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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第二节函数单调性与最值,1/34,总纲目录,教材研读,1.,函数单调性,考点突破,2.,函数最值,考点二求函数单调区间,考点一函数单调性判断,考点三函数单调性应用,2/34,1.函数单调性,(1)单调函数定义,教材研读,增函数,减函数,定义,普通地,设函数f(x)定义域为I,假如对于定义域I,内某个区间D上任意两个自变量值x1,x2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调增函数,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调减函数,图象,描述,自左向右看图象是上升,自左向右看图象是下降,3/34,(2)单调区间定义,若函数,f,(,x,)在区间,D,上是,单调增函数,或,减函数,则称函数,f,(,x,)在这一区间上含有(严格)单调性,区间,D,叫做,y,=,f,(,x,)单调区间.,(3)判断函数单调性方法,(i)定义法:利用定义判断.,(ii)利用函数性质:如,若,y,=,f,(,x,)、,y,=,g,(,x,)为增函数,则,a.,y,=,f,(,x,)+,g,(,x,)为增函数;,b.,y,=,为减函数(,f,(,x,)0);,c.,y,=,为增函数(,f,(,x,),0);,d.,y,=,f,(,x,),g,(,x,)为增函数(,f,(,x,)0,g,(,x,)0);,e.,y,=-,f,(,x,)为减函数.,4/34,(iii)利用复合函数关系判断单调性,法则是“同增异减”,即若两个简单函数单调性相同,则这两个函数,复合函数为增函数;若两个简单函数单调性相反,则这两个函数,复合函数为减函数.,(iv)图象法,(v)导数法,5/34,2.函数最值,前提,设函数y=f(x)定义域为I,假如存在实数M满足,条件,(1)对于任意xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M,(1)对于任意xI,都有f(x)M;,(2)存在x0I,使得f(x0)=M,结论,M为函数y=f(x)最大值,M为函数y=f(x)最小值,6/34,1.(北京,2,5分)以下函数中,定义域是R且为增函数是,(),A.,y,=e,-,x,B.,y,=,x,3,C.,y,=ln,x,D.,y,=|,x,|,答案,B,y,=e,-,x,在R上为减函数;,y,=,x,3,是定义域为R增函数;,y,=ln,x,定,义域为(0,+,);,y,=|,x,|在R上不单调,故选B.,B,7/34,2.函数,y,=,x,2,-6,x,+10在区间(2,4)上,(),A.递减B.递增,C.先递减后递增D.先递增后递减,答案,C函数,y,=,x,2,-6,x,+10图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直,线,x,=3,函数,y,=,x,2,-6,x,+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.,C,8/34,3.(北京东城(上)期中)已知函数,y,=,那么,(),A.函数单调递减区间为(-,1),(1,+,),B.函数单调递减区间为(-,1),(1,+,),C.函数单调递增区间为(-,1),(1,+,),D.函数单调递增区间为(-,1),(1,+,),9/34,3.(北京东城(上)期中)已知函数,y,=,那么,(),A.函数单调递减区间为(-,1),(1,+,),B.函数单调递减区间为(-,1),(1,+,),C.函数单调递增区间为(-,1),(1,+,),D.函数单调递增区间为(-,1),(1,+,),答案,A函数,y,=,图象可看作,y,=,图象向右平移1个单位得到,y,=,在(-,0)和(0,+,)上单调递减,y,=,在(-,1)和(1,+,)上,单调递减,故选A.,A,10/34,4.若函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在R上是减函数,则,k,取值范围是,.,答案,解析,因为函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在R上是减函数,所以2,k,+10,即,k,-,.,11/34,5.若函数,f,(,x,)满足“对任意,x,1,x,2,R,当,x,1,f,(,x,2,)”,则满足,f,(2,x,-1),f,(1)实数,x,取值范围为,.,答案,(1,+,),解析,由题意知,函数,f,(,x,)在定义域内为减函数,f,(2,x,-1)1,即,x,1,x,取值范围为(1,+,).,(1,+),12/34,6.(北京,13,5分)函数,f,(,x,)=,值域为,.,答案,(-,2),解析,x,1时,f,(,x,)=lo,x,是单调递减,此时,函数值域为(-,0;,x,1时,f,(,x,)=2,x,是单调递增,此时,函数值域为(0,2).,综上,f,(,x,)值域是(-,2).,(-,2),13/34,典例1,(1)以下四个函数中,在(0,+,)上为增函数是,(),考点一函数单调性判断,考点突破,A.,f,(,x,)=3-,x,B.,f,(,x,)=,x,2,-3,x,C.,f,(,x,)=-,D.,f,(,x,)=-|,x,|,(2)设函数,f,(,x,)=,g,(,x,)=,x,2,f,(,x,-1),则函数,g,(,x,)递减区间是,.,答案,(1)C(2)0,1),14/34,解析,(1),f,(,x,)=3-,x,在(0,+,)上为减函数;当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为减函,数,当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为增函数;,f,(,x,)=-,在(0,+,)上为增函数;,f,(,x,)=-|,x,|在(0,+,)上为减函数.,(2)由题意知,g,(,x,)=,函数图象如图所表示,其递减区间是0,1).,15/34,1-1,(北京,4,5分)以下函数中,在区间(-1,1)上为减函数是,(),A.,y,=,B.,y,=cos,x,C.,y,=ln(,x,+1)D.,y,=2,-,x,答案,D选项A中,y,=,=,图象是将,y,=-,图象向右平移1,个单位得到,故,y,=,在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y,=cos,x,在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y,=ln(,x,+,1)图象是将,y,=ln,x,图象向左平移1个单位得到,故,y,=ln(,x,+1)在(-1,1),上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.,D,16/34,典例2,(1)函数,f,(,x,)=max,x,2,-,x,1-,x,2,单调增区间是,(),A.,1,+,)B.,0,1,C.,D.0,1,(2)函数,y,=,单调递增区间为,单调递减区间为,.,考点二求函数单调区间,答案,(1)A(2)2,+,);(-,-3,17/34,解析,(1)令,x,2,-,x,=1-,x,2,得,x,=-,或,x,=1.,当,x,1时,f,(,x,)=,x,2,-,x,;,当-,x,1时,f,(,x,)=1-,x,2,f,(,x,)=,画出函数,f,(,x,)图象,如图.,18/34,观察图象得单调增区间为,和1,+,).,故选A.,(2)令,u,=,x,2,+,x,-6,则,y,=,能够看作是由,y,=,与,u,=,x,2,+,x,-6复合而成,函数.,令,u,=,x,2,+,x,-6,0,得,x,-3或,x,2.,19/34,u,=,x,2,+,x,-6在(-,-3上是减函数,在2,+,)上是增函数,而,y,=,在0,+,)上是增函数,y,=,单调减区间为(-,-3,单调增区间为2,+,).,20/34,方法技巧,1.函数单调性与“区间”紧密相关,函数单调区间是函数定义域,子集,所以要求函数单调区间,必须先求出函数定义域.,2.由图象确定函数单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下,降段)函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用,“,”连接.,3.利用复合函数“同增异减”标准时,需先确定对应各函数单调性.,21/34,2-1,函数,f,(,x,)=|,x,-2|,x,单调减区间是,(),A.1,2B.-1,0,C.0,2D.2,+,),22/34,2-1,函数,f,(,x,)=|,x,-2|,x,单调减区间是,(),A.1,2B.-1,0,C.0,2D.2,+,),答案,A,f,(,x,)=|,x,-2|,x,=,结合图象(图略)可知函数单调减,区间是1,2,故选A.,A,23/34,2-2,函数,f,(,x,)=lo,(,x,2,-4)单调递增区间为,(),A.(0,+,)B.(-,0),C.(2,+,)D.(-,-2),答案,D由,x,2,-40得,x,2.,易知,u,=,x,2,-4在(-,-2)上为减函数,在(2,+,)上为增函数,y,=lo,u,为减函数,故,f,(,x,)单调递增区间为(-,-2).,D,24/34,考点三函数单调性应用,命题角度一比较大小,典例3,已知函数,f,(,x,)是定义在R上偶函数,且在0,+,)上是减函数,则,以下各式一定成立是,(),A.,f,(0),f,(2),C.,f,(-1),f,(3)D.,f,(-2),f,(-3),C,25/34,答案,C,解析,因为,f,(,x,)是R上偶函数,所以,f,(-,x,)=,f,(,x,)=,f,(|,x,|),又,f,(,x,)在0,+,)上是减函数,所以,f,(6),f,(|-3|),f,(|-2|),f,(|-1|),f,(,a,+3),则实数,a,取值,范围是,.,答案,(-3,-1),(3,+,),解析,由已知可得,解得-3,a,3,所以实数,a,取值范,围是(-3,-1),(3,+,).,(-3,-1)(3,+),27/34,命题角度三求参数,典例5,(北京朝阳期末)已知函数,f,(,x,)=,在(-,+,)上,含有单调性,则实数,m,取值范围是,.,(1,答案,(1,解析,易知,m,=0不符合题意.,由题意得,或,解得10恒成立,试求实数,a,取值范围.,29/34,解析,(1)当,a,=,时,f,(,x,)=,x,+,+2,易知其在1,+,)上是增函数,f,(,x,)在1,+,)上最小值为,f,(1)=,.,(2)在区间1,+,)上,f,(,x,)=,0恒成立,x,2,+2,x,+,a,0在1,+,)上恒成立.,令,g,(,x,)=,x,2,+2,x,+,a,x,1,+,).,g,(,x,)=(,x,+1),2,+,a,-1在1,+,)上是增函数,g,(,x,)在1,+,)上最小值为,g,(1)=3+,a,.,3+,a,0,即,a,-3.,30/34,方法技巧,函数单调性应用解题技巧,函数单调性应用比较广泛,主要用来比较函数值大小、解函数不等,式、求相关参数范围、求函数最值等.,(1)比较两个函数值大小,若,f,(,x,)在给定区间,A,上是递增,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,);若,f,(,x,)在给定区间,A,上是递减,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,f,(,x,2,).若给定,两个自变量在同一单调区间上,可直接比较大小,不然,要先依据奇偶,性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较大小.,(2)利用函数单调性解函数不等式,解函数不等式关键是利用函数单调性去掉函数符号“,f,”,变函数,31/34,不等式为普通不等式.去掉“,f,”时,要注意,f,(,x,)定义域限制.,(3)利用函数单调性求参数取值范围,依据函数单调性定义,对给定区间内任意两个不相等自变量对应,函数值作差(满足函数关系式自变量必须在定义域内,这是一个容,易被忽略问题),经过结构关于参数不等式进行求解.在求抽象函数,中参数范围时,往往是利用函数单调性将符号“,f,”去掉,得到关于,参数不等式.,(4)利用函数单调性求解函数最值,步骤:判断函数单调性;计算端点处函数值;确定最大值和最,小值.,32/34,3-1,(北京朝阳二模)设函数,f,(,x,)=,(,a,0且,a,1)最大,值为1,则实数,a,取值范围是,(),A.,B.(0,1),C.,D.(1,+,),答案,A当,x,2时,f,(,x,)=,x,-1单调递增,f,(,x,),max,=,f,(2)=1.,由题意知当,x,2时,f,(,x,)=2+log,a,x,必为减函数,解得,a,1.,a,取值范围是,.,A,33/34,3-2,(北京朝阳二模)设函数,f,(,x,)=,则,f,(1)=,;若,f,(,x,)在其定义域内为单调递增函数,则实数,a,取值范围是,.,答案,2;(-,1,解析,易得,f,(1)=1+1=2.,由,f,(,x,)在其定义域内为单调递增函数,知,f,(,x,)在(0,+,)和(-,0上均为增函数,且满足0,3,+,a,0+1,解得,a,1.,34/34,
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