2025-2026学年山东省胶州市第一中学等数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年山东省胶州市第一中学等数学高二上期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（）
A. B.
C. D.
2．直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（）
A. B.
C. D.
3．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为
A. B.
C. D.
4．若，，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．变量，之间有如下对应数据：

3
4
5
6
7

13
11
10
8
7
已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）
A.2.3 B.2.5
C.17.1 D.17.3
6．已知直线与平行，则a的值为（ ）
A.1 B.﹣2
C. D.1或﹣2
7．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．已知圆 ，圆 C2 ： x2+y2－x－4y+7=0 ，则“ a=1 ”是“两圆内切”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
9．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
10．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
11．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（ ）
A. B.
C. D.
12．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______
14．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.
15．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△的面积为2，边上中线的长为．且，则△外接圆的面积为___________
16．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质
（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于A、两点，设，求.
19．（12分）在直三棱柱中，、、、分别为中点，.

（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）已知直线和的交点为P，求：
（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；
（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；
（3）从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程
②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分
21．（12分）已知等差数列和正项等比数列满足
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和
22．（10分）已知是等差数列的前n项和，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.
【详解】对于A：若，则必成立；
对于B：若，则必成立；
对于C：若，则必成立；
对于D：由不能得出，所以不可能是.
故选：D
2、D
【解析】直线,斜率乘积为，斜线斜率等于倾斜角的正切值.
【详解】,，所以.
故选：D.
3、D
【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.
故答案为D.
4、D
【解析】根据题意，结合，，利用不等式的性质可判断，从而判断，再利用不等式性质得出正确答案.
【详解】，，，
又，，两边同乘以负数，可知

故选：D
5、D
【解析】将样本中心点代入回归方程后求解
【详解】，，将样本中心点代入回归方程，
得
故选：D
6、A
【解析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得.
故选：A.
7、B
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.
【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项B.由，，则，故正确.
选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.
故选：B
8、B
【解析】先得出圆的圆心和半径，求出两圆心间的距离，半径之差，根据两圆内切得出方程，从而得出答案.
【详解】圆 的圆心 半径
的圆心 半径
两圆心之间的距离为
两圆的半径之差为
当两圆内切时，，解得或
所以当，可得两圆内切，当两圆内切时，不能得出（可能）
故“ ”是“两圆内切”的充分不必要条件
故选：B
9、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
10、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
11、C
【解析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，
首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，
因此，位的回文数共有个.
故选：C.
12、C
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.
【详解】函数定义域为，求导得，
于是得函数的图象在点处切线的斜率，
而直线的斜率为，依题意，，即，解得，
所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.
【详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为 ,则，
由N是的中点，O为得中点，,
故 ,
又 ，
所以，
故答案为：4

14、1
【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论
【详解】解：由题意，可得，设，，，，
是线段的中点，则，，
，当且仅当时取等号，
直线的斜率的最大值为1
故答案为：1
15、或
【解析】由已知，结合正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，再根据三角形面积公式、余弦定理列方程求边长b、c，应用余弦定理求边长a，根据正弦定理求外接圆半径，再用圆的面积公式求面积.
【详解】由题设及正弦定理边角关系有，又，
∴，
∴，
∴．又，
∴，即
又据题意，得，且，
∴或，故或，
∴△外接圆的半径或，
∴△外接圆的面积为或
故答案为：或
16、1
【解析】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）数列具有性质，理由见解析；
（2），；
（3）有限个.
【解析】（1）由题意，由性质定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
【小问1详解】
由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
【小问2详解】
设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为整数且，
那么为中的一项.
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
【小问3详解】
同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.
18、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
解：曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即，
根据，
转化为直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：因为满足直线的方程，
将转化为参数方程为（为参数），
代入，得，设A、两点的参数分别为，
则，
所以.
19、（1）见解析；（2）
【解析】（1）取中点，连接，根据直棱柱的特征，易知，再由、分别为的中点，根据中位线定理，可得，得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则．，再分别求得平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量公式
求解.
【详解】（1）证明：如图所示：

取中点，连接，易知，
、分别为的中点，∴，
∴
故四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
平面
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示：

则
∴，
设平面的法向量为，
则，
即，取，得，
易知平面的一个法向量为，
∴，
∴二面角的余弦值为
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和面面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；
（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；
（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线和的交点为P，
联立方程组，解得，即，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点到直线的距离为，
设所求圆的半径为，
由圆的的垂径定理得，弦长，解得，
所以所求圆的方程为.
【小问3详解】
解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，
设直线l的的斜率为，
可得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
由，解得或，
所以所求直线的方程为或.
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，
因为圆与x轴相切，可得，
又由圆心到直线的距离为，
利用圆的垂径定理可得，即，
解得，即圆心坐标为或，
所以所求圆的方程为或.
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；
（2）根据等比数列求和公式直接求解.
【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，
所以
因此；
（2）数列的前n项和
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的首项、公差，由列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法可求数列的前n项和.
小问1详解】
依题意：设等差数列的首项为，公差为，则解得
所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）可知
因为，所以，
所以.