结果.
【详解】令，解得：，则当时，；当时，；
当时，；
当时，；
；
，
当时，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
当时，；
综上所述：.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的数列前项和的求解问题，解题关键是能够确定数列的变号项，从而以变号项为分类基准进行分类讨论得到数列的前项和；求解数列中的最值问题的关键是能够利用数列与函数的关系，结合函数单调性和来进行求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问1详解】
证明：记，连接，
由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.
因为D是的中点，所以，
又平面平面，所以平面；
【小问2详解】
因为底面是等边三角形，D是的中点，
所以，
由直棱柱的性质可知平面平面，
平面平面，面，
所以平面，
取的中点F，连接，
则两两垂直，
故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
从而，
设平面的法向量为，
则，令x=2，
得，
同理平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角B1 -AC-C1的余弦值为.

18、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得
所以，双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为
19、（1）；（2）
【解析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
【详解】（1）设线段的中点为
因为，，
所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即
（2）因为，，
所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
即
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，
原点到直线的距离为，，即①.
联立直线与椭圆方程可得，
则，则，
由韦达定理可得，.
，则为线段的中点，所以，，
，得，，
所以，，整理可得，
解得，即，，
因此，直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21、（1）
（2）6
【解析】（1）由椭圆的定义求解
（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解
【小问1详解】
由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
【小问2详解】
由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．
22、（1），证明见解析
（2）
【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；
（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.
【小问1详解】
.

证明如下：
在△中，因为点分别为的中点，
所以//.
又平面，平面，
所以//平面.
因为平面，平面平面，
所以//
所以//.
在△中，因为点为的中点，
所以点为的中点， 即 .
【小问2详解】
因为底面为正方形，所以.
因为底面，
所以，.

如图，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为分别为的中点，
所以.
所以，.
设平面的法向量，则
即
令，于.
又因为平面的法向量为，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为.