青海海东市第二中学2026届数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

青海海东市第二中学2026届数学高二上期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（）
A.4 B.5
C.8 D.10
2．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）
A. B.
C. D.
3．点到直线的距离为2，则的值为（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或
4．已知随机变量，且，，则为（）
A.0.1358 B.0.2716
C.0.1359 D.0.2718
5．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．在等差数列中，，则（）
A.9 B.6
C.3 D.1
7．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
8．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）
A. B.
C. D.
9．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（）

A. B.1
C.2 D.
10．新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

患病

未患病

总计

服用药
10

45

55

未服药

20

30

50

总计

30

75

105

下列说法正确的是（）
参考数据：，

0.05
0.01

3.841
6.635
A.有95%的把握认为药物有效
B.有95%的把握认为药物无效
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
11．对于圆上任意一点的值与x，y无关，有下列结论：
①当时，r有最大值1；
②在r取最大值时，则点的轨迹是一条直线；
③当时，则.
其中正确的个数是（）
A.3 B.2
C.1 D.0
12．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________
14．若圆心坐标为圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.
15．__________
16．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线焦点是，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A、B两点

（1）求该抛物线的标准方程和准线方程；
（2）求线段AB的长
18．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足.
（1）求椭圆方程；
（2）已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程；
（3）过椭圆内的一点D（0，t），作斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别是，，若对于任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q
（1）判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点P作垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值
20．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：

其中一个数字被污损.
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）
年龄（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式：，.
21．（12分）已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
22．（10分）已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据双曲线的定义可得：，结合双曲线的方程可得答案.
【详解】由双曲线可得
根据双曲线的定义可得：
故选：C
2、D
【解析】利用正弦定理边化角，角化边计算即可.
【详解】由正弦定理边化角得，
，
再由正弦定理角化边得，即
故选：D.
3、C
【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.
【详解】解：点到直线的距离为，
解得或.
故选：C.
4、C
【解析】根据正态分布的对称性可求概率.
【详解】由题设可得，
，
故选：C.
5、D
【解析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以，所以，故A错误；
又，所以，所以，
所以，故BC错误；
所以，故D正确.
故选：D.
6、A
【解析】直接由等差中项得到结果.
详解】由得.
故选：A.
7、A
【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.
【详解】设，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为
由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，
高
故该正四面体的体积为
故选：A
8、A
【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.
【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，
，解得：，则抛物线的方程为，
由题意知：直线斜率不为，可设，
由得：，则，即，
设，，则，，，
，，解得：或；
又与坐标原点不重合，，，
当时，，直线恒过定点.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
9、C
【解析】由题设写出双曲线的方程,对比系数,求出即可获解
【详解】
由题知
所以双曲线的方程为
又由题设的方程为,所以,即
设AB的中点为,则
由.所以,即圆的半径为2
故选：C
10、A
【解析】根据列联表计算，对照临界值即可得出结论
【详解】根据列联表，计算，
由临界值表可知，
有95%的把握认为药物有效，A正确
故选：A
11、B
【解析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，，对于①，当时，r有最大值1，得出结论；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，得出结论；对于③当时，则得出结论.
【详解】设，
故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，
的取值与，无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
可知直线平移时，
点与直线，的距离之和均为，的距离，
即此时圆在两直线内部，
，的距离为，则，对于①，当时，r有最大值1，正确；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，正确；对于③当时，则即，
解得或，故错误.
故正确结论有2个，
故选：B.
12、B
【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.
【详解】
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：
14、
【解析】利用垂径定理计算即可.
【详解】设圆的半径为，
则，
得.
故答案为：.
15、
【解析】先由题得到，再整体代入化简即得解.
【详解】因为，
所以，
则
故答案为
【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.
【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，
故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）抛物线的方程为，其准线方程为，
（2）
【解析】（1）根据焦点可求出的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；
（2）设，，，，将直线的方程与抛物线方程联立消去，整理得，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求
【小问1详解】
解：由焦点，得，解得
所以抛物线的方程为，其准线方程为，
【小问2详解】
解：设，，，
直线的方程为.
与抛物线方程联立，得，
消去，整理得，
由抛物线定义可知，
所以线段的长为
18、（1）1
（2）或
（3）
【解析】（1）由已知可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设直线，代入椭圆方程中消去，解方程可求出点的坐标，从而可得NT中点的坐标，而，可得解方程可求出的值，即可得到直线NT的方程，
（3）设直线，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系结合直线的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范围
【小问1详解】
设（c，0），M（0，b），N（0，b），
①，
又②，③，
由①②③得，
所以椭圆方程为1.
【小问2详解】
由题C，0），设直线
联立得
，那么，N（0，）
NT中点.
所以，
因为直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，所以
所以
所以得，解得或
所以直线NT为：或.
【小问3详解】
设直线，联立方程得

设A（，），B，），则
…
由对任意k成立，得
点D在椭圆内，所以，所以，
所以m的取值范围为.
19、（1）线段的垂直平分线过定点
（2）
【解析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标.
（2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值.
【小问1详解】
依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于.
设直线PQ的方程为，.
由消去并化简得，
由得，，则，
解得，所以，
在中，令得，所以，
PQ中点为，所以线段PQ的中垂线方程为，
即，所以线段的垂直平分线过定点.
【小问2详解】
由（1）可知，直线PM的方程为，即.
由消去并化简得：，
所以，而，所以得，
，，
.
所以的面积，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
20、（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）先根据两个平均值的大小得到的取值范围，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用方程进行预测.
试题解析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.
（2）由表中数据得，，
∴，线性回归方程.
可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知求出首项和公差即可求出；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，因为，
所以，化简得，解得，
所以
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
所以.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；
（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.
【小问1详解】
∵函数，
∴的定义域为，，
∴在处切线的斜率为，
由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，
所以切点到直线的距离最小，最小值为，
故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.