广东广州外国语学校2025年数学高二上期末调研模拟试题含解析.doc

广东广州外国语学校2025年数学高二上期末调研模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A.2 B.
C. D.
2．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）

A.存在极大值点 B.在单调递增
C.一定有最小值 D.不等式一定有解
3．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
4．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．方程表示的曲线是（）
A.一个椭圆和一个点 B.一个双曲线的右支和一条直线
C.一个椭圆一部分和一条直线 D.一个椭圆
6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
8．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A.1 B.
C. D.
9．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）
A.50% B.30%
C.10% D.60%
10．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）
A.或 B.或
C.或 D.或
11．点到直线的距离为
A.1 B.2
C.3 D.4
12．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．方程()所表示的直线恒过定点________
14．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.
15．若函数在处取得极小值，则a=__________
16．设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的长轴长是6，离心率是.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知直线l：，圆C：.
（1）当时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值.
19．（12分）已知抛物线上的点P（3，c）），到焦点F的距离为6
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）和焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，求△PAB的面积
20．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；
（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点
21．（12分）已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围
22．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点

（1）求证：D1F平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：

设，则，，，
因为，所以，
则四边形是矩形，
在中，，
即，解得，
在中，，
即，
解得，
故选：D
2、C
【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.
【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，
当时，，当时，，
可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，
且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，
同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.
故选：C.
3、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
4、D
【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.
【详解】由题意，，所以在第四象限.
故选：D.
5、C
【解析】由可得，或，再由方程判断所表示的曲线.
【详解】由可得，或，即或，则该方程表示一个椭圆的一部分和一条直线.
故选：C
6、B
【解析】求出，根据点到直线的距离的向量公式进行求解.
【详解】因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离.
故选：B
7、A
【解析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图：

其中平面，，则该四面体的体积为.
故选：A.
8、D
【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题
9、A
【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.
【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，
甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，
所以甲、乙两人下成平局的概率为.
故选：A.
10、D
【解析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解
【详解】圆心为，半径为2，
斜率不存在时，直线满足题意，
斜率存在时，设直线方程为，即，
由，得，直线方程为，即
故选：D
11、B
【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】，答案为B
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
12、A
【解析】利用古典概型的概率公式求解.
【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：
，
其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，
所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】将方程化为，令得系数等于0，即可得到答案.
【详解】方程可化为，
由，得，
所以方程()所表示的直线恒过定点.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线恒过定点问题，属于基础题.
14、
【解析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案
【详解】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.
即的取值范围为.
故答案为
点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题
15、2
【解析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.
【详解】由可得，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得或，
若，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故答案为：2.
【点睛】思路点睛：
已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.
16、
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在数列的前50项内，则数列的前50项中包括的前48项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，集合构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，
集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，
可得，
又由不在集合中，在集合中，也在集合中，
因为，解得，此时，所以不在数列的前50项内，
则数列的前50项的和为
.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，.
【解析】(1)根据给定条件求出椭圆长短半轴长即可代入计算作答.
(2)当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、向量数量积运算，推理计算作答.
【小问1详解】
依题意，，半焦距为c，则离心率，即，有，
所以椭圆E的标准方程为：.
【小问2详解】
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由消去y并整理得：，设，
则，，，
，，

，
要使为定值，必有，解得，此时，
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，
当时，，
即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，
所以存在满足条件.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
18、（1）相离，理由见解析；（2）0或
【解析】（1）求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；
（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.
【详解】（1）圆C：的圆心为，半径为2，
当时，线l：，
则圆心到直线的距离为，
直线l与圆C相离；
（2）圆心到直线的距离为，
弦长为，则，解得或.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得，即可得到抛物线方程；
（2）写出直线方程，联立抛物线方程，进而求得弦长|AB|,再求出点P到直线的距离，即可求得答案.
【小问1详解】
由抛物线的焦半径公式可知： ，
即得 ，故抛物线方程为：；
【小问2详解】
点Q（2，1）和焦点作直线l，则l方程为 ，
即 ，
联立抛物线方程： ，整理得 ，
设 ，则 ，
故 ，
点P（3，c）在抛物线上，则 ，
点P到直线l的距离为 ，
故△PAB的面积为 .
20、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.
（2） 设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，
由题意以为直径圆经过原点可得， 化简即可求出直线的斜率.
（3）由题意可得圆的方程，设，
由和直线的方程化简，即可得到答案.
【小问1详解】
，，椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
设.
把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：
.
.
由以为直径圆经过原点知，.
.
经检验，满足，所以.
【小问3详解】
由题意可得圆的方程为，设，
由得
.①.
当时，，直线的方程为.
直线过椭圆的右焦点.
当时，直线的斜率为且过，
②
把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.
综上所述，直线过椭圆的右焦点.
21、或
【解析】先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.
【详解】若是真命题．则对任意恒成立，∴；
若为真命题，则方程有实根，
∴，解得或，
由题意，真也真，∴或
即实数的取值范围是或.
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系.
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于，所以平面.
（2）直线与平面所成角为，
则.