辽宁省葫芦岛市建昌县高级中学2025年高二数学第一学期期末复习检测试题含解析.doc

辽宁省葫芦岛市建昌县高级中学2025年高二数学第一学期期末复习检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）

A.不存在点使得异面直线与所成角为90°
B.存在点使得异面直线与所成角为45°
C.存在点使得二面角的平面角为45°
D.当时，平面截正方体所得的截面面积为
3．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：
年度
项目
2017年
2018年
2019年
2020年
独立用户访问总量（单位：个）
2512
57392
44000
60989
网站总访问量（单位：次）
23435
370348
194783
219288
下列表述中错误的是（ ）
A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；
B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；
C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；
D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势
4．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A.取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球
B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球
C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球
D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球
5．已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.或2 D.或
6．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
7．下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. D.
10．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（）
A.13 B.16
C.20 D.
11．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）
A. B.
C. D.
12．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__
14．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F和的直线l与抛物线C交于P，Q两点.若，则________.
15．已知p：“”为真命题，则实数a的取值范围是_________.
16．若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分
18．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点
（1）求双曲线方程；
（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程
19．（12分）已知抛物线C：经过点（1，-1）.
（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.
20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面

（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值
21．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
22．（10分）已知数列 {an}满足，
（1）记 ，证明：数列 {bn } 为等比数列，并求数列 {bn}的通项公式；
（2）记数列 {bn}前 n 项和为 Tn ，证明：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.
又因为椭圆与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.
故选：B.
2、D
【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.
【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，

当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；
当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；
当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；

对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.
故选：D.

3、D
【解析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；
B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；
C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；
D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.
故选：D.
4、D
【解析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.
【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件
B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件
C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件
D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件
故选：D
【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.
5、C
【解析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.
【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；
当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.
故选：C.
6、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
7、B
【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可
【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件
从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件
在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件
故随机事件有2个，
故选：B
8、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质
9、D
【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.
【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，
故A不正确；
对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以，故B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以D正确，C不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.
10、B
【解析】利用椭圆的定义及即可得到答案.
【详解】由椭圆的定义，，焦距，
所以的周长为.
故选：B
11、A
【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.
【详解】由椭圆的对称性可知，,
所以，
又椭圆方程为，所以，解得，
所以，
故选：A
12、C
【解析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为成等比数列，，故，即，
故，解得或（舍去），
故，
即，故的前项和为：.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、36
【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值
【详解】∵l⊥α，
∴，
∴，解得，
∴
故答案为：36
14、9
【解析】根据抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，求得抛物线方程.
再由和，得到点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立求得的坐标，再由两点间距离公式求解.
【详解】由抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，
所以，
所以抛物线方程为.
因为，，
所以点P的纵坐标为1，
代入抛物线方程，可得点P的横坐标为，
不妨设，则，
故直线l的方程为，
将其代入得.
可得，
故.
故答案为：9
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15、
【解析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.
16、6
【解析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解
【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以
即,又,所以
到直线的距离
所以直线被圆所截得的弦长为
故答案为:6

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设直线l的方程为：，联立方程，利用韦达定理可得结果；
（2）设，借助韦达定理表示，即可得到结果.
【详解】（1）由已知可设直线l的方程为：，
联立方程组可得，
设，则
又因为，得，
故直线l的方程为：即为；
（2）由题意可设，
可设过P的直线为
联立方程组可得，显然
设，则
所以

所以始终被x轴平分
18、（1）
（2）或
【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【小问1详解】
解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为
【小问2详解】
解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴
综上所求直线l的方程为：或
19、（1），焦点坐标为；
（2）
【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；
（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.
【小问1详解】
解：因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；
【小问2详解】
解：设，因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
20、（1）答案见解析；（2）.
【解析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；
（2）利用空间向量求二面角的余弦值
【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则点，，，
则，
因为平面，
所以，
所以，
解得或
当时，，，；
当时，，，
（2）因为，由（1）知，
平面的一个法向量为
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，则
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为

21、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以

，
，

根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.
22、（1）证明见解析；bn = 2n
（2）证明见解析
【解析】（1）由递推关系式转化为等比数列即可求解；
（2）由（1）求出，再用裂项相消法求和后就可以证明不等式.
【小问1详解】
由 an+1 = 2an +1 可得
所以 {bn} 是以首项 ，公比为 2 的等比数列
所以.
【小问2详解】
易得
于是
所以

因为，所以 .