高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交.pptx

-,*,-,3.4,.,2,圆锥曲线共同特征,3,.,4,.,3,直线与圆锥曲线交点,1/31,2/31,一,二,思索辨析,一、圆锥曲线共同特征,(,椭圆、双曲线、抛物线第二定义,),圆锥曲线上点到一个定点距离与它到一条定直线距离之比为定值,e,.,当,0,e,1,时,圆锥曲线是,双曲线,;,当,e=,1,时,圆锥曲线是,抛物线,.,【做一做,1,】,已知椭圆,(,ab,0),上一点,P,横坐标为,x,0,求点,P,到两焦点,F,1,F,2,距离,.,解,:,设,F,1,F,2,分别为椭圆左、右焦点,点,P,到右准线距离为,d.,同理可求得,|PF,1,|=a+ex,0,.,3/31,一,二,思索辨析,二、直线与圆锥曲线交点,在直角坐标系,xOy,中,给定两条曲线,C,1,C,2,它们由以下方程确定,:,C,1,:,f,(,x,y,),=,0,C,2,:,g,(,x,y,),=,0,求曲线,C,1,和,C,2,交点,即要求出这些交点,坐标,.,设,M,(,x,0,y,0,),是曲线,C,1,和,C,2,一个交点,;,因为点,M,在曲线,C,1,上,所以它坐标满足方程,f,(,x,y,),=,0,因为点,M,在曲线,C,2,上,所以它坐标也满足方程,g,(,x,y,),=,0,.,从而,曲线,C,1,和,C,2,任意一个交点坐标都满足,方程组,.,反过来,该方程组任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点坐标,.,4/31,一,二,思索辨析,名师点拨,两条曲线有交点充要条件是由这两条曲线方程所组成方程组有实数解,.,方程组有几个解,则两条曲线就有几个交点,.,5/31,一,二,思索辨析,【做一做,2,】,求曲线,2,y,2,+,3,x+,3,=,0,与曲线,x,2,+y,2,-,4,x-,5,=,0,公共点,.,两曲线只有一个公共点,(,-,1,0),.,6/31,一,二,思索辨析,尤其提醒,1,.,判断直线与双曲线、直线与抛物线位置关系时,要注意讨论二次项系数为零情况,.,2,.,直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切必要不充分条件,.,3,.,直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切必要不充分条件,.,7/31,一,二,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(2),直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切,.,(,),(3),双曲线离心率越大,其渐近线斜率绝对值就越大,.,(,),(4),直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切,.,(,),8/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,圆锥曲线共同特征,【例,1,】,已知定点,A,(,-,2,),F,是椭圆,=,1,右焦点,在椭圆上求一点,M,使,|AM|+,2,|MF|,取得最小值,.,思维点拨,:,点,A,在椭圆内部,先将点,M,到焦点距离转化为到对应准线距离,再利用数形结合思想方法求解,.,9/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,即,|AM|+,2,|MF|=|AM|+|MN|,当,A,M,N,同时在垂直于右准线一条直线上时,|AM|+,2,|MF|,取得最小值,反思感悟,若点,M,表示圆锥曲线上一点,F,是圆锥曲线一个焦点,则处理与,|MF|,相关问题,通常先将,|MF|,转化为点,M,到同侧准线距离,再利用数形结合思想求解,.,10/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,答案,:,椭圆,11/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,直线与圆锥曲线位置关系,【例,2,】,已知双曲线,x,2,-y,2,=,4,直线,l,:,y=k,(,x-,1),试讨论实数,k,取值范围,使,:,(1),直线,l,与双曲线有且只有一个公共点,;,(2),直线,l,与双曲线有两个公共点,;,(3),直线,l,与双曲线没有公共点,.,思维点拨,:,在处理直线与双曲线位置关系时,对消元后方程二次项系数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论,.,12/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,得,(1,-k,2,),x,2,+,2,k,2,x-k,2,-,4,=,0,.,(,*,),当,1,-k,2,=,0,即,k=,1,时,直线,l,与双曲线渐近线平行,方程,(,*,),可化为,2,x=,5,故此时方程,(,*,),只有一个实数解,;,当,1,-k,2,0,即,k,1,时,=,(2,k,2,),2,-,4(1,-k,2,)(,-k,2,-,4),=,4(4,-,3,k,2,),13/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,总而言之,反思感悟,在处理这类问题时,可结合图形,利用数形结正当来分析各种情况,以防漏解,.,14/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,变式训练,2,求过,P,(0,1),且与抛物线,y,2,=,2,x,只有一个公共点直线方程,.,解,:,当斜率不存在时,x=,0,.,当斜率存在时,设直线为,y=kx+,1,消去,y,整理,得,k,2,x,2,+,2(,k-,1),x+,1,=,0,.,当,k=,0,时,y=,1;,当,k,0,时,=,0,k=.,直线方程为,x-,2,y+,2,=,0,.,直线方程有三条,分别为,x=,0,y=,1,x-,2,y+,2,=,0,.,15/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,弦长问题,思维点拨,:,由直线,l,1,方程特点,知直线,l,1,恰好过椭圆两个顶点,即有,a,2,+b,2,=,8,把直线,l,2,方程代入椭圆方程,利用根与系数关系和弦长公式求解,.,16/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,(,b,2,+,3,a,2,),x,2,-,6,a,2,cx+a,2,(3,c,2,-b,2,),=,0,.,设直线,l,2,与椭圆交于点,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),.,由根与系数关系,得,17/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,化简,得,a,2,=,3,b,2,.,联立,得,a,2,=,6,b,2,=,2,.,反思感悟,首先设直线与圆锥曲线交点,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),直线,MN,后结合韦达定理进行求解,这种,“,设而不求,”,思想要熟练掌握,.,18/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,解,:,设直线,l,方程,y=,2,x+b,19/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,中点弦问题,分析一,设出直线,AB,方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理及中点坐标公式求解,.,20/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,解法一,易知直线斜率,k,存在,.,设所求直线方程为,y-,1,=k,(,x-,2),得,(4,k,2,+,1),x,2,-,8(2,k,2,-k,),x+,4(2,k-,1),2,-,16,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,x,2,是上述方程两根,故所求直线方程为,x+,2,y-,4,=,0,.,21/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,分析二,将两个交点坐标,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),分别代入椭圆方程中,两式相减,结构出,x,1,+x,2,y,1,+y,2,(,与中点坐标相关,),(,弦所在直线斜率,),.,从而获解,.,解法二,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),.,M,(2,1),为,AB,中点,x,1,+x,2,=,4,y,1,+y,2,=,2,.,又,A,B,两点在椭圆上,故所求直线方程为,x+,2,y-,4,=,0,.,22/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,分析三,设出点,A,坐标,由中点坐标公式表示出另一个端点,B,坐标,代入椭圆方程,.,解法三,设所求直线与椭圆一个交点为,A,(,x,y,),因为,AB,中点为,M,(2,1),则另一个交点为,B,(4,-x,2,-y,),.,A,B,两点都在椭圆上,-,得,x+,2,y-,4,=,0,.,显然点,A,坐标满足这个方程,.,代入验证可知点,B,坐标也满足这个方程,而过,A,B,直线只有一条,故所求直线方程为,x+,2,y-,4,=,0,.,23/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,反思感悟,弦中点问题常见有求弦中点轨迹方程,求弦所在直线方程,主要求解策略有,:,(1),韦达定理法,:,把中点弦所在直线方程与曲线方程联立,消去,x,(,或,y,),得到一个关于,y,(,或,x,),二元一次方程,设出两个交点坐标,但,“,设而不求,”,而是利用韦达定理和中点坐标公式求解,此法为通法,.,(2),点差法,:,设出弦两端点坐标,代入曲线方程,两式相减即得弦中点与斜率关系,.,(3),中点转移法,:,先设出弦一个端点坐标,利用中点坐标公式得出另一个端点坐标,代入曲线方程作差可得,.,24/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,(1),求椭圆方程,.,(2),一条不与坐标轴平行直线,l,与椭圆交于不一样两点,M,N,且线段,MN,中点横坐标为,-,求直线,l,倾斜角取值范围,.,25/31,探究一,探究二,探究三,一题多解,26/31,1 2 3 4 5,解析,:,由已知可设,P,(,x,0,y,0,),M,(,-,2,0),N,(2,0),答案,:,A,27/31,1 2 3 4 5,(,),A.4,a+,4,k,2,=,1B,.,4,k,2,-a=,1,C,.a-,4,k,2,=,1D,.a+,4,k,2,=,1,直线与椭圆相切,=,64,k,2,-,4(,a+,4,k,2,)(4,-,4,a,),=,0,整理得,4,k,2,+a-,1,=,0,.,答案,:,D,28/31,1 2 3 4 5,解析,:,设此弦所在直线与椭圆交点分别为,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),29/31,1 2 3 4 5,所以点,M,轨迹为中心在原点,焦点在,x,轴上椭圆,.,30/31,1 2 3 4 5,5,.,已知抛物线,y,2,=,2,x,过点,Q,(2,1),作一条直线交抛物线于,A,B,两点,试求弦,AB,中点轨迹方程,.,解,:,设弦,AB,中点为,M,并设,A,B,M,坐标分别为,31/31,