远程授课山西省大同市第一中学2025年数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

远程授课山西省大同市第一中学2025年数学高二第一学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆的圆心在轴上，半径为2，且与直线相切，则圆的方程为
A. B.或
C. D.或
2．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）
A. B.
C. D.
3．圆与圆的位置关系为（）
A.内切 B.外切
C.相交 D.相离
4．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）
A.0.01245 B.0.05786
C.0.02865 D.0.03745
5．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）
A.5 B.3
C.9 D.25
6．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
7．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（　　）
A.++ B.+
C.++ D.+
9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
10．若，则的最小值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）
A.4 B.2
C.2 D.3
12．命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）
A.0 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则直线l的斜率为______
14．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
15．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.

给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角45°.
其中所有正确结论的序号是___________.
16．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.

①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）年月日，中国选手杨倩在东京奥运会女子米气步枪决赛由本得冠军，为中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若采用分层抽样的方法，从得分高于分的射击爱好者中随机抽取人调查射击技能情况，再从这人中随机选取人进行射击训练，求这人中至少有人的分数高于分的概率.
18．（12分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于、两点，求三角形AOB的面积.
19．（12分）已知函数．若图象上的点处的切线斜率为
（1）求a，b的值；
（2）的极值
20．（12分）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.
21．（12分）【2018年新课标I卷文】已知函数
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，
22．（10分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设圆心坐标，由点到直线距离公式可得或，进而求得答案
【详解】设圆心坐标，因为圆与直线相切，所以由点到直线的距离公式可得，解得或.因此圆的方程为或.
【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于一般题
2、A
【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.
【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系

∵底面是边长为8的正方形，，
∴，，，
因为,且，所以平面，
∴，平面的法向量，
∴与对角面所成角的正弦值为
故选：A.
3、B
【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.
【详解】由可得圆心为，半径，
由可得圆心为，半径，
所以圆心距为，
所以两圆相外切，
故选：B.
4、D
【解析】设出事件，利用全概率公式进行求解.
【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故
故选：D
5、A
【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.
【详解】∵椭圆的一个焦点是，
∴，
∴，
故选：A
6、C
【解析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.
【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，
根据圆与圆相切，则，，两式相减得，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.
7、C
【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.
【详解】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
8、B
【解析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出
【详解】如图所示，

∵＝+，
又＝，＝－，＝，
∴＝+，
故选：B
9、C
【解析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.
【详解】由题设，易知：，

由知：，即，整理得：.
故选：C
10、D
【解析】由基本不等式求解即可.
【详解】，当且仅当时，取等号.
即所求最小值.
故选：D
11、A
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，
根据椭圆和双曲线定义，得，，
，
由可得，又，
在中，，
即，
化简得，两边同除以，得.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.
12、D
【解析】首先判断原命题的真假，写出其逆命题，即可判断其真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判断；
【详解】解：因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；
其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题；
故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】如图，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，求得，从而得出直线的斜率
【详解】解：如图，当在第一象限时，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
由抛物线的定义可知：设，则，，，
在直角三角形中，，所以，
则直线的斜率；
当在第四象限时，同理可得，直线的斜率，综上可得直线l的斜率为；
故答案为：

14、1296
【解析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出
【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；
若取出的数字中含零，则有四位数个；
所以，这样的四位数有个
故答案为：1296
15、②③
【解析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可判断.
【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，
则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，
故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，，
所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误；
对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故正确；
对于③，，，由②的讨论得，
所以，
所以
，
设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，
所以，故，
由于要使直线与为异面直线，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，
由于，
所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.
故答案为：②③

16、①④
【解析】画出正方体，，，故，① 正确，根据相交推出矛盾得到② 错误，根据，与相交得到③ 错误，排除共面的情况得到④ 正确，得到答案.
【详解】如图所示的正方体中，，，故，① 正确；
若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误；
，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误；
，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确；
故答案为：① ④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），平均分为；
（2）.
【解析】（1）利用频率直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得平均成绩；
（2）分析可知所抽取的人中，成绩在内的有人，分别记为、、、，成绩在内的有人，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图得到，解得.
这组样本数据平均数为.
【小问2详解】
解：根据频率分布直方图得到，分数在、内的频率分别为、，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，
成绩在内的有人，分别记为、、、，
成绩在内的有人，分别记为、，
记“人中至少有人的分数高于分”为事件.
则所有的基本事件有、、、、、、、、、
、、、、、，共种.
事件包含的基本事件有、、、、、、、、，共种，
所以.
18、（1）
（2）
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点的轨迹方程；
小问2：可知直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值，结合面积公式即可求解
小问1详解】
由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以，则，
所以动点的轨迹方程是.
【小问2详解】
由已知直线的方程是，设、，
由得，，
所以，则，故
，
19、（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，令，得
或，，

－1
（－1，3）
3

＋
0
－
0
＋

的极大值为，极小值为.
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由此求得，同理求得，从而化简求得直线的斜率为定值.
【小问1详解】
由题可知，解得，
从而粚圆方程为.
【小问2详解】
证明设直线的斜率为，
则，，
联立直线与椭圆的方程，得，
整理得，
从而，于是，
由题意得直线的斜率为，
则，，
同理可求得，
于是

即直线的斜率为定值.
21、 (1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–
由题设知，f ′（2）=0，所以a=
从而f（x）=，f ′（x）=
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增
（2）当a≥时，f（x）≥
设g（x）=，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0
因此，当时，
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
22、（1）14海里小时；
（2）.
【解析】（1）由题意知，，，.
在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.
（2）在△中，，，，，
由正弦定理，即可解出的值.
【小问1详解】
(1）依题意，，，，.
在△中，由余弦定理，得

.
解得.故渔船甲的速度为海里小时.
即渔船甲的速度为14海里小时.
【小问2详解】
在△中，因为，，，，
由正弦定理，得，即.
值为.