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,-,*,-,3.1,数学归纳法,-,*,-,-,*,-,3.1,数学归纳法,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3.1,数学归纳法,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3.1,数学归纳法,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3.1,数学归纳法,合作学习,自主预习,当堂检测,首页,-,*,-,3.1,数学归纳法,当堂检测,自主预习,合作学习,首页,2.,3,数学归纳法与贝努利不等式,1/30,3,.,1,数学归纳法,2/30,3/30,对数学归纳法了解,(1),数学归纳法原理,:,数学归纳法原理是设有一个关于,正整数,n,命题,若当,n,取,第,1,个值,n,0,时该命题成立,又在假设当,n,取,第,k,个值,时该命题成立后能够推出,n,取,第,k+,1,个值,时该命题成立,则该命题对一切自然数,n,n,0,都成立,.,(2),数学归纳法,:,数学归纳法能够用于证实与正整数相关命题,.,证实需要经过两个步骤,:,验证当,n,取,第一个值,n,0,(,如,n,0,=,1,或,2,等,),时命题正确,.,假设当,n=k,时,(,k,N,+,k,n,0,),命题正确,证实当,n=k+,1,时命题也正确,.,在完成了上述两个步骤之后,就能够断定命题对于,从,n,0,开始全部正整数,都正确,.,4/30,名师点拨,数学归纳法普通被使用证实一些包括正整数,n,命题,n,可取无限多个值,但不能简单地说全部包括正整数,n,命题都能够用数学归纳法证实,比如用数学归纳法证实,单调性就难以实现,普通来说,从,n=k,到,n=k+,1,时,假如问题中存在可利用递推关系,则数学归纳法有用武之地,不然使用数学归纳法就有困难,.,在利用数学归纳法时,要注意起点,n,0,并非一定取,1,也可能取,0,2,等值,要看清题目,比如证实凸,n,边形内角和,f,(,n,),=,(,n-,2),180,这里面,n,应大于,3,即,n,3,第一个值,n,0,=,3,.,归纳假设利用是数学归纳法证实关键,这也是能否由,“,n=k,”,递推到,“,n=k+,1”,关键,在证实过程中,需依据命题改变或者在步骤改变中,从数学式子结构特点上,利用拼凑方法,凑假设,凑结论,从而使,“,递推关系,”,得以顺利进行,命题得以证实,.,5/30,答案,:,D,6/30,答案,:,D,7/30,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打“,”,错误打“,”,.,(1),用数学归纳法证实问题时,第一步是验证当,n=,1,时结论成立,.,(,),(2),全部与正整数相关数学命题都能够用数学归纳法证实,.,(,),(3),用数学归纳法证实问题时,只要推理过程正确,归纳假设能够不用,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),8/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,按照数学归纳法步骤进行证实,注意第二步中合理利用归纳假设,.,9/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,10/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用数学归纳法证实等式时应注意问题,(1),第一步验证,对于有些问题验证并不是,n=,1,有时需验证,n=,2,n=,3,甚至需要验证,n=,10,如证实,:,对足够大正整数,n,有,2,n,n,3,就需要验证,n=,10,时不等式成立,.,(2),注意当,n=k+,1,时式子项数,尤其是寻找,n=k,与,n=k+,1,式子之间关系时,项数发生什么改变轻易被弄错,所以对,n=k,与,n=k+,1,时式子正确分析是应用数学归纳法成功证实问题保障,.,(3),在第二步证实过程中一定要用上归纳假设,不然这么证实就不再是数学归纳法,.,11/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,用数学归纳法证实,:1,+,3,2,+,5,2,2,+,+,(2,n-,1),2,n-,1,=,2,n,(2,n-,3),+,3(,n,N,+,),.,证实,(1),当,n=,1,时,左边,=,1,右边,=,2(2,-,3),+,3,=,1,左边,=,右边,所以等式成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,),时,等式成立,即,1,+,3,2,+,5,2,2,+,+,(2,k-,1),2,k-,1,=,2,k,(2,k-,3),+,3,.,则当,n=k+,1,时,1,+,3,2,+,5,2,2,+,+,(2,k-,1),2,k-,1,+,(2,k+,1),2,k,=,2,k,(2,k-,3),+,3,+,(2,k+,1),2,k,=,2,k,(4,k-,2),+,3,=,2,k+,1,2(,k+,1),-,3,+,3,即当,n=k+,1,时,等式也成立,.,由,(1)(2),知,等式对任何,n,N,+,都成立,.,12/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,用数学归纳法证实,:(3,n+,1)7,n,-,1(,n,N,+,),能被,9,整除,.,分析,在第二步证实中,注意利用归纳假设,对,n=k+,1,时式子进行合理变形,.,证实,(1),当,n=,1,时,(3,1,+,1)7,-,1,=,27,能被,9,整除,命题成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,k,1),时命题成立,即,(3,k+,1)7,k,-,1,能被,9,整除,.,则当,n=k+,1,时,3(,k+,1),+,17,k+,1,-,1,=,(3,k+,1)7,k+,1,-,1,+,37,k+,1,=,(3,k+,1)7,k,-,1,+,6(3,k+,1)7,k,+,37,k+,1,=,(3,k+,1)7,k,-,1,+,9(2,k+,3)7,k,.,因为,(3,k+,1)7,k,-,1,和,9(2,k+,3)7,k,都能被,9,整除,所以,(3,k+,1)7,k,-,1,+,9(2,k+,3)7,k,能被,9,整除,即当,n=k+,1,时,命题也成立,综合,(1)(2),可知,(3,n+,1)7,n,-,1(,n,N,+,),能被,9,整除,.,13/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,用数学归纳法证实整除问题时,首先从要证式子中拼凑出假设成立式子,然后证实剩下式子也能被某式,(,数,),整除,.,其中关键是,“,凑项,”,可采取增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到处理,.,14/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,用数学归纳法证实,:,a,n+,1,+,(,a+,1),2,n-,1,能被,a,2,+a+,1,整除,其中,n,N,+,a,R,.,证实,(1),当,n=,1,时,a,n+,1,+,(,a+,1),2,n-,1,即为,a,2,+a+,1,能够被,a,2,+a+,1,整除,结论成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,),时,结论成立,即,a,k+,1,+,(,a+,1),2,k-,1,能够被,a,2,+a+,1,整除,则当,n=k+,1,时,a,k+,2,+,(,a+,1),2,k+,1,=a,a,k+,1,+,(,a+,1),2,(,a+,1),2,k-,1,=a,a,k+,1,+,(,a+,1),2,k-,1,-a,(,a+,1),2,k-,1,+,(,a+,1),2,(,a+,1),2,k-,1,=a,a,k+,1,+,(,a+,1),2,k-,1,-,(,a+,1),2,k-,1,(,a,2,+a+,1),.,由归纳假设知,上式能够被,a,2,+a+,1,整除,即当,n=k+,1,时,结论也成立,.,由,(1)(2),可知,原结论对任意,n,N,+,都成立,.,15/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,平面内有,n,个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证,:,这,n,个圆将平面分成,f,(,n,),=n,2,-n+,2,个部分,(,n,N,+,),.,分析,因为,f,(,n,),为,n,个圆把平面分割成区域数,那么再有一个圆和这,n,个圆相交,就有,2,n,个交点,这些交点将增加这个圆分成,2,n,段弧,且每一段弧又将原来平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成区域数增加,2,n,个,即,f,(,n+,1),=f,(,n,),+,2,n.,有了上述关系,数学归纳法第二步证实可迎刃而解,.,16/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证实,(1),当,n=,1,时,一个圆将平面分成两个部分,且,f,(1),=,1,-,1,+,2,=,2,所以当,n=,1,时命题成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,且,k,1),时命题成立,即,k,个圆把平面分成,f,(,k,),=k,2,-k+,2,个部分,则当,n=k+,1,时,在,k+,1,个圆中任取一个圆,O,剩下,k,个圆将平面分成,f,(,k,),个部分,而圆,O,与,k,个圆有,2,k,个交点,这,2,k,个点将圆,O,分成,2,k,段弧,每段弧将原平面一分为二,故得,f,(,k+,1),=f,(,k,),+,2,k=k,2,-k+,2,+,2,k=,(,k+,1),2,-,(,k+,1),+,2,.,所以当,n=k+,1,时,命题成立,.,综合,(1)(2),可知,对一切,n,N,+,命题成立,.,反思感悟,对于几何问题证实,能够先从有限情形中归纳出一个改变过程,或者说体会出是怎样改变,然后再去证实,也能够用,“,递推,”,方法来证实,.,证实关键是寻找,f,(,k+,1),与,f,(,k,),之间递推关系,从,f,(,k+,1),中将,f,(,k,),分离出来,.,17/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,18/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,又因为任何三条直线不共点,所以这,k,个交点不一样于,k,条直线交点,且,k,个交点也互不相同,如此,k,个交点把直线,l,分成,(,k+,1),段,每一段把它所在平面区域分成两部分,故新增加了,(,k+,1),个部分,.,这时,即当,n=k+,1,时,命题也成立,.,由,(1)(2),知,命题对任何,n,N,+,都成立,.,19/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因未用上归纳假设而致误,【典例】,已知数列,a,n,中,a,1,=,3,其前,n,项和,S,n,满足,S,n,=,6,-,2,a,n+,1,(,n,N,+,),计算,a,2,a,3,a,4,然后猜测出,a,n,表示式,并用数学归纳法证实你结论,.,20/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,21/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,22/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,23/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,1,.,本题在证实时出现了两个错误,:,(2),未用归纳假设,.,2,.,数学归纳法两个步骤缺一不可,第一步中验证,n,初始值至关主要,它是递推基础,但,n,初始值不一定是,1,而是,n,取值范围内最小值,.,3,.,第二步证实关键是利用归纳假设,.,在使用归纳假设时,应分析,p,(,k,),与,p,(,k+,1),差异与联络,利用拆、添、并、放、缩等伎俩,或从归纳假设出发,从,p,(,k+,1),中分离出,p,(,k,),再进行局部调整,.,24/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,25/30,1,2,3,4,5,1,.,在用数学归纳法证实凸多边形内角和定理时,第一步应验证,(,),A.,n=,1,成立,B.,n=,2,成立,C.,n=,3,成立,D.,n=,4,成立,解析,:,凸,n,边形内角和为,(,n-,2),最少边凸,n,边形为三角形,所以应验证,n=,3,时成立,.,答案,:,C,26/30,1,2,3,4,5,A.1B.1,+a+a,2,C.1,+a,D.1,+a+a,2,+a,3,解析,:,因为当,n=,1,时,a,n+,1,=a,2,所以此时式子左边为,1,+a+a,2,.,答案,:,B,27/30,1,2,3,4,5,3,.,用数学归纳法证实等式,(,n+,1)(,n+,2)(,n+n,),=,2,n,13(2,n-,1)(,n,N,+,),由,n=k,到,n=k+,1,时,等式左边改变是,(,),A.,多乘了,(2,k+,1),B.,多乘了,2(2,k+,1),C.,多乘了,(2,k+,1)(2,k+,2),D.,多乘了,2(,k+,1),解析,:,当,n=k,时,左边,=,(,k+,1)(,k+,2),(,k+k,),当,n=k+,1,时,左边,=,(,k+,1),+,1(,k+,1),+,2,(,k+,1),+,(,k+,1),=,(,k+,2)(,k+,3),(,k+k,)(2,k+,1)(2,k+,2),=,(,k+,1)(,k+,2),(,k+k,),=,(,k+,1)(,k+,2),(,k+k,)2(2,k+,1),所以多乘了,2(2,k+,1),.,答案,:,B,28/30,1,2,3,4,5,4,.,用数学归纳法证实,“5,n,-,2,n,能被,3,整除,”,第二步中,当,n=k+,1,时,为了使用归纳假设应将,5,k+,1,-,2,k+,1,变形为,.,解析,:,假设当,n=k,(,k,N,+,k,1),时,5,k,-,2,k,能被,3,整除,则当,n=k+,1,时,5,k+,1,-,2,k+,1,=,5(5,k,-,2,k,),+,32,k,.,由假设知,5,k,-,2,k,能被,3,整除,又,32,k,能被,3,整除,故,5(5,k,-,2,k,),+,32,k,能被,3,整除,.,答案,:,5(5,k,-,2,k,),+,32,k,29/30,1,2,3,4,5,30/30,
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