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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第三节二项式定理,1/27,总纲目录,教材研读,1.,二项式定理,考点突破,2.二项式系数性质,考点二二项式系数问题与各项系数和问题,考点一二项展开式中特定项和特定项系数,考点三多项式展开式中特定项系数问题,2/27,教材研读,1.二项式定理,二项式定理,(,a,+,b,),n,=,a,n,+,a,n,-1,b,1,+,+,a,n,-,r,b,r,+,+,b,n,(,n,N,*,),二项式系数,二项展开式中各项二项式系数:(r=0,1,n),二项展开,式通项,T,r+1,=,a,n-r,b,r,它表示第,(r+1),项,3/27,2.二项式系数性质,4/27,1.已知,展开式第4项等于5,则,x,等于,(,),A.,B.-,C.7D.-7,B,答案,B由,T,4,=,x,4,=5得,x,=-,故选B.,B,5/27,2.已知(2-,x,),10,=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,+,a,10,x,10,则,a,8,=(),A.180B.-180C.45D.-45,A,答案,A由题意得,a,8,=,2,2,(-1),8,=180,故选A.,B,6/27,D,3.(北京海淀二模,2),展开式第二项是(),A.6,x,4,B.-6,x,4,C.12,x,4,D.-12,x,4,答案,D展开式中第二项为,T,2,=,x,5,=-12,x,4,故选D.,B,7/27,4.(北京石景山期末,9)在(,x,-3),7,展开式中,x,5,系数是,(结,果用数值表示).,答案,189,189,解析,因为(,x,-3),7,展开式通项公式为,T,r,+1,=,x,7-,r,(-3),r,当,r,=2时,T,3,=,x,5,(-3),2,=189,x,5,.,所以(,x,-3),7,展开式中,x,5,系数为189.,B,8/27,答案,40,40,5.(北京东城一模,10)在,展开式中,常数项为,.(用,数字作答),解析,展开式通项为,T,r,+1,=,(,x,2,),5-,r,=,2,r,x,10-5,r,令10-5,r,=0,则,r,=2,故,常数项为,2,2,=40.,B,9/27,6.(北京海淀高三期末,12)已知(5,x,-1),n,展开式中,各项系数和与,各项二项式系数和之比为641,则,n,=,.,答案,6,6,解析,由题意得,=2,n,=64,所以,n,=6.,B,10/27,考点一二项展开式中特定项和特定项系数,考点突破,典例1,(1),展开式中,常数项值是,(),A.240B.60C.192D.180,(2)在,展开式中,含,x,3,项系数为,.(用数字作答),11/27,答案,(1)A(2)20,解析,(1),T,r,+1,=,(2,x,),6-,r,=2,6-,r,x,6-3,r,令6-3,r,=0,解得,r,=2,常数项值,是2,4,=2,4,=240.,(2),T,r,+1,=,(2,x,),5-,r,=,2,5-3,r,x,5-2,r,令5-2,r,=3,则,r,=1,所以含,x,3,项系数为,2,2,=20.,12/27,易错警示,应用通项公式要注意五点:(1),T,r,+1,=,a,n,-,r,b,r,表示二项展开式任意项,只,要,n,与,r,确定,该项就随之确定;(2),T,r,+1,是展开式中第,r,+1项,而不是第,r,项;,(3)公式中,a,b,指数和为,n,;(4)要将通项中系数和字母分离开,方便于,处理问题;(5)关于(,a,-,b,),n,展开式通项公式,要尤其注意符号问题.,13/27,1-1,展开式中含x,4,项系数是,(用数字作答).,答案,10,10,解析,展开式通项为,T,r,+1,=,(,x,2,),5-,r,=,x,10-2,r,x,-,r,=,x,10-3,r,令,10-3,r,=4,得,r,=2,含,x,4,项系数为,=10.,B,14/27,考点二二项式系数问题与各项系数和问题,典例2,(1)设,m,为正整数,(,x,+,y,),2,m,展开式二项式系数最大值为,a,(,x,+,y,),2,m,+1,展开式二项式系数最大值为,b,.若13,a,=7,b,则,m,=,(),A.5B.6C.7D.8,(2)已知(2,x,-1),6,=,a,6,x,6,+,a,5,x,5,+,+,a,1,x,+,a,0,则,a,3,=,.,15/27,答案,(1)B(2)-160,解析,(1)由题意得,a,=,b,=,则13,=7,=,=13,解得,m,=6,经检验,m,=6为原方程解,故选B.,(2)由题意得,a,3,为(2,x,-1),6,展开式中含,x,3,项系数,展开式通项为,T,r,+1,=,(2,x,),6-,r,(-1),r,=(-1),r,2,6-,r,x,6-,r,令6-,r,=3,得,r,=3,所以,a,3,=(-1),3,2,6-3,=-160.,16/27,规律总结,(1)对形如(,ax,+,b,),n,(,a,b,R)式子求其展开式各项系数之和,惯用赋值法,只需令,x,=1即可.,(2)对形如(,ax,+,by,),n,(,a,b,R)式子求其展开式各项系数之和,只需令,x,=,y,=1即可.,(3)普通地,对于多项式(,a,+,bx,),n,=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,+,a,n,x,n,令,g,(,x,)=(,a,+,bx,),n,则,(,a,+,bx,),n,展开式中各项系数和为,g,(1),(,a,+,bx,),n,展开式中奇数项系数和为,g,(1)+,g,(-1),(,a,+,bx,),n,展开式中偶数项系数和为,g,(1)-,g,(-1).,17/27,2-1(北京,10,5分)在(1-2,x,),6,展开式中,x,2,系数为,.(用,数字作答),答案,60,60,解析,T,r,+1,=,1,6-,r,(-2,x,),r,=(-2),r,x,r,令,r,=2,得,T,3,=(-2),2,x,2,=60,x,2,.故,x,2,系数为60.,B,18/27,2-2已知,展开式中各项二项式系数和是16,则,n,=,展开式中常数项是,.,答案,4;24,4,24,解析,由题意得2,n,=16,n,=4,则展开式通项为,T,r,+1,=,2,r,x,4-2,r,令4-2,r,=0,得,r,=2,展开式中常数项为,2,2,=24.,B,19/27,考点三多项式展开式中特定项系数问题,命题方向一几个二项式和展开式中特定项系数问题,典例3,+,展开式中常数项为,(),A.32B.34,C.36D.38,D,20/27,答案,D,解析,展开式通项为,T,k,+1,=,(,x,3,),4-,k,=,(-2),k,x,12-4,k,令12-,4,k,=0,解得,k,=3.,展开式通项为,T,r,+1,=,x,8-,r,=,x,8-2,r,令8-2,r,=0,得,r,=4.,所以所求展开式中常数项为,(-2),3,+,=38.,21/27,命题方向二几个二项式积展开式中特定项系数问题,典例4,(1),(1+,x,),6,展开式中,x,2,系数为,(),A.15B.20,C.30D.35,(2)(,a,+,x,)(1+,x,),4,展开式中,x,奇数次幂项系数之和为32,则,a,=,.,22/27,答案,(1)C(2)3,解析,(1)对于,(1+,x,),6,若要得到,x,2,项,能够在,中选取1,此时,(1+,x,),6,中要选取含,x,2,项,则系数为,;当在,中选取,时,(1+,x,),6,中,要选取含,x,4,项,即系数为,所以,展开式中,x,2,项系数为,+,=30,故,选C.,(2)设,f,(,x,)=(,a,+,x,)(1+,x,),4,则其展开式中全部项系数和为,f,(1)=(,a,+1)(1+1),4,=(,a,+1),16,奇数次幂项系数和为,f,(1)-,f,(-1),又,f,(-1)=0,(,a,+1),16=32,a,=3.,23/27,命题方向三三项展开式中特定项系数问题,典例5,(1)(,x,2,+,x,+,y,),5,展开式中,x,5,y,2,系数为(),A.10B.20C.30D.60,(2)(1-,x,-5,y,),5,展开式中不含,x,项系数和为,(结果化成最简形,式).,24/27,答案,(1)C(2)-1 024,解析,(1)(,x,2,+,x,+,y,),5,=(,x,2,+,x,)+,y,5,展开式中只有,(,x,2,+,x,),3,y,2,中含,x,5,y,2,易知,x,5,y,2,系数为,=30,故选C.,(2)(1-,x,-5,y,),5,展开式中不含,x,项系数和等于(1-5,y,),5,展开式各项,系数和,在(1-5,y,),5,中,令,y,=1,得其展开式各项系数和为(-4),5,=-1 024,所以,(1-,x,-5,y,),5,展开式中不含,x,项系数和为-1 024.,25/27,规律总结,(1)对于几个二项式和展开式中特定项系数问题,只需依据二项展,开式通项,从对应各项中分别得到所含特定项系数,再求和即可.,(2)对于几个二项式积展开式中特定项系数问题,普通能够依据因,式连乘规律,结合组合思想求解,但要注意适当地利用分类方法,以免,重复或遗漏.,(3)对于三项展开式中特定项系数问题,可经过配方或适当分组,转化,为二项展开式问题求解.,26/27,3-1(北京东城期中,9)在(1-,x,),5,-(1-,x,),6,展开式中,含x,3,项系数,是,.,答案,10,10,解析,(1-,x,),5,-(1-,x,),6,展开式中含,x,3,项系数分别为,(-1),3,-,(-1),3,故所,求系数为,(-1),3,-,(-1),3,=-10-(-20)=10.,B,27/27,
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