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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,3.4生活中优化问题举例,1/43,一、怎样判断函数单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,设函数y=f(x)在 某个区间内可导,二、怎样求函数极值与最值？,求函数极值普通步骤：,（1）确定定义域.,（2）求导数f(x).,2/43,（3）求f,(x)=0根.,（4）列表.,（5）判断.,求f(x)在闭区间a,b上最值步骤：,(1)求函数f(x)在区间(a,b)内极值.,(2)将函数y=f(x)各极值与端点处函数值f(a),f(b）比较,从而确定函数最值.,3/43,4/43,生活中经常碰到求,利润最大,、,用料最省,、,效率最高,等问题，这些问题通常称为,优化问题,，经过前面学习，知道，导数是求函数最大（小）值有力工具，本节我们利用导数，处理一些生活中优化问题.,5/43,1了解导数在实际问题中应用.,2对给出实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在处理实际问题中作用.,3利用导数知识处理实际中最优化问题.,（重点）,4,将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.,（难点）,6/43,探究点1 海报版面尺寸设计,【例1】,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所表示竖向张贴海报，要求版心面积为128dm,2,，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，怎样设计海报尺寸，才能使四面空白面积最小？,分析：已知版心面积，你能否设计出版心高，求出版心宽，从而列出海报四面面积来？,7/43,8/43,所以，x=16是函数S(x)极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四面空白面积最小.,你还有其它解法吗？比如用基本不等式行吗？,9/43,解法二：,由解法一得,10/43,2在实际应用题目中，若函数,f,(,x,)在定义域内,只有一个极值点,x,0,，,则不需与端点比较，,f,(,x,0,)即是所求最大值或最小值.,1设出变量找出函数关系式；,确定出定义域；,所得结果符合问题实际意义.,(所说区间也适合用于开区间或无穷区间),【提升总结】,11/43,用长为90cm,宽为48cm长方形铁皮做一个无盖容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90,再焊接而成(如图),问该容器高为多少时,容器容积最大?最大容积是多少?,【即时训练】,12/43,解答：,设容器高为xcm,容器容积为V(x)cm,3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x),=4x,3,-276x,2,+4320 x(0 x24).,V(x)=12x,2,-552x+4320=12(x,2,-46x+360),=12(x-10)(x-36)(0 x24).,令V(x)=0,得x,1,=10,x,2,=36(舍去).,【解题关键】,直接列出体积关于高函数解析式,再利用导数求解.,13/43,当00,V(x)是增函数;,当10 x24时,V(x)0,V(x)是减函数.,所以,在定义域(0,24)内,只有当x=10时函数V(x)取得最大值,其最大值为,V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm,3,),故当容器高为10cm时,容器容积最大,最大容积是19 600cm,3,.,14/43,【规律总结】,与面积、容(体)积相关最值问题处理策略,处理面积、容积(体积)最值问题,要正确引入变量,将面积或容积(体积)表示为变量函数,结合实际问题定义域,利用导数求解函数最值.,15/43,规格（L）,0.6,1.25,2,价格（元）,2.5,4.5,5.1,探究点2 饮料瓶大小对饮料企业利润影响,【例2】,下面是某品牌饮料三种规格不一样产品，若它们价格以下表所表示，则,（1）对消费者而言，选择哪一个更合算呢？,（2）对制造商而言，哪一个利润更大？,16/43,某制造商制造并出售球形瓶装某种饮料，瓶子制造成本是0.8p,r,2,分，其中,r,是瓶子半径，单位：cm,已知每出售1,mL,饮料，制造商可赢利0.2分，且制造商能制造瓶子最大半径为6cm，,问题：,()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料利润最大？,(）瓶子半径多大时，每瓶饮料利润最小？,17/43,解：,因为瓶子半径为r,所以每瓶饮料利润为,r,(0，2),2,(2，6,f,(,r,),0,f,(,r,),-,+,减函数,增函数,-1.07p,18/43,当r2时，f,(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.,（1）半径为2cm时，利润最小.这时f(2)2时，f,(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,19/43,2,3,从图中，你还能看出什么吗？,当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零；当r3时，利润为正值，并伴随瓶子半径增大利,润也对应增大.,20/43,【规律总结】,求解利润最大问题两个注意点,(1)注意定义域:在求解利润最大问题时,一定要注意所列函数定义域.而且能够正确列出函数解析式,这是求解利润最大问题前提.,(2)实际联络:在求解利润最大问题时,一定要注意所得结果是否和现实情况相符合,所以,在求得结果之后,要进行检验.,21/43,已知某厂天天生产,x,件产品总成本为,若受到产能影响，该厂天天至多只能生产800件产品，,则要使平均成本最低，天天应生产多少件产品呢？,解析：,设平均成本为,y,元，天天生产,x,件产品，则,【即时训练】,因为函数在（0，1000）上是减函数,又因为0 x6 000时,f(x)0,所以,当x=6 000时,利润最大.,答案:,6 000,28/43,处理优化问题方法之一：经过搜集大量统计数据，建立与其对应数学模型，再经过研究对应函数性质，提出优化方案，使问题得到处理在这个过程中，导数往往是一个有利工具，其基本思绪如以下流程图所表示:,优化问题,用函数表示数学问题,用导数处理数学问题,优化问题答案,建立数学模型,处理数学 模型,作答,29/43,1函数f(x)x,3,3bx3b在(0,1)内有极小值，,则(),A0b1,Bb0,Db,A,30/43,2.已知圆柱表面积为定值,S,，求当圆柱容积,V,最大时圆柱高,h,值,解析:,设圆柱底面半径为,r,，高为,h,，,则,S,圆柱底,2,r,2,，,S,圆柱侧,2,rh,，,31/43,32/43,D,33/43,34/43,35/43,答：每个月生产200吨产品时利润到达最大，最大利润为315万元,点评建立数学模型后，注意找准函数定义域，这是这类题解答过程中极易犯错地方,36/43,5.在边长为60cm正方形铁片四角上切去相等正方形，再把它边缘虚线折起，做成一个无盖方底箱子，箱底边长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,37/43,解：,设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x函数，,V(x)(602x),2,x(0 x30),4x,3,240 x,2,3 600 x.,所以V(x)12x,2,480 x3 600，,令V(x)0，得x10或x30(舍去).,当00，,当10 x30时，V(x)0.,所以当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)最大值V(10)16 000(cm,3,),38/43,答：,当箱子高为10cm，底面边长为40cm时，,箱子体积最大，最大容积为16 000cm,3,.,点评,在处理实际应用问题中，假如函数在,区间内只有一个极值点，那么只需依据实际意义,判定是最大值还是最小值,无须再与端点函数,值进行比较,39/43,1.处理优化问题基本思绪：,优化问题,用函数表示数学问题,优化问题答案,用导数处理数学问题,40/43,2导数在实际生活中应用方向：主要是,处理相关函数最大值、最小值实际问题，主要,有以下几个方面：,(1)与几何相关最值问题.,(2)与物理学相关最值问题.,(3)与利润及其成本相关最值问题.,(4)效率最值问题.,41/43,3处理优化问题方法：,首先是需要分析问题中各个变量之间关系，,建立适当函数关系，并确定函数定义域，经过,创造在闭区间内求函数取值情境，即关键问题是,建立适当函数关系.再经过研究对应函数性质，,提出优化方案，使问题得以处理，在这个过程中，,导数是一个有力工具.,42/43,卓越人一大优点是：在不利与艰难遭遇里百折不饶。,贝多芬,43/43,
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