高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.2.3,向量数乘运算及其几何意义,1/58,【,知识提炼,】,1.,向量数乘运算,(1),定义：要求实数,与向量,a,积是一个,_,，这种运算叫做向量数乘，记作：,_,，它长度和方向要求以下：,|,a,|=|,a,|,；,当,0,时，,a,方向与,a,方向,_,；,当,0,时，,a,方向与,a,方向,_.,向量,a,相同,相反,2/58,(2),运算律：设,，,为任意实数，则有：,(,a,)=_,；,(+),a,=_,；,(a+b)=_,；,尤其地，有,(-),a,=_=_,；,(,a,-,b,)=_.,2.,向量共线条件,向量,a,(,a,0,),与,b,共线，当且仅当有唯一一个实数,，使,_.,(),a,a,+,a,a,+,b,-(,a,),(-,a,),a,-,b,b,=,a,3/58,3.,向量线性运算,向量加、减、数乘运算统称为向量线性运算,.,对于任意向量,a,，,b,及任意实数,，,1,，,2,，恒有,(,1,a,2,b,)=_.,1,a,2,b,4/58,【,即时小测,】,1.,思索以下问题,.,(1),实数,与向量,a,乘积,a,是向量，那么实数,与向量,a,和,+,a,与差,-,a,是向量吗？,提醒：,+,a,与,-,a,不是向量，因为实数,与向量,a,能够作积为,a,，但不能够做加减法，因为,+,a,与,-,a,是无意义,.,5/58,(2),向量,-4,a,模是向量,2,a,模,2,倍吗？,提醒：,向量,-4,a,模是向量,2,a,模,2,倍,.,因为,|-4,a,|=4|,a,|,，,|2,a,|=2|,a,|,，所以,|-4,a,|=2,|2,a,|.,6/58,2.,存在两个非零向量,a,，,b,满足,b,=-3,a,，则有,(,),A.,a,与,b,方向相同,B.,a,与,b,方向相反,C.|,a,|=|3,b,|D.|,a,|=|,b,|,【,解析,】,选,B.,因为,-31,时，有,|a|a|,，这意味着表示向量,a,有向线段在原方向,(1),或反方向,(-1),上伸长到,a,倍；,当,0|1,时，有,|,a,|,a,|,，这意味着表示向量,a,有向线段在原方向,(01),或反方向,(-10),上缩短到,a,倍,.,14/58,知识点,2,向量共线条件,观察如图所表示内容，回答以下问题：,问题,1,：在向量共线条件中，若向量,a,=,0,，则该定理是否成立？,问题,2,：若向量,a,，,b,共线，则一定有,a,=,b,(R),吗？,问题,3,：依据向量共线条件，对于非零向量,a,，,b,，怎样确定实数,，使,b,=,a,？,15/58,【,总结提升,】,1.,对向量共线条件说明,(1),在向量共线条件中之所以限定,a,0,，是因为若,a,=,b,=,0,，即使,依然存在，可是,不唯一,.,(2),依据向量共线条件，对于非零向量,a,，,b,，确定实数,，使,b,=,a,时，分两点：确定符号，,a,与,b,同向时，,为正；,a,与,b,反向时，,为负,.,确定,绝对值，,16/58,2.,向量共线条件两个应用,(1),对于向量,a,(,a,0,),与,b,，假如有一个实数,，使得,b,=,a,，那么由向量数乘定义知，向量,a,与,b,是共线,.,(2),向量,a,(,a,0,),与,b,共线，若向量,b,长度是,a,长度,倍，,|,b,|=|,a,|,，那么，当,a,与,b,同向时，有,b,=,a,；当,a,与,b,反向时，有,b,=,-a,；当,b,=,0,时，则,=0,，总之都能够表示成,b,=,a,(,其中,唯一确定,).,17/58,【,题型探究,】,类型一,向量线性运算,【,典例,】,1.,在,ABCD,中，,=2,a,，,=3,b,，则 等于,(),A,a,+,b,B,a,-,b,C,2,a,+3,b,D,2,a,-3,b,2.,化简以下各式,(1)2(3,a,-2,b,)+3(,a,+5,b,)-5(4,b,-,a,).,(2)(,a,+2,b,)+3,a,-(6,a,-12,b,).,(3)2(5,a,-4,b,+,c,)-3(,a,-3,b,+,c,)-7,a,.,18/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中在,ABCD,中 与 ，关系是什么？,提醒：,2.,典例,2,中化简题目普通按照怎样次序进行？,提醒：,简单化简问题，把握运算次序为：去括号、数乘向量、向量加减,.,19/58,【,解析,】,1.,选,C.=2,a,+3,b,.,2.(1),原式,=6,a,-4,b,+3,a,+15,b,-20,b,+5,a,=14,a,-9,b,.,(2),原式,=,a,+,b,+,a,-,a,+,b,=,a,+,b,.,(3),原式,=10,a,-8,b,+2,c,-3,a,+9,b,-3,c,-7,a,=,b,-,c,.,20/58,【,方法技巧,】,向量线性运算基本方法,(1),类比喻法：向量数乘运算可类似于代数多项式运算,.,比如，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形伎俩在数与向量乘积中一样适用，不过在这里“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量系数,.,(2),方程方法：向量也能够经过列方程来解，把所求向量看成未知数，利用代数方程方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当利用运算律，简化运算,.,21/58,【,拓展延伸,】,向量线性运算技巧,(1),不在图形中简单化简问题依照数乘向量运算律进行,.,(2),在详细图形中数乘向量化简普通要利用向量加法,(,减法,),找到向量间关系，再利用数乘向量运算进行化简,.,(3),详细图形中数乘向量化简明结合图形性质进行,.,22/58,【,变式训练,】,1.,若向量,a,=3,i,-4,j,，,b,=5,i,+4,j,，则,(,a,-,b,)-3(,a,+,b,)+(2,b,-,a,)=_.,【,解析,】,(,a,-,b,)-3(,a,+,b,)+(2,b,-,a,),=,a,-,b,-3,a,-2,b,+2,b,-,a,=-,a,-,b,=-,(3,i,-4,j,)-(5,i,+4,j,),=-11,i,+,j,-5,i,-4,j,=-16,i,+,j,.,答案：,-16,i,+,j,23/58,2.,点,D,，,E,，,F,分别为,ABC,边,BC,，,CA,，,AB,中点，且,BC=,a,，,CA=,b,，给出以下等式：,=-,a,-,b,；,=,a,+,b,；,=-,a,+,b,；,=,0,.,其中正确序号为,_.,24/58,【,解析,】,如图，,=-,b,+=-,b,-,a,，,=,a,+,b,，,=-,b,-,a,，,=,b,+(-,b,-,a,)=,b,-,a,，,=,b,-,a,+,a,+,b,+,b,-,a,=,0,.,答案：,25/58,类型二,向量共线条件应用,【,典例,】,1.(,无锡高一检测,),已知,A,，,B,，,P,三点共线，,O,为直线外任意一点，若 ，则,x+y=_.,2.,设两个向量,a,与,b,不共线，若,=,a,+,b,，,=2,a,+8,b,，,=3(,a,-,b,),，求证：,A,，,B,，,D,三点共线,.,26/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中,A,，,B,，,P,三点共线，得到 有怎样关系？,提醒：,因为,A,，,B,，,P,三点共线，所以存在实数,使得,2,典例,2,中判断三点,A,，,B,，,D,共线关键是什么？,提醒：,欲证三点,A,，,B,，,D,共线，关键是证存在实数,，使 ，只要依据已知条件找出,即可,27/58,【,解析,】,1.,因为,A,，,B,，,P,三点共线，所以向量 在同一条直线上，由向量共线条件可知，必定存在实数,使,即 ，所以,故,x=1-,，,y=,，即,x+y=1.,答案：,1,28/58,2.,因为,=,a,+,b,，,=2,a,+8,b,，,=3(,a,-,b,),，,所以,=2,a,+8,b,+3(,a,-,b,),=2,a,+8,b,+3,a,-3,b,=5(,a,+,b,)=5 .,所以 共线，又因为它们有公共点,B,，所以,A,，,B,，,D,三点共线,.,29/58,【,延伸探究,】,若本例,2,中,=,a,+,b,，其它条件不变，且,A,，,B,，,D,共线，试求,值,.,【,解析,】,因为,=,a,+,b,+3(,a,-,b,)=4,a,+(-3),b,，,因为,A,，,B,，,D,三点共线，,所以存在实数,，使得,所以,4,a,+(-3),b,=(,a,+,b,),，,又因为,a,，,b,是不共线两个向量，,所以 所以,=7.,30/58,【,方法技巧,】,用向量共线条件证实两直线平行或重合思绪,(1),若,b,=,a,(,a,0,),，且,b,与,a,所在直线无公共点，则这两条直线平行,.,(2),若,b,=,a,(,a,0,),，且,b,与,a,所在直线有公共点，则这两条直线重合,.,比如，若 ，则 与 共线，又,与,有公共点,A,，从而,A,，,B,，,C,三点共线，这是证实三点共线主要方法,.,31/58,【,拓展延伸,】,用向量共线条件求参数方法,(1),三点,A,，,B,，,C,共线问题：利用 结构方程求参数,.,(2),已知向量,m,a,+n,b,与,k,a,+p,b,(,a,与,b,不共线,),共线求参数值步骤,设：,m,a,+n,b,=(k,a,+p,b,).,整：整理得,(m-k),a,=(p-n),b,，故,解：解方程组得参数值,.,32/58,【,变式训练,】,1.(,全国卷,),设向量,a,，,b,不平行，向量,a,+,b,与,a,+2,b,平行，则实数,=_,【,解题指南,】,由向量,a,+,b,与,a,+2,b,平行，得到,a,+,b,=k(,a,+2,b,),，利用向量相等求解,.,33/58,【,解析,】,因为向量,a,+,b,与,a,+2,b,平行，,所以,a,+,b,=k(,a,+2,b,),，则 所以,=,答案：,34/58,2.(,蚌埠高一检测,),设,a,，,b,是两个不共线向量，已知,=,2,a,+m,b,，,=,a,+3,b,，若,A,，,B,，,C,三点共线，求,m,值,.,【,解题指南,】,因为,A,，,B,，,C,三点共线，则两向量 共线，依据向量共线条件可得，一定存在一个实数,使得 ，利用向量相等求,m,值,.,【,解析,】,因为,A,，,B,，,C,三点共线，所以 共线，即 ，所以,2,a,+m,b,=(,a,+3,b,),，故,=2,，,m=3,，解得,m=6.,35/58,【,赔偿训练,】,对于,ABC,内部一点,O,，存在实数,使得,=(),成立，则,OBC,与,ABC,面积比为,(),A.12 B.13,C.23,D.,与,相关,36/58,【,解析,】,选,A.,如图所表示，设,D,，,E,分别是,AB,，,AC,中点，以,OA,，,OB,为邻边作平行四边形,OAGB,，以,OA,，,OC,为邻边作平行四边形,OAFC,，则,因为,=(),，,所以,所以点,O,在直线,DE,上,.,又因为,D,，,E,分别是,AB,，,AC,中点，所以,OBC,与,ABC,面积比是,12.,37/58,【,延伸探究,】,若把本题中条件改为 ，则,AOB,与,AOC,面积之比为,_.,【,解析,】,如图，由平行四边形法则，知,其中,E,为,AC,中点,.,所以 所以,38/58,设点,A,到,BD,距离为,h,，则,S,AOB,=|,h,，,S,AOC,=2S,AOE,=|,h,，所以,答案：,13,39/58,类型三,用已知向量表示未知向量,【,典例,】,1.,设,D,，,E,，,F,分别是,ABC,三边,BC,，,CA,，,AB,上点，且,则 与,(),A,反向平行,B,同向平行,C,相互垂直,D,既不平行也不垂直,40/58,2.,如图所表示，四边形,OADB,是以向量,=,a,，,=,b,为邻边平行四边形又 试用,a,，,b,表示,41/58,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，判断 与 之间关系解题思绪是什么？,提醒：,看,能否用 来表示,.,2.,典例,2,中利用已知条件能够找到哪些与所求向量和已知向量相关等量关系？,提醒,：,42/58,【,解析,】,1.,选,A.,因为,所以,与,平行且方向相反,43/58,2.,所以,=,b,+,a,-,b,=,a,+,b,.,因为,所以,=()=(,a,+,b,),，,=(,a,+,b,)-,a,-,b,=,a,-,b,.,44/58,【,延伸探究,】,1.(,改变问法,),在本例,2,条件中，试用,a,，,b,表示,【,解析,】,方法一,：,又,=(,a,+,b,),，,=,a,+,b,，,所以,=,a,+,b,-,a,-,b,=-,a,+,b,.,方法二：因为,所以,=(,b,-,a,)=-,a,+,b,.,45/58,2.(,变换条件,),若本例,2,中,=,a,，,=,b,，其它条件不变，试用,a,，,b,表示,【,解析,】,46/58,【,方法技巧,】,用已知向量表示其它向量两种方法,(1),直接法,(2),方程法,当直接表示比较困难时，能够首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量等量关系，然后解关于所求向量方程,.,47/58,【,赔偿训练,】,1.,如图，设,ABC,重心为,G,，,O,是,ABC,所在平面内一点，且,=,a,，,=,b,，,=,c,，则,=_.,48/58,【,解题指南,】,由,OG,是,OGA,一条边，所以 所以，只要能求得向量 即可,.,又因为,G,为,ABC,重心，所以 ，只要能求得向量 即可,.,【,解析,】,易知，,所以,又因为,所以,故,答案：,49/58,2.,如图所表示，,D,，,E,分别是,ABC,中边,AB,，,AC,中点，,M,，,N,分别是,DE,，,BC,中点，已知,=,a,，,=,b,，试用,a,，,b,分别表示,50/58,【,解析,】,由三角形中位线定理,，知,DE BC,，故 即,=-,a,+,b,+,a,=-,a,+,b,.,=-,a,-,b,+,a,=,a,-,b,.,51/58,规范解答,向量共线条件应用,【,典例,】,(12,分,)(,合肥高一检测,),如图所,示，在,ABC,中，,D,，,F,分别是,BC,，,AC,中点，,且,(1),用,a,，,b,表示向量,(2),求证：,B,，,E,，,F,三点共线,.,52/58,【,审题指导,】,(1),要用,a,，,b,表示向量 ，只需依据题目中条件，把所表示向量放在三角形中，用三角形法则联络起来求解,.,(2),要证,B,，,E,，,F,三点共线，只需证实,53/58,【,规范解答,】,(1),延长,AD,到,G,，使 ，连接,BG,，,CG,，因为,D,是,BC,和,AG,中点，,54/58,55/58,56/58,【,题后悟道,】,1.,熟练应用加法和减法法则,用已知向量表示未知向量可借助三角形法则或平行四边形法则,.,将未知向量与已知向量纳入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量纳入到同一个平行四边形中，再依据向量加、减法和数乘运算建立已知向量与未知向量间关系，实现已知向量与未知向量间沟通,.,57/58,2.,把握向量共线条件应用,利用向量共线判断三点共线是判断三点共线惯用方法,.,在本题中能够先作图，经过观察图形得到三点共线猜测，再将平面几何中判断三点共线方法转化为用向量共线证实三点共线,.,58/58,