2025-2026学年黑龙江大庆第一中学数学高二上期末复习检测试题含解析.doc

2025-2026学年黑龙江大庆第一中学数学高二上期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的是
A.命题“若，则”的逆命题为真命题
B.若为假命题，则均为假命题
C.若为假命题，则为真命题
D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.
2．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度
A. B.
C. D.
3．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（ ）

A. B.2.8
C. D.2.9
6．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.
C. D.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（ ）
A.正三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
8．第届全运会于年月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元，设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时值为（ ）

A. B.
C. D.
9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A. B.
C. D.
10．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知点到直线：的距离为1，则等于（）
A. B.
C. D.
12．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线方程为______.
14．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

15．已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______.
16．抛物线的焦点坐标为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.

（1）求证：平面平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.
（1）求的最小值；
（2）当直线与轴平行时，求的值.
20．（12分）已知数列的前项和为，并且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，E为的中点

（1）证明：
（2）已知，求二面角的余弦值
22．（10分）在等差数列中．，
（1）求的通项公式：
（2）记的前项和为，求满足的的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性
【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；
因为也成立.所以A不正确；
对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；
对于D，“平面向量满足”，
则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；
由知：，一定有，，
所以共线，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题
2、B
【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角
【详解】解析：由题意，设切线为，∴.
∴或.∴时转动最小
∴最小正角为.
故选B.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题
3、C
【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.
【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程
故选：C.
4、A
【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可
解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件
故选A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
5、C
【解析】根据题意作出辅助线直接求解即可.
【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，
所以，，
又因为，所以，
所以
即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.
故选：C

6、B
【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.

因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
故选：B.
7、C
【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.
【详解】解：由题，得，即，
由正弦定理可得：，
所以，所以
三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.
故选：C.
8、A
【解析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式，再利用导数求出最值即可
【详解】解：设泳池维修的总费用为元，则由题意得
，
则，
令，解得，
当时，；
当时，，
故当时，有最小值
因此，当较短池壁为时，泳池的总维修费用最低
故选A
9、C
【解析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
10、D
【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.
【详解】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，

则，
解得，则爆炸点与观测点的距离为，
故选：D.
11、D
【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.
【详解】因为点到直线：的距离为1，
故可得，整理得，解得.
故选：.
12、A
【解析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意得有两个零点

令 ,
则且
所以，在上为增函数，
可得，
当，在上单调递减，
可得，
即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.
【详解】解：由，
得，
则，
即当时，，
所以切线方程为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.
14、 ①. ②.
【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】过点分别作，，垂足分别为，，

则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.
15、##
【解析】根据椭圆的定义可知，化简并结合基本不等式可求的的最小值.
【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以，
所以，
即，当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以的最小值为，
故答案为：.
16、
【解析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），;
（2）.
【解析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；
（2）求出，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解：，
.
当时，，适合.
.
设等比数列公比为，
，
，即，
或（舍去），
.
【小问2详解】
解：，
，
，
上述两式相减，得，
所以
所以
.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；
（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.
∵，∴.
∵，，
∴，同理.
又，∴，
∴.∵，，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，
∴，.

∵三棱锥和的体积比为，
∴，
∴，
∴.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设直线与平面所成角为，
则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
19、（1）3；（2）5
【解析】（1）由题可得和的距离即为的最小值；
（2）可得此时直线的方程为，求出交点坐标即可求出距离.
【详解】（1）由题可得当且时，取得最小值，即和的距离，
由两平行线间的距离公式，得，
所以的最小值为3.
（2）当直线与轴平行时，方程为，
设直线与直线，分别交于点，，
则，，
所以，即，
所以.
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；
（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知
【详解】（1） ,①
当 时， ，②
由①—②可得： ,且
数列 是首项为1，公差为2的等差数列，即
（2）由（1）知数列， ,
则 ,①
∴ ,②
由①﹣②得
,
∴ ,.
【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.
21、（1）详见解析
（2）
【解析】（1）利用垂直关系，转化为证明线面垂直，即可证明线线垂直；
（2）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图，取的中点，连结，，，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，且平面，
所以，
又因为底面时菱形，所以，
又因为点分别为的中点，所以，
所以，且，
所以平面,又因为平面，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，平面，连结，
因为，，点为的中点，
所以，则两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，
所以,，，，，，
所以,，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设平面的法向量为，
所以，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的概念及通项公式可得基本量，进而可得解.
（2）利用等差数列求和公式计算，解不等式即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
解得，
所以的最大值为.