静定结构内力计算.ppt

第3章 静定结构内力计算,3.,*,3.,*,第3章 静定结构内力计算,第3章 静定结构内力计算,返回总目录,杆件的内力,静定平面桁架的内力计算,静定梁的内力和内力图,静定平面刚架的内力和内力图,三铰拱的内力,组 合 结 构,静定结构的特性,习 题,本章内容,教学要求：,静定结构基本特征和特性是构造上无多余联系，静力解答上其全部反力和内力只用静力平衡方程式即可唯一确定。支座移动、温度改变不产生内力，只有荷载作用才产生内力。本章要求学生熟练地掌握求解各种静定结构的方法，并且能根据内力与外力之间的微分关系，绘制梁、刚架结构的内力图。了解静定结构的特性及各种静定结构的内力特征。,平面结构在任意荷载作用下，其杆件横截面上一般有三个内力分量，即轴力N、剪力Q和弯矩M，如图3.1(b)所示。,计算指定截面内力的基本方法是截面法，即将指定截面切开，取左边部分(或右边部分)为隔离体，利用隔离体的平衡条件，确定此截面的三个内力分量。,沿杆件轴线方向的内力N为轴力。其数值等于截面一侧所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。规定轴力使所研究的杆段受拉时为正，反之为负。,沿着杆件横截面(垂直杆件轴线)的内力Q为剪力。其数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。规定剪力使所研究的杆段有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负。,杆件横截面上作用力偶的力偶矩M称为弯矩。,弯矩图绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号；轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需标明正、负号。,杆件的内力,图3.1 杆体的内力,桁架结构是指各杆两端都是用铰相连且只受结点荷载作用的结构。其受力特性是各杆只受轴力作用，而没有弯矩和剪力。在平面桁架的计算简图中，通常引用如下假定：,(1)各杆在两端用光滑的理想铰相互连接。,(2)各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰的中心。,(3)所有的力(包括荷载和支座反力)只作用在结点上并都在桁架平面内。,根据结构组成规则，若属于先组成铰接三角形，然后再依次加二元体所组成的桁架，称为简单桁架，如图3.2所示。,一、,概述,静定平面桁架的内力计算,图3.2 简单桁架,按照与几何组成相反的顺序截取桁架的结点为隔离体，考虑该结点的力的平衡，从而解出桁架各杆的内力，称结点法。结点法截取的脱离体为平面汇交力系，一次只能求两个未知力。,凡是内力为零的杆件都称为零杆。现列举几种特殊结点如下：,(1)L形结点(如图3.5(a)所示)，结点连接两个杆件且无荷载作用，此时两杆内力为零。,(2)T形结点(如图3.5(b)所示)，结点连接三个杆件且无荷载作用，其中有两杆在同一直线上，则第三杆为零杆，而共线两杆的内力相等且符号相同(即同为拉力或同为压力)。,(3)X形结点(如图3.5(c)所示)，结点连接四杆且两两共线，当结点上无荷载作用时，则共线两杆的内力相等且符号相同。,(4)K形结点(如图3.5(d)所示)，结点连接的四杆，有两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，当结点上无荷载时，则非共线两杆内力大小相等而符号相反(一杆为拉力，则另一杆为压力)。,二、,结点法,静定平面桁架的内力计算,图3.5 几种特殊结点,【例3.1】,试用结点法求图3.6所示的桁架各杆的轴力。,图3.5 几种特殊结点,解 经分析得，该结构可先去掉二元体杆件7-9和8-9，则原结构变为对称结构在对称荷载作用下的情况。,首先求出支座反力，如图3.6(a)所示，以桁架整体为研究对象：,静定平面桁架的内力计算,结点1：由平衡条件,(),求得,结点2：由平衡条件可求得：,结点3：,结点5：,结点4：,(),静定平面桁架的内力计算,由对称性可知桁架另一半的轴力：F,68,=F,12,=60kN，F,46,=F,24,=60kN，F,67,=F,23,=80kN，F,47,=F,34,=0，F,13,=F,78,=-100kN。,利用结点法可以求解任意静定桁架的内力，但当桁架结点数目较多时，而问题又只要求桁架中的某几根杆件的内力，这时用结点法求解就显得繁琐了。在这种情况下，一般采用截面法确定某些杆件的内力。,截面法就是适当选择一个截面，将整个桁架分为两部分，并以其中的一部分为隔离体，根据平衡条件求出所需截杆的内力。通常情况下，作用在隔离体上的为平面一般力系，故可建立三个独立平衡方程。因此，若隔离体上的未知力不超过三个，则一般能将其内力全部求出。,值得注意的是，在求解桁架内力时，应充分考虑利用对称性。对称结构在正对称荷载作用下，结构的内力必然正对称；在反对称荷载作用下，结构的内力必然反对称。由此可方便地确定桁架的零杆和其他各杆的内力。,三、,截面法,静定平面桁架的内力计算,【例3.2】,求图3.7所示桁架中指定杆件1、2、3的内力。,解 先求出桁架的支座反力。以桁架整体为研究对象，利用对称性求得：,用截面1-1将桁架截开，取截面左半部为研究对象，如图3.7(b)所示。,列平衡方程：,由,得,为求得2、3杆内力，用截面2-2将桁架截开，取截面右半部分为研究对象，如图3.7(c)所示。列平衡方程：,解得,静定平面桁架的内力计算,图3.7 例3.2图,静定平面桁架的内力计算,静定梁的内力和内力图,常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3.8中的(a)、(b)、(c)所示。,一、,单跨静定梁,图3.8 单跨静定梁,它们都是由梁和地基按两刚片规则组成的静定结构，因而其支座反力都只有三个，可由平面一般力系的三个平衡方程直接求解。,内力的符号通常规定如下：轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受拉者为正。,梁内力图的形状特征和梁上荷载的关系见表3-1。,表3-1 梁内力图的形状特征和梁上荷载的关系,【例3.3】,试作如图3.9所示梁的剪力图和弯矩图。,解 首先计算支座反力。取全梁为隔离体，由,，有：,解得,再由 ，可得,绘制剪力图时，用截面法算出下列各控制截面的剪力值：,然后即可绘出剪力图如图3.9(b)所示。,图3.9 例3.3图,静定梁的内力和内力图,绘制弯矩图时，用截面法算出下列各控制截面的弯矩值：,由此便可绘出弯矩图如图3.9(c)所示。其中EF段梁的弯矩图可用叠加法绘出，现说明如下：取EF段梁为隔离体，不难看出，它与一个跨度等于此段梁长度并承受同样荷载q及杆端弯矩 M,E,、M,F,作用的相应简支梁的受力情况是相同的。因为若在二者中分别用平衡条件求Q,E,、Q,F,和R,E,、R,F,，便可得知Q,E,=R,E,，Q,F,=R,F,，即它们所受外力完全相同，因而二者具有相同的内力图。于是，在绘制EF段梁的弯矩图时，就可以先将其两端弯矩M,E,、M,F,求出并联以直线(图中虚线)，然后以此直线为基线再叠加相应简支梁在荷载q作用下的弯矩图。此段梁中点H处的弯矩为：,这种绘制某段梁弯矩图的叠加法，可称为区段梁叠加法，它对任何直杆区段都是适用的。,静定梁的内力和内力图,最后，为了求出最大弯矩值M,max,，应确定剪力为零处即截面K的位置。由,从几何组成上看，多跨静定梁的各部分可以分为基本部分和附属部分。其中不依赖其他部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部分称为基本部分，而将必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分。显然，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变；反之，若基本部分被破坏，则附属部分必随之连同倒塌。,计算多跨静定梁的顺序为先附属部分，后基本部分，先求支座反力和各支座截面控制弯矩，然后利用荷载内力之间的微分关系即可做出多跨静定梁的内力图。,工程上可利用杆件的外伸部分使支座处产生负弯矩，从而相对于等跨度的简支梁可使跨中最大正弯矩值减少。因此，在相同荷载的作用下，比连续排放的简支梁可有更大跨度。,二、,多跨静定梁,静定梁的内力和内力图,【例3.4】,试绘制如图3.10所示的多跨静定梁的内力图。,图3.10 多跨静定梁,解 梁铰C以左是基本部分，右边则是附属部分。在图示荷载作用下梁无轴力存在。,按层叠关系画出隔离体图如图3.10(b)所示。先由附属部分计算铰C处的约束力和D支座的竖向反力为F,cy,=4.5kN，F,Dy,=-4.5kN，负号说明反力的实际方向与图中所设的方向相反。将F,Cy,反向作为基本部分的荷载之一，算得支座反力F,ay,=4.2kN，F,By,=10.3kN。由此可求出各杆件的内力，并分别做出弯矩和剪力图，如图3.10(c)、(d)所示。,静定梁的内力和内力图,静定平面刚架的内力和内力图,刚架也称框架，是工程中最常见的结构形式之一，一般都是超静定的。平面刚架是由若干根直杆(梁和柱)用刚性结点所组成的平面结构，其中刚性结点又简称刚结点。静定刚架在实际工程中应用不多，常见的型式有悬臂式刚架、简支刚架及三铰刚架等。解算超静定刚架的内力是建立在静定刚架内力计算的基础上的，因此必须熟练地掌握静定刚架内力的计算方法。,静定刚架的内力计算同梁一样，仍是用截面法截取隔离体，然后由平衡条件求解。计算的顺序仍为先附属部分，后基本部分。其步骤通常是先由整体或某些部分的平衡条件，求出各支座反力和各铰接处的约束力，然后逐杆求出其杆端内力(或分段求其内力)，最后绘制内力图。,【例3.5】,试作如图3.11所示刚架的内力图。,解 (1)计算支座反力：此为一简支刚架，反力只有3个，考虑刚架的整体平衡，即,由 可得：,由 可得：,由 可得：,静定平面刚架的内力和内力图,图3.11 例3.5图,(2)绘制弯矩图：作弯矩图时应逐杆考虑，首先考虑CD杆，该杆为一悬臂梁，故其弯矩图可直接绘出。其C端弯矩为,静定平面刚架的内力和内力图,其次考虑CB杆。该杆上作用一集中荷载，可分为CE和EB两无荷区段，用截面法求出下列控制截面的弯矩：,便可绘出该杆弯矩图。,最后考虑AC杆。该杆受均布荷载作用，可用区段叠加法来绘制其弯矩图。为此，先求出该杆两端弯矩：,这里 M,CA,是取截面C下边部分为隔离体算得的。将两端弯矩绘出并连以直线，再于此直线上叠加相应简支梁在均布荷载作用下绘制其弯矩图即可。,由上所得整个刚架的弯矩图如图3.11(b)所示。,(3)绘制剪力图和轴力图：作剪力图时同样逐杆考虑。根据荷载和已求出的反力，用截面法不难求得各控制截面的剪力值如下：,静定平面刚架的内力和内力图,CD,杆：,CB,杆：,AC,杆：,根据以上内力值可绘出剪力图，如图3.11(c)所示。,用同样的方法可绘出轴力图，如图3.11(d)所示。,(4)校核：内力图做出后应进行校核。对于弯矩图，通常是检查刚结点处是否满足力矩平衡条件。例如取结点C为隔离体(如图3.11(e)所示)，有：,为了校核剪力图和轴力图的正确性，可取刚架的任何部分为隔离体检查 和 的平衡条件是否得到满足。例如取结点C为隔离体(如图3.11(f)所示)，有：,故知此结点投影平衡条件无误。,三铰拱的内力,拱是杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。拱常用的形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱(如图3.12所示)等几种。其中三铰拱是静定的，后两种是超静定的。本章只讨论静定三铰拱。,一、,概述,图3.12 拱,拱与梁的区别不仅在于杆轴线的曲直，更重要的是拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。这种水平反力又称为水平推力。由于水平推力的存在，拱的弯矩要比相同条件下(即等跨度、等荷载)的梁的弯矩小得多，并主要承受压力。这就使得拱截面上的应力分布较为均匀，因而更能发挥材料的作用，并可利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、混凝土来建造，这就是拱的主要优点。拱的主要缺点也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构(墙、柱、墩、台等)。可见，水平推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。凡在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构都可称为拱式结构或推力结构。例如三铰刚架、拱式桁架等均属此类结构。,有时，在拱的两支座间设置拉杆来代替支座承受水平推力，使其成为带拉杆的三铰拱，如图3.13(a)所示。,图3.13 带拉杆的拱,这样在竖向荷载作用下支座就只产生竖向反力，从而消除了水平推力对支承结构的影响。为了使拱下获得较大的净空，有时也将拉杆做成折线形的，如图3.13(b)所示。拱的各部名称如图3.14所示。,拱身各横截面形心的连线称为拱轴线。拱的两端支座处称为拱趾。两拱趾间的水平距离称为拱的跨度。两拱趾的连线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远的一点称为拱顶，三铰拱通常在拱顶处设置顶铰。拱顶至起拱线之间的竖直距离称为拱高f。拱高与跨度之比 称为矢跨比。,图3.14 拱的各部名称,三铰拱的内力,三铰拱的内力,现在以竖向荷载作用下的对称平拱为例，来说明三铰拱的反力和内力的计算方法。,二、,三铰拱的内力和反力计算,1.支座反力的计算,三铰拱是由两根曲杆与地基之间按三刚片规则组成的静定结构，共有四个未知反力，如图3.15(a)所示。,图3.15 三铰拱,三铰拱的内力,其反力计算方法与三铰刚架相同，即除了取全拱为对象可建立三个平衡方程外，还需取左(或右)半拱为隔离体，以中间铰C为矩心，根据平衡条件 建立一个方程，从而求出所有的反力。,首先考虑全拱的整体平衡。由 及 可求得两支座的反力为：,由 可得,再取左半拱为隔离体，由 ，则有：,可得：,(3-1),(3-2),(3-3),(3-4),考察式(3-1)和式(3-2)的右边，可知其恰等于相应简支梁(图3.15(b)的支座竖向反力 和 ，而式(3-4)右边的分子则等于相应简支梁上与拱的中间铰处对应的截面C的弯矩 ，因此可将以上各式写为,(3-5),由式(3-5)可知，推力H等于相应简支梁截面C的弯矩 除以拱高f。,当荷载和跨度l给定时，即为定值，当拱高f 亦给定时，H 值即可确定。这表明三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰间的拱轴线形状无关。当荷载及拱跨l 不变时，推力H 将与拱高f 成反比：即 f愈大(拱愈陡)时H 愈小；反之，f 愈小(拱愈平坦)时H 愈大。,三铰拱的内力,2.内力计算,反力求出后，用截面法即可求出拱上任一截面的内力。任一截面K 的位置可由其形心的坐标x、y 和该处拱轴切线的倾角 确定，在拱中通常规定弯矩以使拱内侧受拉为正。由图3.16所示隔离体可求得截面K 的弯矩为 ，由于 ，可见式中方括号内之值即为相应简支梁截面K 的弯矩M,0,，故上式可写为M=M,0,Hy。即拱内任一截面的弯矩M等于相应简支梁对应截面的弯矩M,0,减去水平推力所引起的弯矩Hy。可见，由于水平推力的存在，拱的弯矩比梁的要小。,三铰拱的内力,图3.16 三铰拱的内力计算,三铰拱的内力,剪力以绕隔离体顺时针转动为正，反之为负。任一截面K的剪力Q 等于该截面一侧所有外力在该截面方向上投影的代数和，可得,式中 ，为相应简支梁截面K 的剪力，的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱取负。,因拱常受压，故规定轴力以压力为正。任一截面 K的轴力等于该截面一侧所有外力在该截面法线方向上投影的代数和，有：,综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式可写为：,(3-6),(3-7),三铰拱的内力,组 合 结 构,组合结构是指由链杆和受弯杆件混合组成的结构。其中链杆(两端为铰的直杆且杆身上无荷载作用者)只受轴力(又称二力杆)，受弯杆件同时受到弯矩、剪力和轴力的共同作用。组合结构常用于房屋建筑中的屋架、吊车梁以及桥梁等承重结构。例如，图3.17所示的下撑式三铰组合屋架。根据组合结构中两类杆件受力特点的差异，工程中常采用不同的材料制作以达到经济的目的。例如，组合屋架的上弦一般设计为混凝土构件，下弦拉杆则可采用型钢构件，而撑杆可用混凝土或型钢制作。悬吊式桥梁的跨度较大时，可以将加劲梁换为加劲桁架。,在进行组合结构的计算，用截面法分析其内力时，为了使隔离体上的未知力不致过多，宜尽量避免截断受弯的杆件。因此，分析这类结构的步骤一般是先求出反力，然后计算各链杆的轴力，最后再分析受弯杆件的内力。,图3.17 下撑式三铰组合屋架,静定结构的特性,根据静定结构的定义，可以列举它在静力学方面的若干特性。掌握了这些特性，对于了解静定结构的性能和正确迅速地进行内力分析，都是很有帮助的。下面介绍静定结构的几项特性：,(1)静力解答的唯一性。前面已述，超静定结构的内力，仅满足平衡条件，可以有无限组解答。瞬变体系在一般荷载作用下内力是无限大的；在某些特殊荷载例如零荷载下，内力是不定的，也就是有无限多组解答。只有静定结构，在任何给定荷载下，满足平衡条件的反力和内力的解答只有一种，这就是静定结构静力解答的唯一性。,(2)在静定结构中，除荷载外，其他任何原因如：温度变化、支座位移、材料收缩和制造误差等非荷载因素不引起静定结构的反力和内力。,例如图3.18所示分别表示三铰刚架在支座位移和温度变化作用时的情况，图中虚线表示刚架受上述非荷载因素作用后的位移。很明显，因刚架上无荷载作用，支座反力和内力均为零时可以满足所有的平衡条件。根据解的唯一性可知，这就是该刚架的真实解。,图3.18 三铰刚架支座位移和温度变化作用变形示意图,(3)平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力系的部分上时，则只有该部分受力，而其余部分的反力和内力均为零。,例如，图3.19(a)所示的静定刚架，有一组平衡力系作用于几何不变部分CD上，因而仅在CD部分上有内力存在，图中绘出了刚架的弯矩图形。图3.19(c)中荷载与刚架A支座的竖向反力构成了平衡力系，所以仅AC杆中有轴力存在，其余部分的反力和内力均为零。,(4)荷载等效变换的影响。当作用在静定结构的某一本身几何不变部分上的荷载在该部分范围内作等效变换时，则只有该部分的内力发生变化，而其余部分的内力保持不变。,例如图3.19(b)所示梁上的荷载在本身几何不变部分DE段的范围内作等效变换，则除DE段外其余部分的内力均不改变。,图3.19 静定刚架,静定结构的特性,3-1,什么叫截面法？截面上内力的正负是如何规定的？,3-2,一简支梁的半跨上有均布荷载，另半跨上无荷载，该简支梁的弯矩图、剪力图各有什么特征？,3-3,如果刚架的某结点上只有两个杆件，且无外力偶作用，结点上两杆端的弯矩有何关系,?,如有外力偶作用，这种关系存在吗？为什么？,3-4,在荷载作用下，刚架的弯矩图在刚结点处有何特点？,3-5,拱的特点是什么？计算三铰拱的内力与计算三铰刚架的内力有何共同点和不同点？,3-6,绘制三铰拱内力图的方法与绘制静定梁和静定刚架的内力图时所采用的方法有何不同？为什么会有这些差别？,3-7,试回答：什么是静定结构的基本静力特性？静定结构的内力和反力与杆件的刚度是否有关？,3-8,试说明：静定结构有哪几项特性？静定结构因支座位移和温度变化引起的位移各有何特点？,习 题,3-9,试判断如图,3.20,所示桁架的零杆。,习 题,图3.20 习题9图,3-10,试用截面法求如图3.21所示桁架指定杆件的内力。,图3.20 习题9图,3-11,如图3.22所示，试说明如何用较简单的方法求图示桁架指定杆件的内力。,图3.22 习题11图,3-12,画如图3.23所示各梁的剪力图和弯矩图。,图3.22 习题11图,习 题,3-13,试作如图3.24所示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。,图3.24 习题13图,3-14,试作如图3.25所示刚架的内力图。,习 题,图3.25 习题14图,习 题,3-15,试作如图3.26所示刚架的弯矩图和剪力图。,图3.26 习题15图,习 题,3-16,如图3.27所示，试找出其中弯矩图形的错误之处，并加以改正。,图3.27 习题16图,习 题,