吉林省松原市乾安县七中2025年高二上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

吉林省松原市乾安县七中2025年高二上数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中为真命题的是（）
A如果，，n∥β，那么
B.如果，，，那么α∥β
C.如果m∥n，，，那么α∥β
D.如果m∥n，，，那么
2．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
3．若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
4．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线
C.线段 D.圆
5．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A.076 B.104
C.390 D.522
6．下列说法中正确的是
A.命题“若，则”的逆命题为真命题
B.若为假命题，则均为假命题
C.若为假命题，则为真命题
D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.
7．命题：“，”的否定形式为（）
A.， B.，
C.， D.，
8．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
9．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
10．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
11．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（ ）
A.－2 B.0
C.3 D.6
12．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设a为实数，若直线与直线平行，则a值为______.
14．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________.
15．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.
16．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数，，，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.

（1）求动点的轨迹；
（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；
（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.
19．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求
20．（12分）已知数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为，求实数k的取值范围
22．（10分）在二项式的展开式中；
（1）若，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中各项的系数之和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】AB.利用两平面的位置关系判断；CD.利用面面平行的判定定理判断；
【详解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故错误；
B.如果，，，那么α，β垂直，故错误；
C.如果m∥n，，则，又，那么α∥β，故C正确；D错误，
故选:C
2、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
3、C
【解析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.
【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.
故选：C
4、C
【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.
【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.
故选：
5、D
【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.
【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，
故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，
设，由题可知：，故可得，
故可得.
当时，.
故选：.
6、D
【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性
【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；
因为也成立.所以A不正确；
对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；
对于D，“平面向量满足”，
则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；
由知：，一定有，，
所以共线，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题
7、D
【解析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：“，”的否定形式为：，，
故选：D.
【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.
8、C
【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.
【详解】
根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，
取，的中点，易知且过中心点，
所以异而直线和所成角为和所成角，
连接，在中，
，，，
所以则异而直线与所成角的余弦值为：
，
故选：C.
9、D
【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
10、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
11、A
【解析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，
所以a3＝a1＋2d＝－2.
故选：A.
12、B
【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.
【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.
所以，为假，故A错误；
为真，故B正确；
为假，故C错误；
为假，故D错误.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据两直线平行得到，解方程组即可求出结果.
【详解】由题意可知，解得，
故答案为：.
14、
【解析】利用圆锥的结构特征及侧面积公式即得.
【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l,
又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为，
∴，
∴.
故答案为：.
15、
【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，
于是得，即，
由得，而，于是得，即
因，则，，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
16、1
【解析】由平均数列出方程，求出x的值.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）极小值为：，无极大值
（2），，
【解析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；
（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，
求出公切线，代入后分别证明和成立即可.
【小问1详解】
由题意知：，令，解得，令，
解得，所以函数在单调递增，在单调递减，
所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.
【小问2详解】
设，易知，
所以点是和的公共点，
要使成立，
只需要为函数和的公切线即可，
由（1）知，，所以在点处的切线为：，
同理可得在点处的切线为：，
由题意知为同一条直线，所以解得，
即等价于；
下面证明这个式子成立：首先证明等价于，
设，所以，
恒成立，所以单调递增，易知，
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，故不等式成立，
即成立；
再证明：等价于，设，
所以，所以当时，，
当时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以，故不等式成立，即成立；
综上所述，存在，，使得成立.
故：，，.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.
某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，
抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.
因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，
是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，
有着非凡的功效.
18、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点
【详解】（1）设，，.
由，得，即.
因为，所以，所以.
所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.
（2）证明：设点，，
若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，
又，，所以，
，整理得，
所以.
（3）因为，
所以，
即，①
直线的方程为：，
整理得：，②
将①代入②得，即，
当时，
即直线经过定点.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.
19、（1）
（2）9
【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；
（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列首项为，公比为
则有，解之得
则等比数列的通项公式.
【小问2详解】
由，可得
20、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）由，取倒数得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.
【小问1详解】
证明：由，以及，显然，
所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，，
所以数列的前项和①
所以②
则由②-①可得：

，
所以数列的前项和.
21、（1）或；（2）.
【解析】（1）设圆心为，由题意及圆的弦长公式即可列方程组，解方程组即可；
（2）由题意可将问题转化为圆心到直线l：的距离，解不等式即可.
【详解】解：（1）设圆心为，半径为r，根据题意得，
解得，
所以圆C的方程为或
（2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为，
由圆C上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，可知圆心到直线l：的距离
即，所以，
解得
所以直线l斜率的取值范围为
22、（1）60（2）①1024；②1
【解析】（1）根据二项式定理求解
（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值
【小问1详解】
若，则，（，…，9）
令∴∴常数项为.
【小问2详解】
，（，…，）
，解得
①
②令，得系数和为