上海交大附属中学2025年高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

上海交大附属中学2025年高二数学第一学期期末检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
2．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）
A. B.
C. D.
4．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）

A.30m B.
C. D.
5．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
6．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
7．已知等差数列，，，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A. B.
C. D.1
9．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
10．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）
A. B.1
C.2 D.3
11．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
12．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.
14．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元
15．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）设上存在极大值M，证明：.
16．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
（1）求数列{}和数列}的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
19．（12分）已知函数在处的切线与直线平行
（1）求值，并求此切线方程；
（2）证明：
20．（12分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：
学历
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解数字人民币
35
35
80
55
64
6
了解数字人民币
40
60
150
110
140
25
（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，
完成列联表.

低学历
高学历
合计
不了解数字人民币

了解数字人民币

合计

（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：
（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：.
21．（12分）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.

（1）求证：；
（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角的余弦值为.
22．（10分）在数列中，，且，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.
2、A
【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.
【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.
故选：A.
3、A
【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值
详解】解：即为
，
两边平方，可得，
即有，则
作出曲线的图形，如下：
则点与点或的距离最小，且为
故选：A

4、D
【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【详解】由题设知：，

又，
△中，可得，
在△中，，则.
故选：D
5、A
【解析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意得有两个零点

令 ,
则且
所以，在上为增函数，
可得，
当，在上单调递减，
可得，
即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
6、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
7、A
【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.
【详解】因为等差数列，，，
所以，
所以，

所以数列的前项和为
故B，C，D错误.
故选：A.
8、A
【解析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.
【详解】由圆可得圆心，半径，
因为圆上有三个点到直线的距离等于1，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
故选：A.
9、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
10、C
【解析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.
【详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，
所以，又是等差数列，
所以，即，故.
故选：C
11、A
【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离
故选：A
12、A
【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】在双曲线中，，，，
所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，
因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】令则，
∴在R上是减函数
又等价于
∴
故不等式的解集是
答案：
点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数
14、
【解析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可.
【详解】由题意知，
第一年本利和为：元，
第二年本利和为：元，
第三年本利和为：元，
以此类推，
第十年本利和为：元，
故答案：
15、（1）在单调递增，单调递减；（2）详见解析.
【解析】（1）求得，利用和 即可求得函数 的单调性区间；
（2）求得函数的解析式，求，对的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
则，
当时，令，所以函数单调递增；
当时，令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函数在区间上单调递增，在区间中单调递减，
当时，令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函数 在单调递增，在单调递减.
（2）由函数，则，
令，可得
令，解得，
当时.，函数在 单调递增，此时，
所以，函数在上单调递增，此时不存在极大值，
当时，令 解得，令，解得，
所以上单调递减，在上单调递增，
因为在上存在极大值，所以，解得，
因为，

易证明，存在时，，
存在使得，
当在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以当时，函数取得极大值，即，，
由，
所以
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
16、0
【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
所以.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；
（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；
（3）由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，所以，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
，所以，
由（1）平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的为，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【小问3详解】
由已知为平面的一个法向量，且，
由（1）平面的一个法向量为，
所以，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为.

18、（1），
（2）①；②
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
19、（1）；；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；
（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.
【小问1详解】
，，
在处的切线与直线平行，即切线斜率为，
，解得：，，，
所求切线方程为：，即；
【小问2详解】
要证，即证；
①当时，，，，即，
；
②当时，令，
，，
当时，，，，，即，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
即在上恒成立；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.
20、（1）列联表答案见解析；
（2）；
（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.
【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.
(2)利用给定条件结合古典概率公式计算作答.
(3)利用(1)中信息求出的观测值，再与临界值表比对作答.
【小问1详解】
列联表如下：

低学历
高学历
合计
不了解数字人民币
150
125
275
了解数字人民币
250
275
525
合计
400
400
800
【小问2详解】由(1)知，被调查者中低学历的有400，其中不了解数字人民币的有150，从400人中任取2人有个基本事件，它们等可能，
被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的事件A有个基本事件，
所以被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.
【小问3详解】
由(1)知，的观测值为，
所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【小问1详解】
证明：因为，，则且，
，平面，
所以为直线与平面所成的线面角，即，
，故，，
，平面，
平面，因此，.
【小问2详解】
解：设，由（1）可知且，，
因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
由已知可得，解得.
当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述，.
22、（1）
（2）40
【解析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）令，求得，进而根据数列的前项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值.
【小问1详解】
解：∵数列满足，∴，∴是等差数列，
设的公差为d，则，即，解得，
∴，∴
【小问2详解】
令，得，解得，
所以当或5时，有最大值，且最大值为