资源描述
-,*,-,3.1,.,2,函数极值,1/27,2/27,1,.,函数极值相关概念,在包含,x,0,一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在,任何一点函数值,都,小于或等于,x,0,点函数值,称点,x,0,为函数,y=f,(,x,),极大值点,其,函数值,f,(,x,0,),为函数,极大值,.,在包含,x,0,一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在,任何一点函数值,都,大于或等于,x,0,点函数值,称点,x,0,为函数,y=f,(,x,),极小值点,其,函数值,f,(,x,0,),为函数,极小值,.,极大值与极小值统称为,极值,极大值点与极小值点统称为,极值点,.,3/27,名师点拨,1,.,极值是一个局部概念,是仅对某一点左右两侧区域而言,.,极值点是区间内部点而不会是端点,.,2,.,若,f,(,x,),在某区间内有极值,则,f,(,x,),在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调函数没有极值,.,3,.,可导函数极值点是导数为零点,不过导数为零点不一定是极值点,即函数,y=f,(,x,),在一点导数值为零是函数,y=f,(,x,),在这点取极值必要条件,而不是充分条件,.,4,.,可导函数,f,(,x,),在点,x,0,处取得极值充要条件是,f,(,x,),=,0,在,x,0,左侧和右侧,f,(,x,),符号不一样,.,4/27,【做一做,1,】,已知函数,y=f,(,x,),导函数,y=f,(,x,),图像如图,则,(,),A.,函数,f,(,x,),有,1,个极大值点,1,个极小值点,B.,函数,f,(,x,),有,2,个极大值点,2,个极小值点,C.,函数,f,(,x,),有,3,个极大值点,1,个极小值点,D.,函数,f,(,x,),有,1,个极大值点,3,个极小值点,答案,:,A,5/27,2,.,求函数极值点步骤,(1),求出,导数,f,(,x,),.,(2),解方程,f,(,x,),=,0,.,(3),对于方程,f,(,x,),=,0,每一个解,x,0,分析,f,(,x,),在,x,0,左、右两侧符号,(,即,f,(,x,),单调性,),确定极值点,:,若,f,(,x,),在,x,0,两侧符号,“,左正右负,”,则,x,0,为极大值点,;,若,f,(,x,),在,x,0,两侧符号,“,左负右正,”,则,x,0,为极小值点,;,若,f,(,x,),在,x,0,两侧,符号相同,则,x,0,不是极值点,.,6/27,名师点拨,1,.,函数,f,(,x,),在某区间内有极值,它极值点分布是有规律,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,一样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,.,2,.,当函数,f,(,x,),在某区间上连续且有有限个极值点时,函数,f,(,x,),在该区间内极大值点与极小值点是交替出现,.,3,.,从曲线切线角度看,曲线在极值点处切线斜率为,0,而且,曲线在极大值点左侧切线斜率为正,右侧为负,;,曲线在极小值点左侧切线斜率为负,右侧为正,.,7/27,【做一做,2,】,函数,f,(,x,),=x,3,-,3,x,2,+,7,极大值为,.,解析,:,f,(,x,),=,3,x,2,-,6,x,解,3,x,2,-,6,x=,0,得,x=,0,或,x=,2,.,f,(,x,),递增区间为,(2,+,),和,(,-,0),f,(,x,),递减区间为,(0,2),.,所以当,x=,0,时,函数,f,(,x,),=x,3,-,3,x,2,+,7,取极大值,f,(0),=,7,.,答案,:,7,8/27,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),任意一个函数,f,(,x,),在定义域内必定存在极值,.,(,),(2),函数,f,(,x,),极大值一定大于极小值,.,(,),(3),可导函数,y=f,(,x,),在,x=x,0,处取得极值充要条件是,f,(,x,0,),=,0,.,(,),(4),函数,f,(,x,),在其定义域内能够有多个极小值和极大值,.,(,),9/27,探究一,探究二,思维辨析,利用导数求函数极值,【例,1,】,求函数,y=,3,x,3,-x+,1,极值,.,分析,:,首先对函数求导,然后求方程,y=,0,根,再检验,y,在方程根左右值符号,假如左正右负,那么此处取最大值,假如左负右正,那么此处取极小值,.,10/27,探究一,探究二,思维辨析,解,:,y=,9,x,2,-,1,当,x,改变时,y,和,y,改变情况以下表,:,11/27,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟,利用导数求函数极值步骤,(1),确定函数定义域,.,(2),求导数,f,(,x,),.,(3),解方程,f,(,x,),=,0,得方程根,.,(4),利用方程,f,(,x,),=,0,根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间符号,.,(5),确定函数极值,若,f,(,x,),符号在,x,0,处由正,(,负,),变负,(,正,),则,f,(,x,),在,x,0,处取得极大,(,小,),值,.,12/27,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,1,判断以下函数是否有极值,假如有极值,请求出其极值,;,假如无极值,请说明理由,.,(2),y=f,(,x,),=x|x|.,当,x,0,时,y=x,2,是增加,;,当,x,0,时,y=-x,2,也是增加,.,故函数,y=x|x|,无极值,.,13/27,探究一,探究二,思维辨析,已知极值求参数值,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),=ax,3,+bx,2,+cx,(,a,0),在,x=,1,处取得极值,且,f,(1),=-,1,(1),求常数,a,b,c,值,.,(2),判断,x=,1,是函数极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值,.,分析,:,先求,f,(,x,),再由函数,f,(,x,),在,x=,1,处取得极值,且,f,(1),=-,1,建立关于,a,b,c,方程组,求出,a,b,c,值,再由判定极值方法判定其极值情况,.,14/27,探究一,探究二,思维辨析,解,:,(1),f,(,x,),=,3,ax,2,+,2,bx+c,x=,1,是函数,f,(,x,),极值点,x=,1,是方程,f,(,x,),=,0,两根,即,3,ax,2,+,2,bx+c=,0,两根,.,15/27,探究一,探究二,思维辨析,当,x,1,时,f,(,x,),0,当,-,1,x,1,时,f,(,x,),0,函数,f,(,x,),在,(,-,-,1),和,(1,+,),上是增加,在,(,-,1,1),上是降低,.,当,x=-,1,时,函数取得极大值,f,(,-,1),=,1,当,x=,1,时,函数取得极小值,f,(1),=-,1,.,反思感悟,已知函数极值求参数方法,(1),依据极值点处导数为,0,和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解,.,(2),因为导数值等于零不是此点为极值点充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须要验证根合理性,.,16/27,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,2,已知函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+,3,x-,9,在,x=-,3,处取得极值,则,a=,(,),A.2B.3,C.4D.5,解析,:,f,(,x,),=,3,x,2,+,2,ax+,3,由题意得,f,(,-,3),=,0,解得,a=,5,.,答案,:,D,变式训练,3,已知函数,y=,3,x-x,3,+m,极大值为,10,则,m,值为,.,解析,:,y=,3,-,3,x,2,=,3(1,+x,)(1,-x,),令,y=,0,得,x,1,=-,1,x,2,=,1,经判断知,x=,1,是极大值点,所以,f,(1),=,2,+m=,10,即,m=,8,.,答案,:,8,17/27,探究一,探究二,思维辨析,因误认为导数等于零点就是极值点而致误,【典例】,已知,f,(,x,),=x,3,+,3,ax,2,+bx+a,2,在,x=-,1,处有极值,0,求常数,a,b,值,.,易错分析,:,注意,f,(,x,0,),=,0,是可导函数,f,(,x,),在,x=x,0,处有极值必要不充分条件,只有当,f,(,x,),在,x=x,0,两侧符号相反时,函数,f,(,x,),在,x=x,0,处存在极值,.,18/27,探究一,探究二,思维辨析,解,:,f,(,x,),在,x=-,1,处有极值,0,且,f,(,x,),=,3,x,2,+,6,ax+b,当,a=,1,b=,3,时,f,(,x,),=,3,x,2,+,6,x+,3,=,3(,x+,1),2,0,.,函数,f,(,x,),在,R,上是增加,无极值,故应舍去,.,当,a=,2,b=,9,时,f,(,x,),=,3,x,2,+,12,x+,9,=,3(,x+,1)(,x+,3);,当,x,(,-,3,-,1),时,f,(,x,),0,f,(,x,),在,x=-,1,处取得极小值,.,所以,a=,2,b=,9,.,19/27,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得,1,.,依据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值,.,2,.,对于可导函数,极值点导数为零,但导数为零点不一定是极值点,所以已知函数极值点,求一些参变量值时,应验证能否使函数取到极值,不然易出现错解,.,20/27,探究一,探究二,思维辨析,变式训练,假如函数,f,(,x,),=ax,5,-bx,3,+c,(,a,0),在,x=,1,时有极值,极大值为,4,极小值为,0,试求,a,b,c,值,.,解,:,f,(,x,),=,5,ax,4,-,3,bx,2,令,f,(,x,),=,0,即,x,2,(5,ax,2,-,3,b,),=,0,则,f,(,x,),=,5,ax,2,(,x,2,-,1),.,若,a,0,当,x,改变时,f,(,x,),与,f,(,x,),改变情况以下表,:,21/27,探究一,探究二,思维辨析,当,x=-,1,时,f,(,x,),有极大值,当,x=,1,时,f,(,x,),有极小值,若,a,0,解得,a,2,或,a-,1,.,a,取值范围是,(,-,-,1),(2,+,),.,25/27,1 2 3 4,4,.,设函数,f,(,x,),=x,3,+bx,2,+cx,(,x,R,),已知,g,(,x,),=f,(,x,),-f,(,x,),是奇函数,.,(1),求,b,c,值,;,(2),求,g,(,x,),极值,.,解,:,(1),f,(,x,),=,3,x,2,+,2,bx+c,g,(,x,),=f,(,x,),-f,(,x,),=x,3,+,(,b-,3),x,2,+,(,c-,2,b,),x-c.,又,g,(,x,),是,R,上奇函数,g,(,-x,),=-g,(,x,),.,(,-x,),3,+,(,b-,3),x,2,-,(,c-,2,b,),x-c,=-x,3,-,(,b-,3),x,2,-,(,c-,2,b,),x+c,化简,得,(,b-,3),x,2,-c=,0,.,b=,3,c=,0,.,26/27,1 2 3 4,(2),由,(1),知,g,(,x,),=x,3,-,6,x,当,x,改变时,g,(,x,),g,(,x,),改变情况以下表,:,27/27,
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