资源描述
-,*,-,2,.,4,空间直角坐标系,1/34,2/34,一,二,三,一、空间直角坐标系建立,【问题思索】,1,.,在空间中,三个平面能够把空间分成几部分,?,提醒,:,三个平面能够把空间分成,4,6,7,或,8,部分,.,其中本节将要研究空间直角坐标系中八个卦限是三个平面把空间分割最多部分情形,.,3/34,一,二,三,2,.,填空,:,为了确定空间点位置,在平面直角坐标系,xOy,基础上,经过原点,O,再作一条数轴,z,使它与,x,轴,y,轴都,垂直,这么它们中任意两条都相互垂直,.,轴方向通常这么选择,:,从,z,轴正方向看,x,轴正半轴沿,逆,时针方向转,90,能与,y,轴正半轴重合,这么就在空间建立了一个空间直角坐标系,Oxyz,O,叫做坐标原点,.,每两条坐标轴分别确定平面,yOz,xOz,xOy,叫做坐标平面,三个坐标平面把空间分成八个卦限,如图所表示,.,xOy,平面,:,由,x,轴及,y,轴确定坐标平面,;,xOz,平面,:,由,x,轴及,z,轴确定坐标平面,;,yOz,平面,:,由,y,轴及,z,轴确定坐标平面,.,4/34,一,二,三,二、点在空间直角坐标系中坐标,【问题思索】,1,.,填空,:,取定了空间直角坐标系后,就能够建立空间内任意一点与三个实数有序数组,(,x,y,z,),之间一一对应关系,.,点,M,为空间一已知点,在空间直角坐标系中,过这点作两条轴所确定平面,平行平面,交另一条轴于一点,交点在这条轴上坐标就是点,M,对应一个,坐标,.,设点,M,在,x,轴、,y,轴、,z,轴坐标依次为,x,y,z.,于是空间点,M,就唯一确定了一个有序数组,x,y,z.,这组数,x,y,z,就叫做点,M,坐标,记为,(,x,y,z,),并依次称,x,y,和,z,为点,M,x,坐标、,y,坐标和,z,坐标,.,反之,设,(,x,y,z,),为一个三元有序数组,过,x,轴上坐标为,x,点,y,轴上坐标为,y,点,z,轴上坐标为,z,点,分别作,x,轴、,y,轴、,z,轴,垂直平面,这三个平面交点,M,便是三元有序数组,(,x,y,z,),唯一确定,点,.,所以,经过空间直角坐标系,我们就建立了空间点,M,和有序数组,(,x,y,z,),之间一一对应关系,.,5/34,一,二,三,八个卦限中点坐标符号也有一定特点,:,:(,+,+,+,);,:(,-,+,+,);,:(,-,-,+,);,:(,+,-,+,);,:(,+,+,-,);,:(,-,+,-,);,:(,-,-,-,);,:(,+,-,-,),.,6/34,一,二,三,2,.,在空间直角坐标系中,点,P,(,x,y,z,),落在,x,y,z,轴上时,点坐标有何特点,?,点,P,(,x,y,z,),落在,xOy,面、,yOz,面和,xOz,面上时,点坐标有何特点,?,提醒,:,坐标轴及坐标平面上点坐标形式,7/34,一,二,三,3,.,做一做,:,在空间直角坐标系中,P,(2,3,4),Q,(,-,2,3,-,4),两点位置关系是,(,),A.,关于,x,轴对称,B.,关于,yOz,平面对称,C.,关于坐标原点对称,D.,关于,y,轴对称,解析,:,因为,P,Q,两点,y,坐标相同,x,坐标,z,坐标分别互为相反数,它们中点在,y,轴上,而且,PQ,与,y,轴垂直,故,P,Q,关于,y,轴对称,.,答案,:,D,8/34,一,二,三,三、空间两点距离公式,【问题思索】,9/34,一,二,三,2,.,填空,:,空间两点距离公式能够看作是平面内两点间距离公式推广,如图,.,M,1,(,x,1,y,1,z,1,),P,(,x,2,y,1,z,1,),M,2,(,x,2,y,2,z,2,),N,(,x,2,y,2,z,1,),|M,1,P|=,|x,2,-x,1,|,|PN|=,|y,2,-y,1,|,|M,2,N|=,|z,2,-z,1,|,|M,1,N|,2,=|M,1,P|,2,+|PN|,2,=,(,x,2,-x,1,),2,+,(,y,2,-y,1,),2,|M,1,M,2,|,2,=|M,1,N|,2,+|NM,2,|,2,=,(,x,2,-x,1,),2,+,(,y,2,-y,1,),2,+,(,z,2,-z,1,),2,.,所以点,M,1,与,M,2,间距离为,应用两点间距离公式时,注意是三组对应坐标之差平方和再开方,.,10/34,一,二,三,尤其地,点,M,(,x,y,z,),到原点距离公式为,3,.,做一做,:,若已知点,A,(1,1,1),B,(,-,3,-,3,-,3),则线段,AB,长为,(,),答案,:,A,11/34,一,二,三,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),在空间直角坐标系中,在,x,轴上点坐标一定是,(0,b,c,),.,(,),(2),在空间直角坐标系中,在,yOz,平面上点坐标一定是,(0,b,c,),.,(,),(3),在空间直角坐标系中,在,z,轴上点坐标可记作,(0,0,c,),.,(,),(4),在空间直角坐标系中,在,xOz,平面上点坐标是,(,a,0,c,),.,(,),(5)(,x-,2),2,+,(,y+,1),2,+,(,z+,7),2,几何意义是表示在空间直角坐标系中,动点,P,(,x,y,z,),与点,(2,-,1,-,7),之间距离,.,(,),(6),在坐标平面,xOy,上,到点,A,(3,2,5),B,(3,5,1),距离相等点有没有数个,.,(,),12/34,一,二,三,(7),以,A,(2,-,3,5),和,B,(4,1,-,3),为直径两端点球面方程为,(,x-,3),2,+,(,y+,1),2,+,(,z-,1),2,=,1,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),13/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,空间中点坐标,【例,1,】,已知一个长方体长、宽、高分别为,5,3,4,试建立适当空间直角坐标系,写出长方体各个顶点坐标,.,解,:,如图所表示,以,A,为坐标原点,AB,所在直线为,x,轴,AD,所在直线为,y,轴,AA,1,所在直线为,z,轴,建立空间直角坐标系,Oxyz.,易知,|AB|=,3,|BC|=,5,|AA,1,|=,4,则,A,(0,0,0),B,(3,0,0),D,(0,5,0),A,1,(0,0,4),C,(3,5,0),D,1,(0,5,4),B,1,(3,0,4),C,1,(3,5,4),.,14/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,求空间中点,M,坐标思绪主要有以下几个,:,(1),过点,M,作,MM,1,垂直于平面,xOy,垂足为,M,1,求出,M,1,x,坐标和,y,坐标,再由射线,M,1,M,指向和线段,M,1,M,长度确定,z,坐标,.,(2),结构以,OM,为体对角线长方体,由长方体三个棱长结合点,M,位置,能够确定点,M,坐标,.,(3),若题中所给图形中存在垂直于坐标轴平面,或点,M,在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作轴垂线即可确定点,M,坐标,.,15/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,1,建立适当坐标系,写出底边长为,2,高为,3,正三棱柱各顶点坐标,.,解,:,以,BC,中点为原点,以,BC,所在直线为,y,轴,以,BC,边上中线,OA,所在直线为,x,轴,以过点,O,且垂直于底面直线为,z,轴建立空间直角坐标系,如图所表示,.,16/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,空间中对称问题,【例,2,】,在空间直角坐标系中,点,P,(,-,2,1,4),关于,xOy,平面对称点坐标是,(,),A.(,-,2,1,-,4),B.(,-,2,-,1,-,4),C.(2,-,1,4),D.(2,1,-,4),解析,:,因为点,P,关于,xOy,平面对称后,它在,x,轴、,y,轴分量不变,在,z,轴分量变为原来相反数,所以对称点,P,2,坐标为,(,-,2,1,-,4),.,答案,:,A,17/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,在空间直角坐标系内,已知点,P,(,x,y,z,),则有以下对称规律,:,点,P,关于原点对称点是,P,1,(,-x,-y,-z,);,点,P,关于,x,轴对称点是,P,2,(,x,-y,-z,);,点,P,关于,y,轴对称点是,P,3,(,-x,y,-z,);,点,P,关于,z,轴对称点是,P,4,(,-x,-y,z,);,点,P,关于坐标平面,xOy,对称点是,P,5,(,x,y,-z,);,点,P,关于坐标平面,yOz,对称点是,P,6,(,-x,y,z,);,点,P,关于坐标平面,xOz,对称点是,P,7,(,x,-y,z,),.,18/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,2,在空间直角坐标系中,点,P,(,-,2,1,4),关于,x,轴对称点坐标是,(,),A.(,-,2,1,-,4)B.(,-,2,-,1,-,4),C.(2,-,1,4)D.(2,1,-,4),解析,:,因为点,P,关于,x,轴对称后,它在,x,轴分量不变,在,y,z,轴分量变为原来相反数,所以对称点,P,1,坐标为,(,-,2,-,1,-,4),.,答案,:,B,19/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,空间两点距离公式应用,【例,3,】,在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,|AB|=|BC|=,2,|D,1,D|=,3,点,M,是,B,1,C,1,中点,点,N,是,AB,中点,.,建立如图所表示空间直角坐标系,.,(1),写出点,D,N,M,坐标,;,(2),求线段,MD,MN,长度,.,解,:,(1),因为,D,是原点,则,D,(0,0,0),.,由,|AB|=|BC|=,2,|D,1,D|=,3,得,A,(2,0,0),B,(2,2,0),B,1,(2,2,3),C,1,(0,2,3),.,因为,N,是,AB,中点,所以,N,(2,1,0),.,同理可得,M,(1,2,3),.,20/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2),由两点间距离公式,得,反思感悟,求空间两点间距离步骤,:,21/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,如图所表示,点,A,坐标是,(1,1,0),对于,z,轴正半轴上任意一点,P,在,y,轴正半轴上是否存在一点,B,使得,PA,AB,恒成立,?,若存在,求出,B,点坐标,;,若不存在,说明理由,.,思绪分析,:,由立体几何知识可知欲使,PA,AB,只需使,OA,AB,空间问题转化为平面问题,.,欲证,OA,AB,只需证实,|OA|,2,+|AB|,2,=|OB|,2,从而将几何问题转化为代数计算问题,.,22/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解,:,设,P,(0,0,c,),B,(0,b,0),对于,z,轴正半轴上任意一点,P,假设在,y,轴正半轴上存在一点,B,使得,PA,AB,恒成立,连接,OA,则由线面垂直可知只需证,OA,AB,即只需证,|OA|,2,+|AB|,2,=|OB|,2,.,在平面,xOy,内点坐标为,A,(1,1,0),B,(0,b,0),O,(0,0,0),令,(1,-,0),2,+,(1,-,0),2,+,(1,-,0),2,+,(1,-b,),2,=,(0,-,0),2,+,(0,-b,),2,解得,b=,2,.,所以存在这么点,B,当点,B,为,(0,2,0),时,PA,AB,恒成立,.,23/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,空间中点坐标公式应用,【例,4,】,在空间直角坐标系中,点,P,(,-,2,1,4),关于点,M,(2,-,1,-,4),对称点坐标是,(,),A.(0,0,0)B.(2,-,1,-,4),C.(6,-,3,-,12)D.(,-,2,3,12),解析,:,设对称点为,P,3,则点,M,为线段,PP,3,中点,设,P,3,(,x,y,z,),由中点坐标公式,可得,x=,2,2,-,(,-,2),=,6,y=,2,(,-,1),-,1,=-,3,z=,2,(,-,4),-,4,=-,12,所以,P,3,(6,-,3,-,12),.,答案,:,C,24/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,平面中中点坐标公式可推广到空间,即设,A,(,x,1,y,1,z,1,),B,(,x,2,y,2,z,2,),则,AB,中点,P .,大家对数轴上中点公式,平面中中点公式及空间中中点公式进行对比,以加深了解,.,25/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,3,如图所表示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,BB,1,D,1,B,1,中点,棱长为,1,求,E,F,两点坐标,.,解,:,如题图所表示,建立空间直角坐标系,.,因为正方体棱长为,1,可得,B,B,1,D,1,坐标分别为,B,(1,1,0),B,1,(1,1,1),D,1,(0,0,1),.,因为,E,为,B,1,B,中点,F,为,B,1,D,1,中点,26/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因忽略动点范围而致误,【典例】,已知点,A,(1,2,3),B,(3,-,1,-,2),且,|MA|=|MB|,求动点,M,轨迹方程,.,错解,设,M,(,x,y,z,),依题意得,(,x-,1),2,+,(,y-,2),2,+,(,z-,3),2,=,(,x-,3),2,+,(,y+,1),2,+,(,z+,2),2,整理得,2,x-,3,y-,5,z=,0,.,所以动点,M,轨迹方程为,2,x-,3,y-,5,z=,0,轨迹是线段,AB,垂直平分线,.,以上解答过程中都有哪些错误,?,犯错原因是什么,?,你怎样订正,?,你怎么防范,?,提醒,:,本题错解产生根源是没有注意动点范围改变而随意套用平面几何中结论,.,27/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解,:,设,M,(,x,y,z,),依题意,得,(,x-,1),2,+,(,y-,2),2,+,(,z-,3),2,=,(,x-,3),2,+,(,y+,1),2,+,(,z+,2),2,整理得,2,x-,3,y-,5,z=,0,所以动点,M,轨迹方程为,2,x-,3,y-,5,z=,0,轨迹是线段,AB,垂直平分面,.,防范办法,求动点轨迹方程时,一定不要随意将平面几何中结论套用到空间几何中,因为维度改变,使得满足同一条件点范围也有了根本性改变,所以解这类问题时一定要先辨清范围问题,.,28/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,已知点,P,在,x,轴上,它到点,P,1,(0,3),距离是到点,P,2,(0,1,-,1),距离,2,倍,则点,P,坐标是,.,解析,:,因为点,P,在,x,轴上,设,P,(,x,0,0),解得,x=,1,.,所以所求点坐标为,(1,0,0),或,(,-,1,0,0),.,答案,:,(1,0,0),或,(,-,1,0,0),29/34,1,2,3,4,5,1,.,若半径为,r,球在第,卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心坐标是,(,),A.(,r,r,r,)B.(,r,r,-r,),C.(,-r,-r,r,)D.(,r,-r,r,),答案,:,B,30/34,1,2,3,4,5,2,.,点,P,(1,2,1),关于,xOz,平面对称点坐标是,(,),A.(1,-,2,1)B.(,-,1,-,2,1),C.(1,2,-,1)D.(,-,1,-,2,-,1),答案,:,A,31/34,1,2,3,4,5,3,.,已知点,A,(,-,3,1,5),与点,B,(4,3,1),则,AB,中点坐标是,(,),答案,:,B,32/34,1,2,3,4,5,4,.,在空间直角坐标系中,已知点,A,(1,0,2),B,(1,-,3,1),点,M,在,y,轴上,且,M,到,A,与到,B,距离相等,则,M,坐标是,.,解析,:,设,M,坐标为,(0,y,0),由,|MA|=|MB|,得,(0,-,1),2,+,(,y-,0),2,+,(0,-,2),2,=,(0,-,1),2,+,(,y+,3),2,+,(0,-,1),2,整理得,6,y+,6,=,0,所以,y=-,1,即点,M,坐标为,(0,-,1,0),.,答案,:,(0,-,1,0),33/34,1,2,3,4,5,5,.,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,底面,ABC,中,|CA|=|CB|=,1,BCA=,90,棱,|AA,1,|=,2,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,A,中点,.,求,|MN|,长,.,解,:,如图所表示,以,C,为原点,以,CA,CB,CC,1,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,Cxyz.,因为,|CA|=|CB|=,1,|AA,1,|=,2,34/34,
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