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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节,一、有向曲面及曲面元素投影,二、对坐标曲面积分概念与性质,三、对坐标曲面积分计算法,四、两类曲面积分联络,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标曲面积分,第十章,第1页,一、有向曲面及曲面元素投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面经典),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,其方向用,法向量指向,方向余弦,0 为前侧,0 为右侧,0 为上侧,0 为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧要求,指定了侧曲面叫,有向曲面,表示:,其面元,在,xoy,面上投影记为,面积为,则要求,类似可要求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,二、对坐标曲面积分概念与性质,1.引例,设稳定流动不可压缩流体速度场为,求单位时间流过有向曲面,流量.,分析:,若,是面积为,S,平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,对普通,有向曲面,用,“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动不可压缩流体,速度场,进行分析可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,设,为光滑有向曲面,在,上定义了一个,意分割,和在局部面元上,任意取点,分,记作,P,Q,R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或,第二类曲面积分,.,以下极限都存在,向量场,若对,任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上,对坐标曲面积,2.定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,引例中,流过有向曲面,流体流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,曲面积分;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,曲面积分.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,曲面积分;,若记,正侧,单位法向量为,令,则对坐标曲面积分也常写成以下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用,表示,反向曲面,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,三、对坐标曲面积分计算法,定理:,设光滑曲面,取上侧,是,上连续函数,则,证:,取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,假如积分曲面,取下侧,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,例1.,计算,其中,是以原点为中心,边长为,a,正立方,体整个表面,外侧.,解:,利用对称性.,原式,顶部,取上侧,底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,解:,把,分为上下两部分,依据对称性,思索:,下述解法是否正确:,例2.,计算曲面积分,其中,为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,例3.,设,S,是球面,外侧,计算,解:,利用,轮换对称性,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,四、两类曲面积分联络,曲面方向使用方法向量方向余弦刻画,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,令,向量形式,(,A,在,n,上投影,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,例4.,位于原点电量为,q,点电荷产生电场为,解,:,。,求,E,经过球面,:,r=R,外侧电通量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,例5.,设,是其外法线与,z,轴正向,夹成锐角,计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例6.,计算曲面积分,其中,解:,利用两类曲面积分联络,有,原式=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z=,2 之间部分下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联络,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,性质:,联络:,思索:,方向相关,上述联络公式是否矛盾?,两类曲线积分定义一个与,方向无关,一个与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,2.惯用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程,(方程不一样时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注,：,二重积分是第一类曲面积分特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“,”),类似可考虑在,yoz,面及,zox,面上二重积分转化公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,思索与练习,1.P167,题,2,提醒:,设,则,取上侧时,取下侧时,2.P184 题 1,3.P167 题3(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,是平面,在第四卦限部分上侧,计算,提醒:,求出,法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P167 题3(3).,设,作业,P167 3,(1),(2),(4);,4,(1),(2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,备用题,求,取外侧.,解:,注意号,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,利用轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,
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