高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2抛物线3.2.1抛物线及其标准方程省公开课一等奖新名师优质课获奖P.pptx

-,*,-,3.2,.,1,抛物线及其标准方程,1/29,2/29,一,二,思索辨析,一、抛物线,定义,平面内与一个定点,F,和一条直线,l,(,l,不过,F,),距离,相等,点集合叫作抛物线,.,定点,F,叫作抛物线,焦点,定直线,l,叫作抛物线,准线,.,名师点拨,1,.,抛物线定义可归纳为,“,一动三定,”:,一个动点,设为点,M,;,一个定点,F,(,即抛物线焦点,);,一条定直线,(,即抛物线准线,);,一个定值,(,即点,M,到点,F,距离与它到定直线距离之比等于常数,1),.,2,.,注意定点,F,不在定直线,l,上,不然动点,M,轨迹不是抛物线,而是过点,F,与,l,垂直一条直线,.,3/29,一,二,思索辨析,【做一做,1,】,过点,A,(3,0),且与,y,轴相切圆圆心轨迹为,(,),A,.,圆,B,.,椭圆,C,.,直线,D,.,抛物线,解析,:,如图,设,P,为满足条件一点,不难得出结论,:,P,到,A,点距离等于到,y,轴距离,故,P,在以,A,为焦点,y,轴为准线抛物线上,故,P,轨迹为抛物线,故选,D,.,答案,:,D,4/29,一,二,思索辨析,二、抛物线标准方程,5/29,一,二,思索辨析,名师点拨,1,.,“,p,”,几何意义是抛物线焦点到准线距离,所以,p,值恒大于,0,.,2,.,只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上抛物线方程才是标准方程,.,6/29,一,二,思索辨析,【做一做,2,】,抛物线,y=x,2,准线方程是,(,),A.,y=-,1B.,y=-,2C.,x=-,1D.,x=-,2,解析,:,抛物线,x,2,=,4,y,准线方程为,y=-,1,.,答案,:,A,7/29,一,二,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),平面内与一个定点和一条定直线距离相等点轨迹一定是抛物线,.,(,),(2),抛物线,y=-,8,x,2,准线方程是,y=,2,.,(,),(3),若抛物线方程为,y,2,=-,4,x,则其中焦参数,p=-,2,.,(,),(4),抛物线,y=,6,x,2,焦点在,x,轴正半轴上,.,(,),8/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线方程,【例,1,】,求满足以下条件抛物线标准方程,:,(1),过点,(,-,3,2);,(2),以坐标轴为对称轴,焦点在直线,x-,2,y-,4,=,0,上,.,思维点拨,:,求抛物线标准方程,要依据所给条件确定其类型,设出对应标准方程形式,然后求出参数,p.,9/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),直线,x-,2,y-,4,=,0,与,x,轴交点为,(4,0),与,y,轴交点为,(0,-,2),故抛物线焦点为,(4,0),或,(0,-,2),.,所以,p=,8,.,所以抛物线方程为,y,2,=,16,x.,所以,p=,4,.,所以抛物线方程为,x,2,=-,8,y.,反思感悟,求抛物线标准方程普通采取待定系数法,即先定位,(,确定抛物线开口方向,),再定量,(,确定参数,p,值,),若已知抛物线焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线标准方程,求出,p,值即可,若无法定位,则需分类讨论,.,10/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,依据以下条件分别求出抛物线标准方程,:,(2),焦点在,y,轴上,焦点到准线距离为,5,.,(2),已知抛物线焦点在,y,轴上,可设方程为,x,2,=,2,my,(,m,0),由焦点到准线距离为,5,知,|m|=,5,m=,5,所以满足条件抛物线有两条,它们标准方程分别为,x,2,=,10,y,和,x,2,=-,10,y.,11/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,抛物线定义应用,【例,2,】,设点,P,是抛物线,y,2,=,4,x,上一个动点,F,为抛物线焦点,.,(1),求点,P,到点,A,(,-,1,1),距离与点,P,到直线,x=-,1,距离之和最小值,;,(2),若点,B,坐标为,(3,2),求,|PB|+|PF|,最小值,.,思维点拨,:,(1),中将点,P,到直线,x=-,1,距离转化为到焦点距离,;(2),中将点,P,到点,B,距离转化为点,P,到准线距离,.,12/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,(1),如图,所表示,易知抛物线焦点为,F,(1,0),准线方程是,x=-,1,由抛物线定义知,:,点,P,到直线,x=-,1,距离等于点,P,到焦点,F,距离,.,于是问题转化为,:,在曲线上求一点,P,使点,P,到点,A,(,-,1,1),距离与点,P,到,F,(1,0),距离之和最小,.,显然,连接,AF,AF,与抛物线交点即为点,P,图,图,13/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),如图,所表示,把点,B,横坐标代入,y,2,=,4,x,中,得,y=,2,.,因为,2,2,所以点,B,在抛物线内部,过点,B,作,BQ,垂直于准线,垂足为点,Q,交抛物线于点,P,1,连接,P,1,F.,此时,由抛物线定义知,:,|P,1,Q|=|P,1,F|.,所以,|PB|+|PF|,|P,1,B|+|P,1,Q|=|BQ|=,3,+,1,=,4,即,|PB|+|PF|,最小值为,4,.,反思感悟,本题是将抛物线上点到焦点距离与它到准线距离进行相互转化,从而结构出,“,两点之间线段最短,”,或,“,垂线段最短,”,使问题处理,.,14/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,若点,P,到点,F,(0,2),距离比它到直线,y+,4,=,0,距离小,2,则点,P,轨迹方程为,(,),A.,y,2,=,8,x,B.,y,2,=-,8,x,C.,x,2,=,8,y,D.,x,2,=-,8,y,解析,:,由题意知点,P,到点,F,(0,2),距离比它到直线,y+,4,=,0,距离小,2,所以点,P,到点,F,(0,2),距离与到直线,y+,2,=,0,距离相等,故点,P,轨迹是以,F,为焦点,y=-,2,为准线抛物线,P,轨迹方程为,x,2,=,8,y.,选,C,.,答案,:,C,15/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,抛物线实际应用问题,【例,3,】,一辆卡车高,3 m,宽,1,.,6 m,欲经过断面为抛物线形隧道,如图所表示,已知拱口,AB,宽恰好是拱高,CD,4,倍,若拱宽为,a,m,求能使卡车经过,a,最小整数值,.,思维点拨,:,要求拱宽,a,最小值,需先建立适当坐标系,写出抛物线方程,再利用方程求解,.,16/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,以拱顶为原点,拱高所在直线为,y,轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为,x,2,=-,2,py,(,p,0),则点,B,坐标为,又点,B,在抛物线上,解得,a,12,.,21,.,因为,a,取整数,所以,a,最小值为,13,.,17/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,处理与抛物线相关实际应用问题时,普通可依据题意,(,或图形,),建立平面直角坐标系,设出抛物线标准方程,依据题意得到抛物线上一点坐标,从而可求出抛物线方程,继而利用其几何性质进行推理、运算,.,18/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,下列图是抛物线形拱桥,当水面在,l,时,拱顶离水面,2 m,水面宽,4 m,水位下降,1 m,后,水面宽,m,.,19/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析,:,建立如图所表示直角坐标系,使拱桥顶点,O,坐标为,(0,0),设,l,与抛物线交点为,A,B,依据题意,知,A,(,-,2,-,2),B,(2,-,2),.,设抛物线解析式为,y=ax,2,则有,-,2,=a,(,-,2),2,20/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对抛物线标准方程了解不正确而致误,【典例】,设抛物线,y=mx,2,(,m,0),准线与直线,y=,1,距离为,3,求抛物线标准方程,.,易错分析,:,对抛物线标准方程特征没有了解清楚,受二次函数影响,认为,y=mx,2,就是抛物线标准方程,从而得到准线为,y=-,错误结论,.,所以所求抛物线标准方程为,x,2,=,8,y,或,x,2,=-,16,y.,纠错心得,抛物线标准方程有四种形式,要找准抛物线焦点位置及它开口方向,最好画出示意图,就不会犯错了,.,21/29,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,抛物线,y=x,2,准线方程是,(,),A,.y=-,1B,.y=-,2C,.x=-,1D,.x=-,2,解析,:,因为抛物线,y=x,2,标准方程为,x,2,=,4,y,所以准线方程为,y=-,1,.,答案,:,A,22/29,1 2 3 4 5,1,.,抛物线,y,2,=-,8,x,焦点到准线距离是,(,),A.1B.2C.4D.8,解析,:,抛物线,y,2,=-,8,x,-,2,p=-,8,即,p=,4,焦点到准线距离为,4,.,答案,:,C,23/29,1 2 3 4 5,2,.,设抛物线,y,2,=,8,x,上一点,P,到,y,轴距离是,4,则点,P,到该抛物线焦点距离是,(,),A.4B.6C.8D.12,解析,:,如图所表示,抛物线焦点坐标为,F,(2,0),准线方程为,x=-,2,由抛物线定义知,:,|PF|=|PE|=,4,+,2,=,6,.,答案,:,B,24/29,1 2 3 4 5,3,.,已知点,P,在抛物线,y,2,=,4,x,上,那么点,P,到点,Q,(2,-,1),距离与点,P,到抛物线焦点距离之和最小值为,.,解析,:,将点,P,到焦点距离转化为点,P,到准线距离,.,过点,P,作准线垂线,l,交准线于点,R,由抛物线定义知,|PQ|+|PF|=|PQ|+|PR|,(,F,为焦点,),当,P,Q,R,三点共线时,|PQ|+|PR|,取得最小值,最小值为点,Q,到准线距离,.,因为准线方程为,x=-,1,故最小值为,3,.,答案,:,3,25/29,1 2 3 4 5,4,.,已知抛物线顶点在原点,焦点在,x,轴正半轴上,抛物线上点,M,(3,m,),到焦点距离等于,5,则抛物线标准方程和,m,值分别为,和,.,26/29,1 2 3 4 5,所以抛物线方程为,y,2,=,8,x.,又点,M,(3,m,),在抛物线上,27/29,1 2 3 4 5,5,.,某隧道横断面由抛物线及矩形三边组成,尺寸如图所表示,某卡车空车时能经过此隧道,现载一集装箱,箱宽,3 m,车与箱共高,4,.,5 m,问此车能否经过该隧道,?,说明理由,.,28/29,1 2 3 4 5,解,:,在以抛物线顶点为坐标原点,以过顶点水平直线为,x,轴建立直角坐标系中,点,A,坐标为,(3,-,3),设抛物线方程为,x,2,=-,2,py,抛物线方程为,x,2,=-,3,y,(,-,3,x,3),.,假如此车能经过隧道,卡车和集装箱应处于以,y,轴为对称轴对称位置,把点,(,x,-,0,.,5),代入,x,2,=-,3,y,得,x,2,=-,3,(,-,0,.,5),x,1,.,22,.,所以,高度为,4,.,5,m,处,允许宽度约为,2,1,.,22,=,2,.,44,3,.,此车不能经过该隧道,.,29/29,