云南省德宏市2025-2026学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

云南省德宏市2025-2026学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A.3 B.4
C.6 D.11
2．已知函数与，则它们的图象交点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.不确定
3．数列满足，，，则数列的前10项和为（）
A.60 B.61
C.62 D.63
4．圆与圆公切线的条数为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
6．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
7．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
8．已知椭圆，则它的短轴长为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
9．在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）

A.
B.
C.
D.
11．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）
A. B.
C. D.
12．已知，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.

14．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）
15．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.
16．围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合，.
（1）当时，求AB；
（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求b的值.
19．（12分）圆心在轴正半轴上、半径为2的圆与直线相交于两点且.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.

（1）证明：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
21．（12分）记为数列的前项和，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形

（1）证明：是中点；
（2）求点到平面的距离
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.
【详解】由椭圆的定义可知，因为，
所以，因为点分别是线段，的中点，

所以是的中位线，
所以.
故选：A.
2、B
【解析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.
【详解】令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
3、B
【解析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.
【详解】当且为奇数时，，则，
当且为偶数时，，则，
∴.
故选：B.
4、D
【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.
【详解】根据题意，圆即，
其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；
两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；
故选：D.
5、D
【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D
6、D
【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.
【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；
对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.
所以假命题，故A错误；
为假命题，故B错误；
为假命题，故C错误；
为真命题，故D正确.
故选：D
7、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
8、B
【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，
故选：B
9、A
【解析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.
【详解】设公差为，因为，，所以，即，
从而.
故选：A.
10、D
【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】
，
故选：D
11、D
【解析】由离心率得，再由转化为
【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以
故选：D.
12、B
【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，即，解得.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.
【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为平面，所以，，
于是有，
底面为矩形，所以有，
，因为平面，所以，
于是有：，
由余弦定理可知：，
所以，
因此，
，
因为，
所以，
故答案为：

14、 ①.6； ②..
【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论
【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，
由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，
即
所以
故答案为：6；
15、
【解析】运用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】由，所以，而，
所以切线方程为：，令，得，
令，得，所以三角形的面积为：，
故答案为：
16、
【解析】根据互斥事件与对立事件概率公式求解即可
【详解】设“2粒都是黑子”为事件，“2粒都是白子”为事件，
“2粒恰好是同一色”为事件，“2粒不同色”为事件，
则事件与事件是对立事件，所以
因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，
所以，所以，
又，且事件与互斥，所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出
（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围
【详解】（1）由，解得，可得：
，可得：，化为：，解得，
所以=.
（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.
由，解得
，又集合A=，
所以或
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；
（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
代入数据解得，
所以
19、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；
（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.
小问1详解】
因为圆的圆心在轴正半轴上、半径为2，
所以设方程为：，圆心，
设圆心到直线的距离为，
因为，
所以有，或舍去，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：，圆的半径为，
因为直线，所以设直线的方程为，
因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，
当两平行线间的距离为，于是有：，
当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；
当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，
此时直线的方程为.
当两平行线间的距离为，于是有：，
当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；
当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，
此时直线的方程为.
故直线方程为或.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.
【小问1详解】
证明：设，因为是等边三角形，且，
所以是的中点，则.
又，所以，所以，
即.
又平面平面，
所以.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：因为，所以.
在中，，
所以，则
又平面，所以.
如图，连接，则，
所以.
设点到平面的距离为，因为，
所以，
解得，即点到平面的距离为.

21、（1）
（2）
【解析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果；
（2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，，解得；
当且时，
所以
所以是以为首项，为公比的等比数列所以；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
所以，
又 ,
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以数列的前项和.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明出平面，可得出，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；
（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱，平面，平面，则，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，
，则平面，平面，所以，，
因为为等边三角形，故点为的中点.
【小问2详解】
解：因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，则，即，
所以，，
，
，
设点到平面的距离为，
，，解得.
因此，点到平面距离为.