安徽凤阳县城西中学2025年高二上数学期末经典模拟试题含解析.doc

安徽凤阳县城西中学2025年高二上数学期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A.72元 B.300元
C.512元 D.816元
2．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　)
A.128 B.129
C.47 D.0
3．已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
4．已知命题：，使；命题：，都有，则下列结论正确的是（ ）
A.命题“”是真命题： B.命题“”是假命题：
C.命题“”是假命题： D.命题“”是假命题
5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
6．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）
A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是
C. D.与是共线向量
7．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
9．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知向量，，且，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，则点到平面的距离为（）
A. B.
C. D.
12．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量，，若，则______.
14．若等比数列的前n项和为，且，则__________.
15．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________ .

16．已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.
18．（12分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求
20．（12分）已知命题p：直线与双曲线的右支有两个不同的交点，命题q：直线与直线平行.
（1）若，判断命题“”的真假；
（2）若命题“”为真命题，求实数k的取值范围.
21．（12分）已知函数，若函数处取得极值
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值
22．（10分）如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形

（1）若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价
【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元
故选：D
2、A
【解析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可
【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝
故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题
3、B
【解析】根据抛物线定义即可求解
【详解】由得，所以F到直线l的距离为
故选：B
4、B
【解析】根据正弦函数的性质判断命题为假命题，由判断命题为真命题，从而得出答案.
【详解】因为的值域为，所以命题为假命题
因为，所以命题为真命题
则命题“”是假命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题，命题“”是真命题
故选：B
5、B
【解析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出
【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为
故选：B
6、A
【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】因为，，，故可得，
因为，故，不平行，则D错误；
对A：不妨记向量为，则，
又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；
对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；
对C：因为，故可得，故C错误；
故选：A.
7、A
【解析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值
【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解得：，，所以根据余弦定理，
故选：A
8、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
9、B
【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，则，故在上单调递减；
又，故可得，则，即，解得，
故不等式解集为.
故选：B.
【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.
10、A
【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.
【详解】因为向量，，
所以，，
因为，
所以，解得：，
故选：A.
11、A
【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】依题意，，
设平面的法向量，则，令，得，
则点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
故选：A
12、D
【解析】根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.
【详解】圆的圆心是，
所以椭圆的一个焦点是，即c=3，
又椭圆的短轴长为8，即b=4，
所以椭圆长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
14、5
【解析】根据题意和等比数列的求和公式，求得，结合求和公式，即可求解.
【详解】因为，若时，可得，故，
所以，化简得，
整理得，解得或，
因为，解得，所以.
故答案为：.
15、
【解析】由题意建立空间直角坐标系，然后结合点面距离公式即可求得点M到截面ABCD的距离.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），
∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），
设（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
则，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，
∴（2，﹣2，1），
∴M到截面ABCD的距离d
故答案为.
【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用，点面距离的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16、
【解析】由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为，则另一渐近线ON的方程为．设，
∵，
∴，
∴，解得
∴点M的坐标为，
又，
∴，整理得，
∴双曲线的渐近线方程为
答案：
点睛：
（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程
（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）1
【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.
【小问1详解】
由题意，点椭圆上，有，
解得故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，显然不符；
当直线l的斜率存在时，
设直线l为：
联立方程得：
由，设，有
又由直线AM：，令x=-4得，
将代入得：，同理得：.
很明显，且，注意到，
，
而

，
故
所以.
【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）利用前n项和与的关系即求；
（2）由题知，然后利用裂项相消法即证.
【小问1详解】
由，
可得，
两式相减可得，
当时，，满足，
所以.
【小问2详解】
∵，
因为，
所以当时，.
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；
（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.
【详解】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，
所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，
，

整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
20、（1）命题“”为真命题
（2）
【解析】（1）先判断命题p，命题q的真假，再利用复合命题的真假判断；
（2）根据命题“”真命题，由p为真命题，q为假命题求解.
【小问1详解】
解：对于命题p，易知直线与双曲线的左、右支各有一个交点，
∴命题p为假命题；
对于命题q，时，有与，显然两条直线垂直，
∴命题q为假命题.
∴命题“”为真命题.
【小问2详解】
∵命题“”为真命题，
∴p为真命题，q为假命题.
对于命题p，由得，
直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即此方程有两个不同的正根，
∴得.
对于命题q，要使命题q为真，则，解得，
∴命题q为假命题，即.
∴实数k的取值范围为.
21、（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）求出导函数，由即可解得；
（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.
【详解】解：（1）
由题意，可得，得.
（2），
令，得或（舍去）
当变化时，与变化如下

递增

递减

所以函数在上的最大值为，最小值为.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与所成角的余弦值.
（2）结合直线与平面所成的角，利用向量法列方程，化简求得的长.
【小问1详解】
依题意点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，
所以平面，，
由于，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，
当是等边三角形时，，
.
设直线与所成角为，
则.
【小问2详解】
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
化简的，
解得或，
也即或.