2025年浙江省杭州市第四中学数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

2025年浙江省杭州市第四中学数学高二第一学期期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且与互相平行，则的值为（ ）
A.-2 B.
C. D.
2．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C.2 D.
3．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（）
A.1 B.
C.2 D.
4．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是
A. B.
C. D.
5．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（ ）

A. B.
C. D.
6．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A.平面内有一条直线与平面平行
B.平面内有两条直线分别与平面平行
C.平面内有无数条直线分别与平面平行
D 平面内有两条相交直线分别与平面平行
7．已知等差数列，，则公差d等于（ ）
A. B.
C.3 D.-3
8．已知，，若，则实数（）
A. B.
C.2 D.
9．执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A.8 B.9
C.27 D.36
10．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
11．如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则（）

A. B.
C. D.
12．绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（）
A.圆台 B.圆台或两个圆锥的组合体
C.圆锥或两个圆锥的组合体 D.圆柱
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.
14．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为________

15．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.
16．若数列满足，，则__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.
18．（12分）已知.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）已知锐角内角，，的对边长分别是，，，若，.求面积的最大值.
19．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大
20．（12分）已知数列的前n项和为，且
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和为
21．（12分）三棱柱中，侧面为菱形，，，，

（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
22．（10分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】应用空间向量坐标的线性运算求、的坐标，根据空间向量平行有，即可求的值.
【详解】由题设，，，
∵与互相平行，
∴且，则，可得.
故选：A
2、B
【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到的关系即可求解.
【详解】以O为原点，AD所在直线为x轴建系，不妨设，
则该双曲线过点且，
将点代入方程，
故离心率为，
故选：B
【点睛】本题考查已知点在双曲线上求双曲线离心率的方法，属于基础题目
3、B
【解析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案.
【详解】由已知可得抛物线的准线方程为，
设点的坐标分别为和，
由抛物线的定义得，即，
线段中点的横坐标为，
故线段的中点到轴的距离是.
故选：.
4、D
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.
5、D
【解析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果
【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点，
，，

故选：D
6、D
【解析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.
【详解】对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；
对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；
对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；
对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.
故选：D.
7、B
【解析】根据题意，利用公式，即可求解.
【详解】由题意，等差数列，，
可得等差数列的公差.
故选：B.
8、D
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.
【详解】因，，又，则，解得，
所以实数.
故选：D
9、B
【解析】执行程序框图，第一次循环，，满足 ；第二次循环，，满足 ；第三次循环， ，不满足 ，输出 ，故选B.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10、B
【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.
【详解】根据题意，连接，作图如下：

显然为直角三角形，又，
又点在双曲线上，故可得，
解得，
由勾股定理可得：，即，
即，，故双曲线的离心率为.
故选：B.
11、B
【解析】利用插点的方法，将归结到题目中基向量中去，注意中线向量的运用.
【详解】.
故选：B.
12、C
【解析】讨论是按直角边旋转还是按斜边旋转
【详解】按直角边选择可得下图圆锥：

如果按直角边旋转可得下图的两个圆锥的组合体：

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】列举总的基本事件及满足题目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】设5件产品中的次品为，合格品为，
则从这5件产品中任取2件，有共10个基本事件，
其中2件都是合格品的有共3个基本事件，
故2件都是合格品的概率为
故答案为：.
14、
【解析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在的频率，从而可计算出年龄在的人数.
【详解】年龄在的频率为，
所以年龄在的人数为.
故答案为：.
15、
【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，
“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，
所以.
故答案为：
16、7
【解析】根据递推公式，依次求得值.
【详解】依题意，由，
可知，

故答案为：7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.
【小问1详解】
设点的坐标为，
∵，
∴点P在线段QF垂直平分线上，
∴，
又∵，∴
∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，
∴，
∴曲线的方程为：.
【小问2详解】
设直线AB方程为，，
由，解得，
，解得，
由韦达定理可知，，，
∴
∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，
令，得，∴，
又由，∴，
∴
设则
∴
当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，
故，
所以直线AB的方程为：，即或.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到，再求其单调增区间即可.
（2）根据得到，根据余弦定理和基本不等式得到，结合三角形面积公式计算即可.
【小问1详解】
由题意.
由，得，
令，得，
所以在上的单调递增区间是
【小问2详解】
因为，所以，
得，又C是锐角，所以，
由余弦定理：，得，
所以，且当时等号成立
所以，
故面积最大值为
19、（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
20、（1）证明见解析;
（2）.
【解析】（1）由已知得，当时，两式作差整理得，根据等比数列的定义可得证；
（2）由（1）求得，，再运用错位相减法可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为，……①，所以当时，，
当时……②，
则①-②可得，所以，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
【小问2详解】
解：由（1）知，即，
因为所以，
则……①，
①得……②，
①-②得 ，
所以.
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值.
【详解】（1）取BC的中点O，连结AO,,，

为等腰直角三角形，所以，；
侧面为菱形，，
所以三角形为为等边三角形，所以，
又，所以，又，满足，所以；
因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.

则，，，，
若存在点M，则点M在上，不妨设，
则有，则，
有，，
设平面的法向量为，
则解得：
平面的法向量为
则
解得：或（舍）
故存在点M，.
【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
22、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即