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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,3.3.3 函数最大（小）值与导数,1/34,y,x,O,x,1,x,2,a,b,y,=,f,(,x,),在极大值点附近,在极小值点附近,f,(,x,)0,f,(,x,)0,f,(,x,)0,左正右负为极大值,左负右正为极小值,1.极值判定,2/34,2.求可导函数f(x)极值步骤,(2)求导数f,(x).,(3)求方程f,(x）=0根.,(4)把定义域划分为,部分区间，并列成表格.,检验f,(x)在方程根左右符号,假如,左正右负,，,那么f(x)在这个根处取得极,大,值；,假如,左负右正,，,那么f(x)在这个根处取得极,小,值.,(1)确定函数,定义域,.,3/34,普通地，设函数y=f(x)定义域为I，假如存在实数M满足：,3.最大值与最小值,（1）对于任意xI，都有f(x)M.,（2）存在x,0,I，使得f(x,0,)=M，,那么，称M是函数y=f(x)最大值.,普通地，设函数y=f(x)定义域为I，假如存在实数M满足：,（1）对于任意xI，都有f(x)M.,（2）存在x,0,I，使得f(x,0,)=M，,那么，称M是函数y=f(x)最小值.,4/34,1借助函数图象，直观地了解函数最大值和最小值概念.,2搞清函数最大值、最小值与极大值、极小值区分与联络，了解和熟悉函数必有最大值和最小值充分条件.,(重点),3掌握求在闭区间上连续函数最大值和最小值思想方法和步骤.,(难点),5/34,在社会生活实践中，为了发挥最大经济效益，经常碰到怎样能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题处理经常可转化为求一个函数最大值和最小值问题.,函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系怎样？,极值是一个局部概念，极值只是某个点函数值与它附近点函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小.,探究点 函数最大（小）值与导数,6/34,7/34,解答：,图（1）最大值f(b),最小值f(a)；图（2）最大值f(x,3,),最小值f(x,4,)。,8/34,9/34,探究:,依据函数最值概念,探究以下问题:,(1)函数极值是否一定是函数最值?,提醒:,不一定.端点值也可能是函数最值.,10/34,(2)若连续函数f(x)在区间a,b上有唯一极值点且为极小值点x,0,则f(x,0,)是否是最小值?,提醒:,是.函数y=f(x)在a,x,0,上单调递减,在x,0,b上单调递增,故f(x)在x,0,点取得最小值,f(x,0,)是最小值.,11/34,【拓展延伸】,开区间(a,b)上连续函数y=f(x)最值情况分析,共有四种情况,详细以下:,图(1)中函数y=f(x)在开区间(a,b)上有最大值无最小值;,图(2)中函数y=f(x)在开区间(a,b)上有最小值无最大值;,图(3)中函数y=f(x)在开区间(a,b)上既无最大值也无最小值;,图(4)中函数y=f(x)在开区间(a,b)上现有最大值也有最小值.,12/34,函数f(x)=x,3,-3x(|x|0,所以函数f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+),上单调递增,函数最小值为f(-1)=-e,-1,=-.,答案:,-,【即时训练】,16/34,例2,求函数,y,x,4,2,x,2,5在区间-2,2上最大值与最小值.,解:,令 ,解得,x,=-1，0，1.,当x改变时,改变情况以下表:,从上表可知，最大值是13，最小值是4.,13,4,5,4,13,0,0,0,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2,-1),-2,y,x,y,17/34,1函数最值概念是全局性.,2函数最大值（最小值）唯一.,3函数最值可在端点处取得.,【提升总结】,18/34,已知f(x)=(x,2,-4)(x-2),求函数f(x)在-2,2上最值.,【解析】,由题意得f(x)=x,3,-2x,2,-4x+8,所以f(x)=3x,2,-4x-4.,令f(x)=3x,2,-4x-4=0,得x=-或x=2.,又f(-)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以,函数f(x)在-2,2上最大值为 ,最小值为0.,【即时训练】,19/34,例3：（含参数最值问题）,1.已知函数f(x)=x,3,-ax,2,+3x,若x=3是函数极值点,则函数在1,a上最大值为,最小值为,.,2.已知函数f(x)=2x,3,-6x,2,+a在-2,2上有最小值-37,求a值,并求函数f(x)在-2,2上最大值.,20/34,【解题关键】,1.依据题目中给出条件,先求出参数a值,然后求函数最值.,2.依据函数在闭区间上最小值为-37,可求出a值,从而可求出函数最大值.,21/34,【自主解答】,1.f(x)=x,3,-ax,2,+3x,所以f(x)=3x,2,-,2ax+3.,因为x=3是函数极值点,所以f(3)=27-6a+3=0,解得a=5,f(x)=3x,2,-10 x+3,令f(x)=0,得x=(舍去)或x=3.,又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15,所以函数在1,a上最大值为15,最小值为-9.,答案:,15-9,22/34,2.f(x)=2x,3,-6x,2,+a,所以f(x)=6x,2,-12x.,令f(x)=6x,2,-12x=0,得x=0或x=2.,又f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a,所以函数f(x)=2x,3,-6x,2,+a在-2,2上最小值为,f(-2)=-40+a=-37,所以a=3,函数f(x)最大值为f(0)=3.,23/34,【规律总结】,已知函数最值求参数普通步骤,(1)求最值.求出导数,依据极值定义,求出函数极值及区间端点处函数值,进而求出最值.,(2)列方程.依据题意,列出参数满足方程.,(3)求参数.解方程,求出参数值.,24/34,1(聊城高二检测)函数 在区间,上最大值是(),A B,C D以上都不对,C,25/34,2.已知f(x)=2x,3,-6x,2,+m（m为常数），在-2,2,上有最大值3，函数在-2,2上最小值为_.,-37,3.函数f(x)=x,3,+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得,极小值，则实数a值为_.,-3,26/34,(,),(,),(0,),解：,令,解得,x,0,+,-,+,0,0,当x改变时,f(x)改变情况以下表:,0,27/34,5.若函数 最大值为3,最小值为-29,求a,b值.,解:,令 得x=0,x=4（舍去）.,当x改变时,f(x)改变情况以下表:,x,-1,(-1,0),0,(0,2),2,f(x),+,0,-,f(x),-7a+b,b,-16a+b,由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.,又f(-1)-f(2)=9a0,所以f(x)最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.,28/34,29/34,30/34,所以f()2a-2等价于lna+a-10.所以，a,取值范围是（0,1）.,31/34,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导函数f(x)在a,b上最值步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内极值.,(2)将f(x)各极值与f(a),f(b)比较,其中最大一个是最大值,最小一个是最小值.,一是利用函数性质.,二是利用不等式.,三是利用导数.,2.求函数最值普通方法：,32/34,3.求函数最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出函数在(a,b)上有个别不可导点话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点函数值与各极值和f(a),f(b)放在一起比较.,33/34,苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。,34/34,
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