辽宁省沈阳二中、抚顺二中2025-2026学年数学高二第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

辽宁省沈阳二中、抚顺二中2025-2026学年数学高二第一学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）
A. B.
C. D.
2．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）
A.24种 B.6种
C.4种 D.12种
3．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．若函数，则（）
A. B.
C.0 D.1
5．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率

其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）

A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
7．有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
8．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
9．已知数列中，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）
A. B.
C. D.
11．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
12．已知点，是椭圆：的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与平行，则实数________.
14．给出下列命题：
①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；
③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；
④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.
其中所有正确命题的序号为________.
15．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为________.
16．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立；
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若为真命题，求a的取值范围
18．（12分）已知数列满足，
（1）设，求证:数列是等比数列;
（2）求数列的前项和
19．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点

（1）求证：；
（2）当D为中点时，求平面ADC与平面所成角的正弦值
20．（12分）已知函数，其中
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数k的最大值
21．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
（1）求a，b的值；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
22．（10分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.
（i）求证：直线的斜率为定值；
（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；
则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；
该同学选到物理、地理两门功课的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.
2、B
【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B
3、C
【解析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.
【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.
故选：C
4、A
【解析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.
【详解】令，则，
求导得：，
所以.
故选：A
5、A
【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.
【详解】由表知空气质量为优的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，
所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，
故选：A
【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.
6、D
【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
若平面，因为，则平面平面，
事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；
对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，
平面，平面，则，
，，平面，
而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；
对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
，，则平面，
若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，平面，
而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，
所以，平面平面，所以，，
但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；
对于D选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，，
，平面，
因为平面，因此，平面平面平面，D对.
故选：D.

7、B
【解析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可.
【详解】由题知，，
当时，，即速度为7.
故选：B
8、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒
9、D
【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.
【详解】由，
可得，，
，
故选： D.
10、C
【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
11、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
12、D
【解析】设，先求出点，得，化简即得解
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，则，
∵为等腰三角形，且，
∴.
过作垂直轴于点，则，
∴，，即点.
∵点在过点且斜率为的直线上，
∴，解得，
∴.
故选：D

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出椭圆的代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解）.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，解得.
故答案为：.
14、②③
【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④
【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；
②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；
③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确
④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.
其中所有正确命题的序号为②③
故答案为：②③
15、
【解析】分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.
【详解】因为椭圆经过点，当焦点在轴时，可知，，
所以，所以，
当焦点在轴时， 同理可得.
故答案为：
16、
【解析】构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；
【详解】，令，
，
单调递减，且，
，
x的取值范围是，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用判别式可求的取值范围，注意就是否为零分类讨论；
（2）根据题设可得真或真，后者可用参变分离求出的取值范围，结合（1）可求的取值范围.
【小问1详解】
当p为真命题时，当时，不等式显然成立；
当时，解得，
故a取值范围为.
【小问2详解】
当q为真命题时，问题等价于存在，使得不等式成立，
即，
∵，当且仅当x=1时等号成立，∴
因为为真命题，所以真或真，故a的取值范围是
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）将变形为，得到为等比数列，
（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得
【详解】（1）由，，可得，
因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，
（2）由（1），由，可得，
，
，
上面两式相减可得：

，
则
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证；
（2）利用坐标法即求.
【小问1详解】
∵，E为AB中点，
∴，
∵平面ABC，平面ABC，
∴，又，，
∴平面，平面，
∴；
【小问2详解】
以C点为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则

平面的法向量为，
设平面ADC法向量为，
则，∴，即，
令，则
∴平面ADC与平面所成角的余弦值为
，
所以平面ADC与平面所成角的正弦值.
20、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）先对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由题意得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可
【小问1详解】
由，得
当时，恒成立，∴在上单调递增
当时，令，得，得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
依题意得对一切恒成立，即
令，则
令，则在上单调递增，而
当时，，即；当时，，即
∴在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，即k的最大值为
21、（1）
（2）
【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；
（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.
【小问1详解】
令，则，
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则，解得；
【小问2详解】
令，则，于是方程可变为，即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.
22、（1）
（2）（i）答案见解析
（ii）或
【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；
（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；
（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.
【小问1详解】
由题意可知,
∵,且,
∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，
即，，，
则点的轨迹方程为；
【小问2详解】
（i）设点，，直线的方程为，
联立得，
其中，且，
，，
∵曲线上一点，∴，
由已知条件得直线和直线关于对称，则，
即，整理得，

，
，
，即，
则或，
当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，
故直线的斜率为定值.
（ii）由（i）可知，
由已知得，即，
当时，，
，即，，
，解得或，
但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为,
故直线的方程为或.