河南省上蔡县第二高级中学2025年高二上数学期末达标测试试题含解析.doc

河南省上蔡县第二高级中学2025年高二上数学期末达标测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（）
A. B.
C. D.
2．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（ ）
A. B.
C.2 D.4
3．若，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，若在处取得极值，且恒成立，则实数的最大值为（）
A. B.
C. D.
6．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）
A. B.
C.2 D.
7．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（）

A. B.
C. D.2
8．已知函数，则下列判断正确的是（）
A.直线与曲线相切
B.函数只有极大值，无极小值
C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
9．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）
A.3 B.2
C. D.4
10．设满足则的最大值为
A. B.2
C.4 D.16
11．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）
A.由，求出，，，…，推断：数列的前项和
B.由满足对都成立，推断：为奇函数
C.由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积
D.由，，，…，推断：对一切，
12．在等比数列中，若是函数的极值点，则的值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中的系数是___________.
14．已知函数，则______
15．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
16．__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求满足下列条件的曲线的方程：
（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程
（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程
18．（12分）已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程
19．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，已知
（1）求角；
（2）若边的长是该边上高的倍，求
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，

（1）求证：平面ACM；
（2）求平面MBC与平面DBC的夹角的大小
21．（12分）设：，：.
（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
22．（10分）已知双曲线C：( a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】求出两次取球都没有取到3的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，每次取到标号为3 的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，
在两次取得小球中，标号最大值是3的事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，
，则有，
所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.
故选：C
2、B
【解析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，
设，则，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
故选：B
3、B
【解析】由得出，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误.
【详解】，，，，A选项正确；
，B选项错误；
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，，则等号不成立，所以，C选项正确；
，，D选项正确.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.
4、A
【解析】方程即，表示抛物线，
方程表示椭圆或双曲线，
当和同号时，抛物线开口向左，
方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；
当和异号时，抛物线开口向右，
方程表示双曲线，
本题选择A选项.
5、D
【解析】根据已知在处取得极值，可得，将在恒成立，转化为，只需求，求出最小值即可得答案
【详解】解：，，
由在处取得极值，得，解得，
所以，，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在处取得极小值，
，恒成立，转化为，
令，，则，，
令得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，即得，
故选：D
6、A
【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；
【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；

故选：A
7、C
【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.
【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

设，则，
不妨设点的坐标为，
则，，
则，
又，设直线所成角为，则，
则，
令，令，则，
令，则，此时.
故当时，取得最大值，此时最小，点，
则，故，则
故选：C.
8、C
【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.
【详解】，，令，得，所以，
因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；
当时，存在使，且当时，；
当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；
设为的极值点，则，且，
所以，，当时，
；当时，，
故C正确，D错误.
9、B
【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.
【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，
∴，
∴，又，
∴，故△为等边三角形，
∴直线l被圆C截得线段的长是2
故选：B
10、C
【解析】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
11、A
【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.
【详解】对于A，由，求出，，，…，
推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，
且，故A正确；
B和C属于演绎推理，故不正确；
对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.
故选：A.
12、B
【解析】根据导数的性质求出函数的极值点，再根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以是函数的极值点，因为，
且
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.
【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，
而展开式中含的项为，
所以的系数为.
故答案为：.
14、
【解析】根据导数的定义求解即可
【详解】由，得，
所以

，
故答案为：
15、
【解析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.
【详解】设，由题可知，
∴，
当时，，适合题意，所以，
当时，令，则，
此时时，，单调递减，，，单调递增，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.
16、
【解析】先由题得到，再整体代入化简即得解.
【详解】因为，
所以，
则
故答案为
【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）
【解析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；
(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案
【详解】解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,
则,,
解可得：,；
则,
若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,
若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,
综合可得：椭圆的标准方程为或；
（2）根据题意,椭圆的焦点为和,
故要求双曲线的方程为,且,
则有,
又由双曲线经过经过点,则有,,
联立可得：,
故双曲线方程为：
【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法,涉及椭圆、双曲线的几何性质,属于基础题
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义或者直接列式化简即可求出；
（2）方法一：设切线的方程为：，与抛物线方程联立，由即可求出的值，从而得出点的坐标，即可求出直线方程
【小问1详解】
设M（x，y），则
解得．所以该抛物线的方程为
【小问2详解】
［方法一］：依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，得，令，得或．从而或，解得或，
所以切点A（－1，），B（2，2），直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，整理得．
［方法二］：由可得，所以，
设切点为（），则切线的斜率，又切线过点P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切点的坐标为A（－1，），B（2，2），所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得
19、（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）记边上的高为，不妨设，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，记，根据锐角三角函数求出，，最后根据，利用两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：（1）由已知条件，所以，所以
所以，，
由余弦定理可得，
而，于是
（2）记边上的高为，不妨设，则，，，所以，
由余弦定理得，
在中，记，则，，
所以
20、（1）证明见解析
（2）30°
【解析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.
【小问1详解】
连接BD，与AC交于点O，
在中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则，
又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.
【小问2详解】
设E是AB的中点，连接PE，因为为正三角形，则，
又因为平面底面ABCD，平面平面，
则平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，

所以，，
设平面CBM的法向量为，则，
令，则，因为平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为，
所以，
所以平面MBC与平面DBC所成角大小为30°
21、（1）
（2）
【解析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，由可得：，
因为“，”为真命题，
所以，
即，解得：.
即的取值范围是.
【小问2详解】
因为，由可得：，
，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以（等号不同时取），解得：，
即的取值范围是.
22、（1）；
（2）
【解析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值
【小问1详解】
由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
【小问2详解】
由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，