高考数学复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及应用举例文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT.pptx

,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第三节平面向量数量积及应用举例,1/37,总纲目录,教材研读,1.,平面向量数量积,考点突破,2.,向量数量积性质,3.,向量数量积运算律,考点二平面向量数量积应用,考点一平面向量数量积运算,考点三平面向量与三角函数综合问题,4.,平面向量数量积坐标表示,2/37,1.平面向量数量积,(1)向量,a,与,b,夹角:已知两个非零向量,a,b,过,O,点作,=,a,=,b,则,AOB,=,(0,180,)叫做向量,a,与,b,夹角.,当,=90,时,a,与,b,垂直,记作,a,b,;,当,=0,时,a,与,b,同向;,当,=180,时,a,与,b,反向.,(2),a,与,b,数量积,已知两个非零向量,a,和,b,它们夹角为,则把数量|,a,|,b,|cos,叫做,a,和,b,数量积(或内积),记作,a,b,=,|,a,|,b,|cos,.,教材研读,3/37,(3)要求0,a,=0.,(4)一个向量在另一个向量方向上投影,设,是,a,与,b,夹角,则|,a,|cos,叫做,a,在,b,方向上投影,|,b,|cos,叫做,b,在,a,方向上投影.,b,在,a,方向上投影是一个实数,而不是向量.,(5),a,b,几何意义,a,b,等于,a,长度|,a,|与,b,在,a,方向上投影|,b,|cos,乘积.,4/37,2.向量数量积性质,设,a,、,b,都是非零向量,e,是与,b,方向相同单位向量,是,a,与,e,夹角,则,(1),e,a,=,a,e,=|,a,|cos,.,(2),a,b,a,b,=0,.,(3)当,a,与,b,同向时,a,b,=|,a,|,b,|.,当,a,与,b,反向时,a,b,=-|,a,|,b,|.,尤其地,a,a,=|,a,|,2,.,(4)cos,=,.,(5)|,a,b,|,|,a,|,b,|.,5/37,3.向量数量积运算律,(1),a,b,=,b,a,.,(2)(,a,),b,=,(,a,b,)=,a,(,b,)(,R).,(3)(,a,+,b,),c,=,a,c,+,b,c,.,6/37,4.平面向量数量积坐标表示,(1)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,(2)若,a,=(,x,y,),则,a,a,=,a,2,=|,a,|,2,=,x,2,+,y,2,|,a,|=,.,(3)若,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则|,|=,这就是平面内,两点间距离公式.,(4)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),a,b,为非零向量,则,a,b,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,.,7/37,1.已知|,a,|=5,|,b,|=4,a,与,b,夹角为120,则,a,b,为,(),A.10,B.-10,C.10D.-10,D,答案,D,a,b,=|,a,|,b,|cos 120,=5,4,cos 120,=20,=-10.故选D.,8/37,2.已知|,a,|=2,|,b,|=6,a,b,=-6,则,a,与,b,夹角,为,(),A.,B.,C.,D.,D,答案,Dcos,=,=,=-,.,又因为0,所以,=,故选D.,9/37,3.设,a,=(5,-7),b,=(-6,t,),若,a,b,=-2,则,t,值为,(),A.-4B.4C.,D.-,A,答案,A由,a,b,=-2得,5,(-6)+(-7),t,=-2,-7,t,=28,所以,t,=-4,故选A.,10/37,4.在边长为1等边,ABC,中,设,=,a,=,b,=,c,则,a,b,+,b,c,+,c,a,=,(),A.-,B.0C.,D.3,答案,A依题意有,a,b,+,b,c,+,c,a,=,+,+,=-,故选A.,A,11/37,5.(课标全国,13,5分)已知向量,a,=(-2,3),b,=(3,m,),且,a,b,则,m,=,.,2,答案,2,解析,a,b,a,b,=0,又,a,=(-2,3),b,=(3,m,),-6+3,m,=0,解得,m,=2.,12/37,6.已知平面向量,a,b,夹角为,|,a,|=2,|,b,|=1,则|,a,+,b,|=,.,答案,解析,|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+2,a,b,+|,b,|,2,=4+2|,a,|,b,|cos,+1=4-2+1=3,|,a,+,b,|=,.,13/37,典例1,(1)设四边形,ABCD,为平行四边形,|,|=6,|,|=4.若点,M,N,满足,=3,=2,则,=,(),A.20B.15,C.9D.6,(2)(课标全国,12,5分)已知,ABC,是边长为2等边三角形,P,为平,面,ABC,内一点,则,(,+,)最小值是(),A.-2B.-,C.-,D.-1,考点一平面向量数量积运算,考点突破,14/37,答案,(1)C(2)B,解析,(1)依题意有,=,+,=,+,=,+,=,-,=,-,所以,=,=,-,=9.故,选C.,(2)以,AB,所在直线为,x,轴,AB,中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则,A,(-1,0),B,(1,0),C,(0,),设,P,(,x,y,),取,BC,中点,D,则,D,.,15/37,(,+,)=2,=2(-1-,x,-,y,),=2,=2,.,所以,当,x,=-,y,=,时,(,+,)取得最小值,为2,=-,故选B.,16/37,方法技巧,向量数量积两种运算方法,方法,利用提醒,适用题型,定,义,法,当已知向量模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos,适适用于平面图形中向量数量积相关计算问题,坐,标,法,当已知向量坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2,适适用于已知对应向量坐标求解数量积相关计算问题,17/37,1-1,(陕西西安八校联考)已知点,A,(-1,1),B,(1,2),C,(-2,-1),D,(3,4),则,向量,在,方向上投影是,(),A.-3,B.-,C.3,D.,答案,A依题意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,|,|,=,所以向量,在,方向上投影是,=,=-3,故选A.,A,18/37,1-2,已知,ABC,是边长为1等边三角形,点,D,E,分别是边,AB,BC,中,点,连接,DE,并延长到点,F,使得,DE,=2,EF,则,值为,(),A.-,B.,C.,D.,B,答案,B建立如图所表示平面直角坐标系.,19/37,所以,=,所以,=,(1,0)=,.故选B.,则,B,C,A,所以,=(1,0).,易知,DE,=,AC,FEC,=,ACE,=60,则,EF,=,AC,=,所以点,F,坐标为,20/37,考点二平面向量数量积应用,命题方向,命题视角,平面向量模问题,求平面向量模或已知模求解问题,平面向量夹角问题,求两向量夹角或已知夹角求参数,平面向量垂直问题,利用两向量垂直条件求参数,21/37,典例2,(1)(河南郑州质检)已知平面向量,a,与,b,夹角等于,若|,a,|=,2,|,b,|=3,则|2,a,-3,b,|=,(),A.,B.,C.57D.61,(2)在平面直角坐标系中,O,为原点,A,(-1,0),B,(0,),C,(3,0),动点,D,满足|,|=1,则|,+,+,|最大值是,.,命题方向一平面向量模问题,22/37,答案,(1)B(2),+1,解析,(1)由题意可得,a,b,=|,a,|,b,|cos,=3,所以|2,a,-3,b,|=,=,故选B.,(2)设,D,(,x,y,),由,=(,x,-3,y,)及|,|=1,知(,x,-3),2,+,y,2,=1,即动点,D,轨迹是以点,C,为圆心单位圆.,又,+,+,=(-1,0)+(0,)+(,x,y,),=(,x,-1,y,+,),|,+,+,|=.,问题转化为圆(,x,-3),2,+,y,2,=1上点与点,P,(1,-,)间距离最大值.,圆心,C,(3,0)与点,P,(1,-,)之间距离为=,故最大值为,+1.,即|,+,+,|最大值是,+1.,23/37,典例3,(1)(课标全国,3,5分)已知向量,=,=,则,ABC,=,(),A.30,B.45,C.60,D.120,(2)已知向量,a,=(1,),b,=(3,m,).若向量,a,b,夹角为,则实数,m,=,(),A.2,B.,C.0D.-,命题方向二平面向量夹角问题,24/37,答案,(1)A(2)B,解析,(1)cos,ABC,=,=,向量间夹角取值范围是0,所以,ABC,=30,故选A.,(2),a,=(1,),b,=(3,m,),|,a,|=2,|,b,|=,a,b,=3+,m,又,a,b,夹角为,=cos,即,=,+,m,=,解得,m,=,.,25/37,典例4,(1),ABC,是边长为2等边三角形,已知向量,a,b,满足,=2,a,=2,a,+,b,则以下结论正确是,(),A.|,b,|=1B.,a,b,C.,a,b,=1D.(4,a,+,b,),(2)已知向量,a,=(,k,3),b,=(1,4),c,=(2,1),且(2,a,-3,b,),c,则实数,k,=,(),A.-,B.0C.3D.,命题方向三平面向量垂直问题,26/37,答案,(1)D(2)C,解析,(1),b,=,-,=,|,b,|=|,|=2,故A错;,=2,2,cos 60,=,2,即-2,a,b,=2,a,b,=-1,故B、C都错;(4,a,+,b,),=(4,a,+,b,),b,=4,a,b,+,b,2,=-4+4,=0,(4,a,+,b,),故选D.,(2)2,a,-3,b,=(2,k,-3,-6),由(2,a,-3,b,),c,得(2,a,-3,b,),c,=0,即4,k,-6-6=0,解得,k,=3.选C.,27/37,规律总结,平面向量数量积求解问题策略,(1)求两向量夹角:cos,=,要注意0,.,(2)两向量垂直应用:,a,b,a,b,=0,|,a,-,b,|=|,a,+,b,|.,(3)求向量模:利用数量积求解长度问题处理方法有,a,2,=,a,a,=|,a,|,2,或|,a,|=,.,|,a,b,|=,.,若,a,=(,x,y,),则|,a,|=.,28/37,2-1(课标全国理,13,5分)已知向量,a,b,夹角为60,|,a,|=2,|,b,|=1,则|,a,+2,b,|=,.,答案,2,解析,由题意知,a,b,=|,a,|,b,|cos 60,=2,1,=1,则|,a,+2,b,|,2,=(,a,+2,b,),2,=|,a,|,2,+4|,b,|,2,+4,a,b,=4+4+4=12.,所以|,a,+2,b,|=2,.,29/37,2-2,(课标全国,13,5分)已知向量,a,=(-1,2),b,=(,m,1).若向量,a,+,b,与,a,垂直,则,m,=,.,7,答案,7,解析,a,=(-1,2),b,=(,m,1),a,+,b,=(,m,-1,3),又(,a,+,b,),a,(,a,+,b,),a,=-(,m,-1)+6=0,解得,m,=7.,30/37,2-3,若向量,a,=(,k,3),b,=(1,4),c,=(2,1),已知2,a,-3,b,与,c,夹角为钝角,则,k,取值范围是,.,31/37,答案,解析,2,a,-3,b,与,c,夹角为钝角,(2,a,-3,b,),c,0,即(2,k,-3,-6)(2,1)0,4,k,-6-60,k,3.,又若(2,a,-3,b,),c,则2,k,-3=-12,即,k,=-,.,当,k,=-,时,2,a,-3,b,=(-12,-6)=-6,c,即2,a,-3,b,与,c,反向.,综上,k,取值范围为,.,32/37,典例5,已知向量,a,=(cos,x,sin,x,),b,=(3,-,),x,0,.,(1)若,a,b,求,x,值;,(2)记,f,(,x,)=,a,b,求,f,(,x,)最大值和最小值以及对应,x,值.,考点三平面向量与三角函数综合问题,33/37,解析,(1)因为,a,=(cos,x,sin,x,),b,=(3,-,),a,b,所以-,cos,x,=3sin,x,.,若cos,x,=0,则sin,x,=0,与sin,2,x,+cos,2,x,=1矛盾,故cos,x,0.,于是tan,x,=-,.,又,x,0,所以,x,=,.,(2),f,(,x,)=,a,b,=(cos,x,sin,x,)(3,-,)=3cos,x,-,sin,x,=2,cos,.,因为,x,0,所以,x,+,从而-1,cos,.,于是,当,x,+,=,即,x,=0时,f,(,x,)取到最大值3;,当,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)取到最小值-2,.,34/37,规律总结,平面向量与三角函数综合问题解题思绪,(1)题目条件给出向量坐标中含有三角函数形式,先利用向量共线,或垂直或等式成立等,得到三角函数关系式,然后求解.,(2)给出用三角函数表示向量坐标,要求是向量模或者其它向量,表示形式,解题思绪是经过向量运算,利用三角函数在定义域内,有界性,求得值域等.,35/37,3-1,已知向量,m,=(sin,-2,-cos,),n,=(-sin,cos,),其中,R.,(1)若,m,n,求,;,(2)若|,m,-,n,|=,求cos 2,值.,解析,(1)若,m,n,则,m,n,=0,即-sin,(sin,-2)-cos,2,=0,即sin,=,可得,=2,k,+,或,=2,k,+,k,Z.,(2)若|,m,-,n,|=,即有(,m,-,n,),2,=2,即(2sin,-2),2,+(-2cos,),2,=2,36/37,即4sin,2,+4-8sin,+4cos,2,=2,即有8-8sin,=2,可得sin,=,所以cos 2,=1-2sin,2,=1-2,=-,.,37/37,