2025年山东省青岛市开发区数学高二上期末考试模拟试题含解析.doc

2025年山东省青岛市开发区数学高二上期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线与抛物线C：相交于A，B两点，O为坐标原点，，的斜率分别为，，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，则下列三个数，，（）
A.都不大于-4 B.至少有一个不大于-4
C.都不小于-4 D.至少有一个不小于-4
3．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（ ）

A.120 B.84
C.56 D.28
4．已知命题：，；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
5．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（ ）
A.1 B.e
C.－1 D.
6．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）
A.6 B.7
C.606 D.607
8．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．抛物线的焦点到准线的距离为（）
A. B.
C. D.1
11．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）
A. B.
C. D.
12．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）
A.40 B.42
C.43 D.45
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______
14．双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）
15．生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.这个经验用我们所学的数学公理可以表述为___________.
16．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆的公共弦的长.
18．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，点、均在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两个不同的点、，点在圆上，求面积的最大值.
19．（12分）已知数列满足，.
（1）求证数列是等差数列，并求通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求.
20．（12分）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角大小；
（3）求点到平面的距离.
21．（12分）中国男子篮球职业联赛（ChineseBasketballAssociation），简称中职篮（CBA），由中国国家体育总局篮球运动管理中心举办的男子职业篮球赛事，旨在全面提高中国篮球运动水平，其中诞生了姚明、王治郅、易建联、朱芳雨等球星．该比赛分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，某年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8球队进入季后赛．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
（1）根据表中数据，完成下面列联表：

A队胜
A队负
合计
主场

5

客场
20

合计

60
（2）根据（1）中列联表，判断是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
附：．

0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024

22．（10分）在数列中，，且.
（1）证明；数列是等比数列.
（2）若，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设，，由消得：，
又，由韦达定理代入计算即可得答案.
【详解】设，，
由消得：，
所以，故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
2、B
【解析】利用反证法设，，都大于，结合基本不等式即可得出结论.
【详解】设，，都大于，
则，
由于，故，
利用基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数，，至少有一个不大于，
故选：B.
3、B
【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.
【详解】第一次循环：，，
第二次循环：，，
第三次循环：，，
第四次循环：，，
第五次循环：，，
第六次循环：，，
第七次循环：，，退出循环，
输出.
故选：B
4、C
【解析】分别求得的真假性，从而确定正确答案.
【详解】对于，由于，所以为假命题，为真命题.
对于，在三角形中，，由正弦定理得，所以为真命题，为假命题.
所以为真命题，、、为假命题.
故选：C
5、D
【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.
【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，
所以，
所以切点为，切线的斜率为.
故选：D
6、A
【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出
【详解】如图所示：
设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，
，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，
故选：A.
7、D
【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.
【详解】设，则，则，则，
，的数位是607.
故选：D.
8、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断
【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，
若数列为单调递增数列，则有
（），
所以，
因为，所以，
所以当时，数列为单调递增数列，
而当数列为单调递增数列时，不一定成立，
所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，
故选：A
9、A
【解析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
【详解】解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A
10、B
【解析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B
【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.
11、C
【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离
【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为
故选：C
【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面
12、B
【解析】根据已知求出公差即可得出.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，
则.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据向量为平面ABC的一个法向量，由求解.
【详解】因为，，
所以，
又因为向量为平面ABC的一个法向量，
所以，
解得，
所以，
故答案为：
14、(答案不唯一)
【解析】写出双曲线的渐近线方程，结合方向向量的定义求即可.
【详解】由题设，双曲线的渐近线方程为，又是一条渐近线的一个方向向量，
所以或或或，
所以或.
故答案为：(答案不唯一)
15、不在同一直线上的三点确定一个平面
【解析】根据题意结合平面公理2即可得出答案.
【详解】解：根据题意可知，三脚架与地面接触的三个点不在同一直线上，
则为数学中的平面公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.
故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面.
16、
【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，
“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【小问1详解】
设圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：
，
整理得到：，
到公共弦距离为，
故公共弦的弦长为：.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆心坐标，可求得圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）求得点到直线的距离，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得的表达式，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
解：由题知，线段的中点为，直线的斜率，
所以线段的中垂线为，即为，
所以圆的圆心为轴与的交点，
所以圆的半径，所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题知：圆心到直线的距离，
因为，所以圆心到直线的距离，
所以到直线的距离，
设点、，联立可得，
，，则，
所以，，
所以，
所以，
所以当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值
19、（1）证明见详解，
（2）
【解析】（1）由题意将原式化简变形得到，可证明数列是等差数列，由等差数列的通项公式则可得，进而得到的通项公式；
（2）由（1）把的通项公式代入，得到，利用乘公比错位相减法求和即可.
【小问1详解】
若，则，这与矛盾，
，
由已知得，
，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即.
【小问2详解】
设，则由（1）知，
所以，
，
两式相减，则，
所以.
20、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；
（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；
（3）利用向量法求点到平面的距离.
【小问1详解】
证明：

PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.
由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）
M为PD的中点，，所以，，，
所以，又PDAM，，平面PCDAM 平面PCD.
平面PCD的法向量为.
设平面的法向量为,，
令，则，.
.平面MAC平面PCD.
【小问2详解】
解：设直线与平面所成角为，
由(1)可得：平面PCD的法向量为，，
，即直线与平面所成角大小.
【小问3详解】
解：，设点到平面的距离为，.
点到平面的距离为.
21、（1）填表见解析
（2）没有
【解析】（1）由A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表可得答案；
（2）根据（1）中的列联表，代入可得答案.
【小问1详解】
（1）根据表格信息得到列联表：

A队胜
A队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
【小问2详解】
所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，
∴，∴，从而，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知，则，
∴，
∴.