资源描述
-,*,-,习题课,抛物线综合问题及应用,1/30,2/30,1,.,直线与抛物线位置关系,直线,y=kx+b,与抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),交点个数决定于关于,x,方程,k,2,x,2,+,2(,kb-p,),x+b,2,=,0,解个数,.,当,k,0,时,若,0,则直线与抛物线有,两,个不一样公共点,;,当,=,0,时,直线与抛物线有,一,个公共点,;,当,0),焦点,F,与抛物线交于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),两点,则得焦点弦公式,:,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),|AB|=p+,(,x,1,+x,2,);,抛物线,y,2,=-,2,px,(,p,0),|AB|=p-,(,x,1,+x,2,);,抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),|AB|=p+,(,y,1,+y,2,);,抛物线,x,2,=-,2,py,(,p,0),|AB|=p-,(,y,1,+y,2,),.,(2),抛物线焦点弦常见结论,:,4/30,【做一做,1,】,判断直线,y=,1,与抛物线,y=x,2,位置关系是,(,),A.,相离,B.,相交,C.,相切,D.,相交或相切,解析,:,数形结合或把,y=,1,代入,y=x,2,可求出交点有两个,故相交,.,答案,:,B,【做一做,2,】,过抛物线,y,2,=,4,x,焦点作一条直线与抛物线相交于,A,B,两点,它们横坐标之和等于,5,则这么直线,(,),A.,不存在,B.,有没有穷多条,C.,有且仅有一条,D.,有且仅有两条,解析,:,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),由题可知,p=,2,|AB|=x,1,+x,2,+p=,5,+,2,=,7,通径长,=,4,适合条件直线有且仅有两条,.,答案,:,D,5/30,【做一做,3,】,已知抛物线,C,:,y,2,=,4,x,焦点为,F,直线,y=,2,x-,4,与,C,交于,A,B,两点,则,cos,AFB=,.,6/30,探究一,探究二,探究三,【例,1,】,已知直线,y=,(,a+,1),x-,1,与,y,2,=ax,(,a,0),恰有一个公共点,求实数,a,值,.,分析,将直线与抛物线位置关系转化为直线方程与抛物线方程恰有一个公共解,.,同时注意分类讨论思想利用,.,思维辨析,7/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,8/30,探究一,探究二,探究三,反思感悟,1,.,直线与抛物线位置关系,(,直线不与抛物线对称轴平行或重合,),(1),相交,:,有两个交点,两交点连线段叫作弦,.,(2),相切,:,有一个交点,.,(3),相离,:,无公共点,.,注,:,平行于焦点所在坐标轴或与焦点所在坐标轴重合直线与标准抛物线也只有一个交点,.,思维辨析,9/30,探究一,探究二,探究三,2,.,弦长公式,若直线,y=kx+b,与抛物线,y,2,=,2,px,有两个交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),另外,要注意直线斜率不存在时情况,.,思维辨析,10/30,探究一,探究二,探究三,变式训练,1,顶点在原点,焦点在,x,轴上抛物线截直线,y=,2,x-,4,所得弦长,|AB|=,3 ,求抛物线方程,.,解,设抛物线,y,2,=ax,(,a,0),将,y=,2,x-,4,代入得,4,x,2,-,(,a+,16),x+,16,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),即,x,1,x,2,为方程,4,x,2,-,(,a+,16),x+,16,=,0,两个根,a=,4,或,a=-,36,.,所求抛物线标准方程为,y,2,=,4,x,或,y,2,=-,36,x.,思维辨析,11/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,已知直线,l,经过抛物线,y,2,=,6,x,焦点,F,且与抛物线相交于,A,B,两点,.,(1),若直线,l,倾斜角为,60,求,|AB|,值,;,(2),若,|AB|=,9,求线段,AB,中点,M,到准线距离,.,12/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,13/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,14/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,抛物线焦点弦问题解法,(1),因为抛物线焦点弦过焦点,所以与焦点弦相关问题要注意结合抛物线定义求解,.,(2),焦点弦相关问题要把过焦点直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数关系求解,.,(3),求焦点弦长度能够利用两点间距离公式,也能够利用弦长公式,但因为弦过焦点,结合抛物线定义得出焦点弦长为,x,1,+x,2,+p,同时由弦长,x,1,+x,2,+p,2,+p=,2,p,知,通径是全部弦中最短弦,.,15/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,(1),斜率为,2,直线经过抛物线,y,2,=,4,x,焦点,与抛物线相交于两点,A,B,则线段,AB,长度为,.,(2),过抛物线,y,2,=,8,x,焦点作直线,l,交抛物线于,A,B,两点,若线段,AB,中点横坐标为,3,则,|AB|,长度为,.,16/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析,:,(1),如图,由抛物线标准方程可知,焦点,F,(1,0),准线方程,x=-,1,.,由题设,直线,AB,方程为,y=,2,x-,2,代入抛物线方程,y,2,=,4,x,整理得,x,2,-,3,x+,1,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),由抛物线定义可知,|AF|,等于点,A,到准线,x=-,1,距离,|AA|,即,|AF|=|AA|=x,1,+,1,同理,|BF|=x,2,+,1,|AB|=|AF|+|BF|=x,1,+x,2,+,2,=,3,+,2,=,5,.,17/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),由抛物线,y,2,=,8,x,知,p=,4,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=,6,|AB|-p=,6,.,又,p=,4,|AB|=,10,.,答案,:,(1)5,(2)10,18/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,过点,M,(4,1),作抛物线,y,2,=,8,x,弦,AB,若弦,AB,恰被点,M,所平分,求弦,AB,所在直线方程,.,解法一,设以,M,为中点弦,AB,两个端点为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则有,x,1,+x,2,=,2,4,=,8,y,1,+y,2,=,2,1,=,2,由题意知直线,AB,斜率,k,存在且不为,0,19/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以,k=,4,所以所求弦,AB,所在直线方程为,y-,1,=,4(,x-,4),即,4,x-y-,15,=,0,.,解法二,由题知直线,AB,斜率存在,且不为,0,设为,k,弦,AB,所在直线方程为,y=k,(,x-,4),+,1,所以,k=,4,所以弦,AB,所在直线方程为,y=,4(,x-,4),+,1,即,4,x-y-,15,=,0,.,20/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,处理平分弦问题惯用方法,(1),点差法,.,设而不求,结合中点坐标公式,.,(2),待定系数法,.,(3),对称点法,.,利用对称点都在抛物线上,满足抛物线方程求解,.,21/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,抛物线,y,2,=-,8,x,中,以,(,-,1,1),为中点弦直线方程是,.,22/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,方法二,:,设抛物线,y,2,=-,8,x,上任意点为,(,x,y,),则点,(,x,y,),关于点,(,-,1,1),对称点,(,-,2,-x,2,-y,),必在抛物线,y,2,=-,8,x,上,所以有,(2,-y,),2,=-,8(,-,2,-x,),两式相减得,4,-,4,y=,16,x+,16,即,4,x+y+,3,=,0,为所求直线方程,.,答案,:,4,x+y+,3,=,0,23/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽略隐含条件造成失误,【典例】,如图所表示,过点,P,(0,-,2),直线,l,交抛物线,y,2,=,4,x,于,A,B,两点,求以,OA,OB,为邻边平行四边形,OAMB,顶点,M,轨迹方程,.,易错分析,本题能够设出直线,l,方程,经过参数法求解,.,轻易忽略是直线,l,与抛物线交于不一样两点时,直线斜率,k,是有前提条件,.,首先,k,0;,其次,消元后一元二次方程根判别式大于,0,.,忽略这些限制条件就扩大了所求轨迹范围,.,24/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,25/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,在利用参数法求点轨迹方程时,一定要注意参数取值范围有没有限制条件,尤其是直线与曲线交于不一样两点时联立所得一元二次方程,0,.,26/30,1 2 3 4,答案,:,B,27/30,1 2 3 4,答案,:,A,28/30,1 2 3 4,3,.,过抛物线,y,2,=,4,x,焦点作直线交抛物线于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),两点,若,x,1,+x,2,=,6,则,|AB|=,.,解析,:,|AB|=x,1,+x,2,+p=,6,+,2,=,8,.,答案,:,8,29/30,1 2 3 4,30/30,
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