山东省聊城市第一中学2025年高二上数学期末复习检测试题含解析.doc

山东省聊城市第一中学2025年高二上数学期末复习检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
2．经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程为（）
A. B.
C. D.
3．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为()
A.或 B.或
C.或 D.或
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
5．下列说法中正确的是（）
A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形
C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形
6．已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）
A.6 B.
C.8 D.
8．已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
9．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则　　
A.12 B.10
C.5 D.
10．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是
A. B.
C. D.
11．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）
A. B.
C. D.
12．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为_________
14．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________

15．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________

16．过点作圆的切线l，直线与l平行，则直线l过定点_________，与l间的距离为____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.

（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
（2）P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.

（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角的正弦值.
19．（12分）（1）求函数的单调区间.
（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.
20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线的方程
21．（12分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）：任意两个等边三角形都是相似的；
（2）：，.
22．（10分）已知函数f(x)＝
（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；
（2）求证：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】，
，
若，则，
项，符合条件，
故选
2、B
【解析】求出两直线的交点坐标，可设所求直线的方程为，将交点坐标代入求得，即可的解.
【详解】解：由，解得，即两直线的交点坐标为，
设所求直线的方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为，即.
故选：B.
3、C
【解析】点关于轴的对称点为，由反射光线的性质，可设反射光线所在直线的方程为：，再利用直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，由此即可求出结果
【详解】点关于轴的对称点为，
设反射光线所在直线的方程为：，化为
因为反射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
可得，所以或
故选：C
4、A
【解析】根据题意得，取线段的中点，则根据题意得，，根据椭圆的定义可知，然后解出离心率的值.
【详解】因为为正三角形，所以，取线段的中点，连结，则，所以，得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.

【点睛】求解离心率及其范围的问题时，解题的关键在于画出图形，根据题目中的几何条件列出关于，，的齐次式，然后得到关于离心率的方程或不等式求解
5、B
【解析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；
对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；
对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断
【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；
对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；
对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；
对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误
故选：B
6、D
【解析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.
【详解】

.
故选：D.
7、B
【解析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
8、A
【解析】根据等差数列的通项公式，分别表示出，，整理即可得答案.
【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，
，

故选:A
9、C
【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出
【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，
∴+＝4，
由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，
则log2（•）＝
故选C
【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题
10、C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角
∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小
设切点，由的导数为，则的斜率为.
∴，则.
∴，
∴
故选C
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，
这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
11、D
【解析】由离心率得，再由转化为
【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以
故选：D.
12、B
【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.
【详解】，当时，，
在上单调递减，
，，在上的解集为，
即在上的解集为；
又为上的奇函数，，
为上的偶函数，在上的解集为，
即在上的解集为；
当时，，不合题意；
综上所述：的解集为.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.
【详解】，曲线在点处的切线方程为，即
故答案为：
14、
【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.
【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，
故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为
故答案为：.
15、
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.
【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则
所以
又因为
所以
故答案为：

16、 ①. ②.##2.4
【解析】利用直线与平行，结合切线的性质求出切线的方程，即可确定定点坐标，再利用两条平行线间的距离公式求两线距离.
【详解】由题意，直线斜率，
设直线的方程为，即
∴直线l过定点，
由与圆相切，得，解得，
∴的方程为，的方程为，则两直线间的距离为
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.
(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离，点的轨迹与轴的交点到直线的距离，从而可得答案.
【小问1详解】
分别以为轴，建立平面直角坐标系，则，
设成功点，可得
即,化简得
因为点需在矩形场地内，所以
故所求轨迹方程为

【小问2详解】
设，直线方程为
直线FP与点M轨迹没有公共点,则圆心到直线的距离大于
依题意，动点需满足两个条件：
点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离
即,解得
②点的轨迹与轴的交点到直线的距离
即,解得
综上所述，P点横坐标的取值范围是
18、（1）
（2）
【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.
（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.
【小问1详解】
因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，
可知，是正三角形.
过P在平面PAB内作，垂足为E，
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
是直线PD与平面ABCD所成角.
在正中，，，所以，
故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为，平面平面ABCD，平面平面ABCD
又平面ABCD，所以平面PAB.
又平面PAB.则
过B在平面PAB内作，垂足为F，连结CF，
又,则 平面, 又平面
所以，所以是二面角的平面角.
因为，，所以，
从而
所以二面角正弦值为.

19、（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得
【详解】（1）解：定义域为R，
，
，解得，.
当或时，，
当时，.
所以的单调减区间为和，单调增区间为.
（2）证明：在直线a上取非零向量，
因为，所以是直线l的方向向量，
设是平面的一个法向量，因为，所以.
又，所以.
20、（1）
（2）或
【解析】(1)由圆心在直线上，设，由点在圆上，列方程求，由此求出圆心坐标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为，由切线的性质列方程求，再检验直线是否为切线，由此确定答案.
小问1详解】
因为圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，
圆C过点，，所以，即，
解得，
则圆心，半径，所以圆的方程为；
【小问2详解】
当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线和圆相切，得，解得，所以直线方程为，
当切线的斜率不存在时，易知直线也是圆的切线，
综上，所求的切线方程为或
21、（1）存在两个等边三角形不是相似的，假命题
（2），真命题
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【小问1详解】
解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题
根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，
命题为假命题.
【小问2详解】
解：根据全称命题与存在性命题关系，可得：
命题的否定为.
因为，所以命题为真命题.
22、（1）y=5x－1；（2）证明见解析
【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求切线方程
（2）不等式化简为．设，求出导函数，判断函数的单调性求解函数的最值，然后证明即可
【详解】解：（1）的定义域为，的导数
由（1）可得，则切点坐标为，
所求切线方程为
（2）证明：
即证．设，则，
由，得
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减，（1）
，即不等式成立，则原不等式成立