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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第八节解三角形,1/34,总纲目录,教材研读,2.,实际问题中惯用角,考点突破,3.,解关于解三角形应用题普通步骤,考点二测量高度问题,考点一测量距离问题,考点三测量角度问题,2/34,1.用正弦定理和余弦定了解三角形常见题型:测量距离、高度、角度,问题,计算面积问题等.,教材研读,3/34,2.实际问题中惯用角,(1)仰角和俯角,与目标视线在同一铅垂平面内水平线和目标视线夹角,目标视线在,水平线,上方,角叫仰角,目标视线在水平线,下方,角叫俯,角(如图甲).,4/34,(2)方向角,普通指相对于正北或正南方向水平锐角,如南偏东30,北偏西45,等.,(3)方位角,从,正北,方向顺时针转到目标方向水平角叫做方位角,如点,B,方位角为,(如图乙).,(4)坡角:,坡面与水平面所成锐二面角.,(附:坡度(坡比):坡面铅直高度与水平宽度之比),5/34,3.解关于解三角形应用题普通步骤,(1)了解题意,搞清问题实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间,关系;,(2)依据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;,(3)依据题意选取正弦定理或余弦定理进行求解;,(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中相关单位、近似计算,等要求.,6/34,1.如图所表示,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,距离都等于,a,km,灯塔,A,在观察站,C,北偏东20,方向上,灯塔,B,在观察站,C,南偏东40,方,向上,则灯塔,A,与灯塔,B,距离为,(),A.,a,kmB.,a,km,C.,a,kmD.2,a,km,B,7/34,答案,B在,ABC,中,ACB,=180,-(20,+40,)=120,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,-,2,AC,BC,cos 120,=,a,2,+,a,2,-2,a,2,=3,a,2,AB,=,a,(km),故选B.,8/34,2.(北京东城期末)如图所表示,为了测量湖泊两侧,A,B,间距离,某同,学首先选定了与,A,B,不共线一点,C,然后给出了四种测量方案:(,ABC,角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,),测量,A,C,b,;测量,a,b,C,;测量,A,B,a,;测量,a,b,B,.,则一定能确定,A,B,间距离全部方案序号为,(),A.B.,C.D.,9/34,2.(北京东城期末)如图所表示,为了测量湖泊两侧,A,B,间距离,某同,学首先选定了与,A,B,不共线一点,C,然后给出了四种测量方案:(,ABC,角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,),测量,A,C,b,;测量,a,b,C,;测量,A,B,a,;测量,a,b,B,.,则一定能确定,A,B,间距离全部方案序号为,(),A.B.,C.D.,答案,A对于,由正弦定理可确定,A,B,间距离;对于,由余弦定,理可确定,A,B,间距离;对于,不能确定,A,B,间距离,故选A.,A,10/34,3.如图所表示,D,C,B,三点在地面同一直线上,DC,=,a,从,C,D,两点测得,A,点,仰角分别为60,30,则,A,点离地面高度,AB,等于,(),A.,B.,C.,a,D.,答案,B因为,D,=30,ACB,=60,所以,CAD,=30,故,CA,=,CD,=,a,所以,AB,=,a,sin 60,=,.,B,11/34,4.一船自西向东匀速航行,早晨10时抵达灯塔,P,南偏西75,距灯塔68海,里,M,处,下午2时抵达这座灯塔东南方向,N,处,则此船航行速度,为,海里/小时.,答案,12/34,解析,如图,由题意知,MPN,=75,+45,=120,PNM,=45,.,在,PMN,中,=,MN,=68,=34,海里.,又由,M,到,N,所用时间为14-10=4小时,此船航行速度,v,=,=,海里/小时.,13/34,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面,上,在炮台顶部测得两条船俯角分别为45,和60,而且两条船与炮台,底部所连线成30,角,则两条船相距,m.,14/34,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面,上,在炮台顶部测得两条船俯角分别为45,和60,而且两条船与炮台,底部所连线成30,角,则两条船相距,m.,答案,10,10,15/34,解析,由题意画示意图,如图,OM,=,AO,tan 45,=30(m),ON,=,AO,tan 30,=,30=10,(m),在,MON,中,由余弦定理得,MN,=,=,=10,(m).,16/34,典例1,(1)如图,从气球,A,上测得正前方河流两岸,B,C,俯角分别为,75,30,此时气球高是60 m,则河流宽度,BC,等于,(),A.240(,-1)mB.180(,-1)m,C.120(,-1)mD.30(,+1)m,考点一测量距离问题,考点突破,17/34,(2)如图,某观察站,C,在城,A,南偏西20,方向上,从城,A,出发有一条走向,为南偏东40,公路,在,C,处观察到距离,C,处31 km公路上,B,处有一辆,汽车正沿公路向,A,城驶去,行驶了20 km后抵达,D,处,测得,C,D,两处距离,为21 km,这时此车距离,A,城,千米.,18/34,答案,(1)C(2)15,解析,(1)如图,ACD,=30,ABD,=75,AD,=60 m,在Rt,ACD,中,CD,=,=,=60,m,在Rt,ABD,中,BD,=,=,=,=60(2-,)m,BC,=,CD,-,BD,=60,-60(2-,)=120(,-1)m.,(2)在,BCD,中,BC,=31 km,BD,=20 km,CD,=21 km,由余弦定理得cos,19/34,BDC,=,=,=-,所以cos,ADC,=,所以sin,ADC,=,.,在,ACD,中,CD,=21 km,CAD,=60,所以sin,ACD,=sin(60,+,ADC,)=,+,=,.,由正弦定理得,=,所以,AD,=,=15 km.,20/34,方法技巧,求解距离问题普通步骤,(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;,(2)明确所求距离在哪个三角形中,有几个已知元素;,(3)使用正弦定理、余弦定了解三角形(对于解答题,应作答).,21/34,1-1,设,A,B,两点在河两岸,一测量者在,A,同侧选定一点,C,测出,AC,距离为50 m,ACB,=45,CAB,=105,则能够计算出,A,B,两点间距离,为,(),A.50,mB.50,mC.25,mD.,m,A,22/34,答案,A由题意,易得,B,=30,.由正弦定理,得,=,AB,=,=,=50,(m).,23/34,典例2,(湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平公路上向正西,行驶,到,A,处时测得公路北侧一山顶,D,在西偏北30,方向上,行驶600 m,后抵达,B,处,测得此山顶在西偏北75,方向上,仰角为30,则此山高度,CD,=,m.,考点二测量高度问题,100,24/34,答案,100,解析,依题意有,AB,=600 m,CAB,=30,CBA,=180,-75,=105,DBC,=30,DC,CB,.,ACB,=45,在,ABC,中,由,=,得,=,解得,CB,=300,m,在Rt,BCD,中,CD,=,CB,tan 30,=100,m,则此山高度,CD,为100,m.,25/34,易错警示,处理高度问题注意事项,(1)在处理相关高度问题时,要了解仰角、俯角概念.,(2)在实际问题中,可能会碰到同时研究空间与平面(地面)问题,这时,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这么处理起来既清楚又,不轻易搞错.,(3)普通是把高度问题转化成三角形问题,要注意三角形中边角关,系应用,若是空间问题,则要注意空间图形和平面图形结合.,26/34,2-1,在200米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30,、60,则塔高是,(),A.,米B.,米,C.200,米D.200米,A,27/34,答案,A如图所表示,AB,为山高,CD,为塔高,则由题意知,在Rt,ABC,中,BAC,=30,AB,=200米.,则,AC,=,=,(米).,在,ACD,中,CAD,=60,-30,=30,ACD,=30,ADC,=120,.,由正弦定理得,=,CD,=,=,(米).,28/34,典例3,如图,在一次海上联合作战演练中,红方一艘侦察艇(位于,A,处),发觉在北偏东45,方向,相距12 n mile水面,B,处,有蓝方一艘小艇正以每,小时10 n mile速度沿南偏东75,方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n,mile速度,沿北偏东45,+,方向拦截蓝方小艇.若要在最短时间内,拦截住,求红方侦察艇所需时间和角,正弦值.,考点三测量角度问题,29/34,解析,如图,设红方侦察艇在,C,处拦截住蓝方小艇,且经过时间为,x,小时,则,AC,=14,x,(n mile),BC,=10,x,(n mile),ABC,=120,.,30/34,依据余弦定理得(14,x,),2,=12,2,+(10,x,),2,-240,x,cos 120,解得,x,=2(负值舍去).,故,AC,=28 n mile,BC,=20 n mile.,依据正弦定理得,=,解得sin,=,=,.,所以,要使红方侦察艇在最短时间内拦截住蓝方小艇,则所需要时,间为2小时,角,正弦值为,.,31/34,易错警示,处理测量角度问题注意事项,(1)明确方向角含义;,(2)分析题意,分清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,这是最关,键、最主要一步;,(3)将实际问题转化为可用数学方法处理问题后,注意正、余弦定理,综合利用.,32/34,3-1,如图所表示,位于,A,处信息中心得悉:在其正东方向,相距40海里,B,处有一艘渔船遇险,在原地等候营救.信息中心马上把消息通知在其南,偏西30,相距20海里,C,处乙船,现乙船朝北偏东,方向沿直线前往,B,处救援,求cos,值.,33/34,解析,在,ABC,中,AB,=40海里,AC,=20海里,BAC,=120,由余弦定理,得,BC,2,=,AB,2,+,AC,2,-2,AB,AC,cos 120,=2 800,所以,BC,=20,海里.,由正弦定理,得sin,ACB,=,sin,BAC,=,.,由,BAC,=120,知,ACB,为锐角,故cos,ACB,=,.,故cos,=cos(,ACB,+30,),=cos,ACB,cos 30,-sin,ACB,sin 30,=,.,34/34,
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