重庆市第七中学2025年高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

重庆市第七中学2025年高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
4．已知是等比数列，，，则（）
A. B.
C. D.
5．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．设是等差数列的前n项和，若，，则（）
A.26 B.－7
C.－10 D.－13
7．不等式解集为（）
A. B.
C. D.
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
9．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为
A.15 B.
C.6 D.3
10．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知数列{}满足，且，若，则＝（ ）
A.－8 B.－11
C.8 D.11
12．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）

A.圆上 B.双曲线上
C.抛物线上 D.椭圆上
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列满足，公差，则当的前n项和最大时，___________
14．若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________
15．已知，命题p：，；命题q：，，且为真命题，则a的取值范围为______
16．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
雨
雨
阴
晴
晴
晴
雨
估计运动会期间不下雨的概率为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.

（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
18．（12分）已知四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，G是的中点

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值
19．（12分）已知直线：，直线：
（1）若，之间的距离为3，求c的值：
（2）求直线截圆C：所得弦长
20．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望
附：，其中n=a+b+c+d

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

21．（12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.
22．（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，

Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；

在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
2、D
【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限
【详解】复数在复平面内对应的点为
则复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D
3、B
【解析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.
【详解】设等差数列{an}的公差为，
，，，即，
即.
当，时，①③④均成立，②不成立.
故选：B
4、D
【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案
【详解】由题得.
所以，
所以.
所以，所以数列是一个等比数列.
所以=.
故选：D
5、A
【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可
解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件
故选A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
6、C
【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.
【详解】，，解得，故.
故选：C.
7、C
【解析】化简一元二次不等式的标准形式并求出解集即可.
【详解】不等式整理得，
解得或，
则不等式解集为.
故选：.
8、A
【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
【详解】由条件可知，，
化简为：，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，
所以两圆相交.
故选：A
9、C
【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果
【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，
∴2，
∴2＝a1+a1+5d，
解得2a1+5d＝2，
∴{an}前6项的和为2a1+5d）=
故选C
【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用
10、B
【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.
【详解】由双曲线的离心率为，知 ，
则，即有 ，故，
所以双曲线C的渐近线方程为 ，即，
故选：B.
11、C
【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.
【详解】因为，且，，
故可得，解得（舍）,；
同理求得，，.
故选：C.
12、A
【解析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.
【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，
则，，因为为底面内的一动点，所以可设，
因此，，
因为平面，所以，因此，
所以由得，
即，整理得：，表示圆，
因此，动点的轨迹在圆上.
故选：A.

【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】根据公式求出前n项和，再利用二次函数的性质.
【详解】因为等差数列，，
所以，
当时，取到最大值.
故答案为：3.
14、6
【解析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解
【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以
即,又,所以
到直线的距离
所以直线被圆所截得的弦长为
故答案为:6
15、
【解析】先求出命题p,q为真命题时的a的取值范围，根据为真可知p,q都是真命题,即可求得答案.
【详解】命题p：，为真时，有，
命题q：，为真时，则有 ，
即 ，
故为真命题时，且，即，
故a的取值范围为，
故答案为：
16、
【解析】以每相邻两天为一个基本事件，求出试验的基本事件数，再求出两天都不下雨的基本事件数，利用古典概率公式计算作答.
【详解】依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18号为不同的两个基本事件，
则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，
其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，
所以运动会期间不下雨的概率为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；
（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.
【小问1详解】
由已知得：,
平面，
又平面,
在中，,由余弦定理得：，
，即，平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，

，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则与，
即与,..
,
观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，线段的中点为H，分别连接，可证，从而可得平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：设，线段的中点为H，分别连接

又因为G是的中点，
所以
因为四边形为矩形，据菱形性质知，O为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：据四边形是菱形的性质知，
又因为平面平面，平面，
平面平面，故平面，
所以以分别为x轴，y轴，以过与的交点O，且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则有，
所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
所以，
所以二面角的正弦值为
19、（1）或
（2）
【解析】（1）根据两条平行直线的距离公式列方程，化简求得的值.
（2）利用弦长公式求得.
【小问1详解】
因为两条平行直线：与：间的距离为3，
所以
解得或.
【小问2详解】
圆C：，
圆心为，半径为.
圆心到直线的距离为，
所以弦长
20、（1）有（2）分布列见解析，
【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；
（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”， 记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；
【小问1详解】
解：由题意，

所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，
∴，，，
X的分布列如下表：
X
0
1
2
P

21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
【小问1详解】
的准线为：，作于R，

根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
小问2详解】
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据导数的加法运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可；
（2）根据导数的加法和乘法的运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.