2025年天津市静海区第四中学高二上数学期末经典试题含解析.doc

2025年天津市静海区第四中学高二上数学期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）
A. B.
C. D.
3．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）

A.1 B.2
C. D.3
4．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
5．如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A. B.
C. D.
6．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为
A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
7．已知命题对任意，总有；
是方程的根
则下列命题为真命题的是
A. B.
C. D.
8．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A.只有2次出现反面 B.至少2次出现正面
C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面
9．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.0 B.1
C.4 D.0或4
10．函数极小值为（）
A. B.
C. D.
11．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）
A. B.
C. D.
12．三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）
A. B.
C.或 D.或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______
14．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；
15．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______
16．几位大学生响应国家创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”活动.这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合…，…，例如：，，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设：实数满足，：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
18．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.
20．（12分）已知为数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围
21．（12分）新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位师生的信息，发现对监管力度满意的占75%，对食品质量满意的占60%，其中对监管力度和食品质量都满意的有80人.
（1）完成列联表，试问：是否有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联？
监督力度情况
食品质量情况
对监督力度满意
对监督力度不满意
总计
对食品质量满意
80

对食品质量不满意

总计

200
（2）为了改进工作作风，针对抽取的200位师生，对监管力度不满意的人抽取3位征求意见，用X表示3人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求X的分布列与均值.
参考公式：，其中.
参考数据：
①当时，有90%的把握判断变量A、B有关联；
②当时，有95%的把握判断变量A、B有关联；
③当时，有99%的把握判断变量A、B有关联.
22．（10分）物联网(Internet of things)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.
（1）求的值；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可.
【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以，
故选：A
2、C
【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
3、D
【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，
，即，
故选：D
4、D
【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】因为a，b为正实数，且，
所以.
当且仅当，即时取等号.
故选：D
5、D
【解析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.
【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），

则，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
所以平面的一个法向量为；
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D.
6、A
【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集
【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，
所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，
又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选A

【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题
7、A
【解析】由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A
8、D
【解析】根据对立事件的定义选择
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”
故选：D
9、A
【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
故选：A.
10、A
【解析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数求导得，令，可得或，
列表如下：

减
极小值
增
极大值
减
所以，函数的极小值为.
故选：A.
11、B
【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.
【详解】解：因为，都是锐角，所以，，
因为，所以，
即，，所以，，
因为，所有，

故选：B.
【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.
12、D
【解析】根据三个实数构成一个等比数列，解得，然后分，讨论求解.
【详解】因为三个实数构成一个等比数列，
所以，解得，
当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，
所以，
当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，
所以，
所以，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、相交
【解析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.
【详解】化为，
化为，
则两圆圆心分别为：，，半径分别为：，
圆心距为，，
所以两圆相交.
故答案为：相交.
14、
【解析】函数，
又函数在区间上单调递减
∴在区间上恒成立
即，解得:，
当时，经检验适合题意
故答案为
【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解
15、 ①.##(0,1.5) ②.
【解析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
16、376
【解析】由题设知集合的规律为最小的元素为且元素构成公差1的等差数列，共有个元素，即可写出的所有元素，应用等差数列前n项和公式求激活码.
【详解】由题设，或，即，
或，即，
所以或，
则，故各个元素之和为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；
（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可
【小问1详解】
当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为
若为真，则，解得实数x的取值范围为
【小问2详解】
若p是q的必要不充分条件，则且
设，，则，又
由，得，因为，则，有，解得
因此a的取值范围为
18、
【解析】甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付费用相同的概率；
【详解】两人所付费用相同，相同费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，
两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
19、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝
【解析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，
（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.
【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，
由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，
则，
解可得a，b＝-1，
（2）由（1），
易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，
又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），
所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.
【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题
20、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.
（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.
（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围
【小问1详解】
当时，，可得，
当时，，可得，
∴是首项、公比都为的等比数列，故.
【小问2详解】
由（1），，
∴.
【小问3详解】
由题设，，
∴，
则，
∴，
由对一切恒成立，
令，则，
∴数列单调递减，
∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，
当为偶数，恒成立且在上递增，则，
综上，.
21、（1）列联表见解析，有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联；
（2）X的分布列见解析，X的期望为
【解析】(1)根据给定条件完善列联表，再计算的观测值并结合给定数据即可作答.
(2)求出X的可能值及各个值对应的概率列出X的分布列，再计算期望作答.
【小问1详解】
对监管力度满意的有，对食品质量满意的有，
列联表如下：

对监督力度满意
对监督力度不满意
总计
对食品质量满意
80
40
120
对食品质量不满意
70
10
80
总计
150
50
200
则的观测值为：，
所以有99%的把握判断监管力度与食品质量有关联.
【小问2详解】
由(1)及已知得，X的所有可能值为：0，1，2，3，
，，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

X的期望为：.
【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释
22、（1）
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元
【解析】（1）将题中数据代入解析式可求；
（2）利用基本不等式可求解.
【小问1详解】
由题意，，
当时，，，
解得.
【小问2详解】
设两项费用之和为（单位：万元），
则.
因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，解得.
所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.