高考数学复习第二十一章计数原理21.2二项式定理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),21.2二项式定理,1/30,考点二项式定理,1.,(课标全国理改编,6,5分),(1+,x,),6,展开式中,x,2,系数为,.,五年高考,统一命题省(区、市)卷题组,答案,30,解析,本题考查二项式定理中项系数问题.,对于,(1+,x,),6,若要得到,x,2,项,能够在,中选取1,此时(1+,x,),6,中要选取含,x,2,项,则系数为,;当在,中选取,时,(1+,x,),6,中要选取含,x,4,项,即系数为,所以,展开式中,x,2,项系数为,+,=30.,2/30,2.,(课标全国理改编,4,5分)(,x,+,y,)(2,x,-,y,),5,展开式中,x,3,y,3,系数为,.,答案,40,解析,本题考查二项式定理,求特定项系数.,(2,x,-,y,),5,展开式通项为,T,r,+1,=,(2,x,),5-,r,(-,y,),r,=(-1),r,2,5-,r,x,5-,r,y,r,.其中,x,2,y,3,项系数为(-1),3,2,2,=-40,x,3,y,2,项系数为(-1),2,2,3,=80.于是(,x,+,y,)(2,x,-,y,),5,展开式中,x,3,y,3,系数为-40+80=40.,3.,(山东理,11,5分)已知(1+3,x,),n,展开式中含有,x,2,项系数是54,则,n,=,.,答案,4,解析,本题主要考查二项展开式.,(1+3,x,),n,展开式通项,T,r,+1,=,3,r,x,r,含有,x,2,项系数为,3,2,=54,n,=4.,4.,(浙江,13,5分)已知多项式(,x,+1),3,(,x,+2),2,=,x,5,+,a,1,x,4,+,a,2,x,3,+,a,3,x,2,+,a,4,x,+,a,5,则,a,4,=,a,5,=,.,答案,16;4,3/30,解析,本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.,设(,x,+1),3,=,x,3,+,b,1,x,2,+,b,2,x,+,b,3,(,x,+2),2,=,x,2,+,c,1,x,+,c,2,.,则,a,4,=,b,2,c,2,+,b,3,c,1,=,1,2,2,2,+1,3,2=16,a,5,=,b,3,c,2,=1,3,2,2,=4.,5.,(课标全国理改编,9,5分,0.788)设,m,为正整数,(,x,+,y,),2,m,展开式二项式系数最大值为,a,(,x,+,y,),2,m,+1,展开式二项式系数最大值为,b,.若13,a,=7,b,则,m,=,.,答案,6,解析,由题意得,a,=,b,=,所以13,=7,=,=13,解得,m,=6,经检验为原方程解.,6.,(课标改编,10,5分,0.634)(,x,2,+,x,+,y,),5,展开式中,x,5,y,2,系数为,.,答案,30,解析,(,x,2,+,x,+,y,),5,=(,x,2,+,x,)+,y,5,展开式中只有,(,x,2,+,x,),3,y,2,中含,x,5,y,2,易知,x,5,y,2,系数为,=30.,4/30,7.,(安徽,11,5分),展开式中,x,5,系数是,.(用数字填写答案),答案,35,解析,展开式通项为,T,k,+1,=,(,x,3,),7-,k,x,-,k,=,x,21-4,k,令21-4,k,=5,得,k,=4,则展开式中,x,5,系数为,=35.,8.,(天津理,10,5分),展开式中,x,7,系数为,.(用数字作答),答案,-56,解析,T,r,+1,=,x,16-2,r,(-,x,),-,r,=(-1),-,r,x,16-3,r,令16-3,r,=7,得,r,=3,所以,x,7,系数为(-1),-3,=-56.,易错警示,本题中,展开式通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引发注意.,评析,本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中等题.,9.,(四川理改编,2,5分)设i为虚数单位,则(,x,+i),6,展开式中含,x,4,项为,.,5/30,答案,-15,x,4,解析,T,3,=,x,4,i,2,=-15,x,4,.,易错警示,易误认为i,2,=1而致错.,评析,正确应用二项展开式通项是解题关键.,10.,(重庆,12,5分),展开式中,x,8,系数是,(用数字作答).,答案,解析,二项展开式通项为,T,r,+1,=,(,x,3,),5-,r,=,令15-3,r,-,=8,得,r,=2,于是展开式中,x,8,系数为,=,10=,.,11.,(陕西改编,4,5分)二项式(,x,+1),n,(,n,N,+,)展开式中,x,2,系数为15,则,n,=,.,答案,6,解析,因为(,x,+1),n,展开式中,x,2,系数为,所以,=15,即,=15,亦即,n,2,-,n,=30,解得,n,=6(,n,=-5舍).,6/30,12.,(湖南改编,6,5分)已知,展开式中含,项系数为30,则,a,=,.,答案,-6,解析,展开式通项为,T,r,+1,=,(,),5-,r,=(-,a,),r,.,依题意,令5-2,r,=3,得,r,=1,(-,a,),1,=30,a,=-6.,13.,(湖北改编,3,5分)已知(1+,x,),n,展开式中第4项与第8项两项式系数相等,则奇数项二,项式系数和为,.,答案,2,9,解析,(1+,x,),n,展开式中第4项与第8项二项式系数分别为,=,得,n,=10.,从而有,+,+,+,+,+,=2,10,又,+,+,+,=,+,+,+,奇数项二项式系数和为,+,+,+,=2,9,.,评析,本题考查求二项展开式二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.,7/30,14.,(安徽理,11,5分)若,展开式中,x,4,系数为7,则实数,a,=,.,答案,解析,通项公式,T,r,+1,=,x,8-,r,=,a,r,由8-,r,=4得,r,=3.,故,a,3,=7,解得,a,=,.,评析,相关二项式定理展开式问题,要准确地写出通项公式,并注意二项式系数与系数区,别.,15.,(浙江改编,5,5分)在(1+,x,),6,(1+,y,),4,展开式中,记,x,m,y,n,项系数为,f,(,m,n,),则,f,(3,0)+,f,(2,1)+,f,(1,2),+,f,(0,3)=,.,答案,120,8/30,答案,120,解析,在(1+,x,),6,展开式中,x,m,系数为,在(1+,y,),4,展开式中,y,n,系数为,故,f,(,m,n,)=,.从,而,f,(3,0)=,=20,f,(2,1)=,=60,f,(1,2)=,=36,f,(0,3)=,=4,所以,f,(3,0)+,f,(2,1)+,f,(1,2)+,f,(0,3)=120.,16.,(安徽,13,5分)设,a,0,n,是大于1自然数,展开式为,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,+,a,n,x,n,.若点,A,i,(,i,a,i,)(,i,=0,1,2)位置如图所表示,则,a,=,.,9/30,答案,3,解析,依据题意知,a,0,=1,a,1,=3,a,2,=4,结合二项式定理得,即,解得,a,=3.,17.,(山东,14,5分)若,展开式中,x,3,项系数为20,则,a,2,+,b,2,最小值为,.,答案,2,解析,T,r,+1,=,(,ax,2,),6-,r,=,a,6-,r,b,r,x,12-3,r,令12-3,r,=3,则,r,=3.,a,3,b,3,=20,即,ab,=1.,a,2,+,b,2,2,ab,=2,即,a,2,+,b,2,最小值为2.,评析,本题考查二项式定理及基本不等式综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.,10/30,18.,(辽宁理改编,7,5分)使,(,n,N,+,)展开式中含有常数项最小,n,为,.,答案,5,解析,T,r,+1,=,(3,x,),n,-,r,=,3,n,-,r,=,3,n,-,r,(,r,=0,1,2,n,),若,T,r,+1,是常数项,则有,n,-,r,=0,即2,n,=5,r,(,r,=0,1,n,),当,r,=0,1时,n,=0,不满足条件;当,r,=2时,n,=5.故填,5.,11/30,1.,(课标,13,5分)(,x,+,a,),10,展开式中,x,7,系数为15,则,a,=,.(用数字填写答案),教师专用题组,答案,解析,T,r,+1,=,x,10-,r,a,r,令10-,r,=7,得,r,=3,a,3,=15,即,a,3,=15,a,3,=,a,=,.,2.,(纲领全国,13,5分),展开式中,x,2,y,2,系数为,.(用数字作答),答案,70,解析,T,r,+1,=,=(-1),r,令,得,r,=4.,所以展开式中,x,2,y,2,系数为(-1),4,=70.,12/30,3.,(北京,9,5分)在(2+,x,),5,展开式中,x,3,系数为,.(用数字作答),答案,40,解析,(2+,x,),5,展开式通项为,T,r,+1,=,2,5-,r,x,r,(,r,=0,1,5),则,x,3,系数为,2,2,=40.,4.,(天津理,10,5分),二项展开式中常数项为,.,答案,15,解析,通项,T,r,+1,=,x,6-,r,(-1),r,(),r,=(-1),r,令6-,r,=0,得,r,=4,所以常数项为(-1),4,=15.,5.,(四川,11,5分)在(2,x,-1),5,展开式中,含,x,2,项系数是,(用数字填写答案).,答案,-40,解析,T,r,+1,=,(2,x,),5-,r,(-1),r,=(-1),r,2,5-,r,x,5-,r,令5-,r,=2,则,r,=3,所以含,x,2,项系数是-40.,6.,(广东,9,5分)在(,-1),4,展开式中,x,系数为,.,答案,6,13/30,解析,(,-1),4,展开式通项为,T,r,+1,=,(,),4-,r,(-1),r,=(-1),r,令,=1,得,r,=2,从而,x,系数为,(-1),2,=6.,14/30,1.,(江苏南通五校模拟)若,+3,+3,2,+,+3,n,-2,+3,n,-1,=85,则,n,=,.,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：35分钟 分值：45分),一、填空题(每小题5分,共10分),答案,4,解析,题中等式两边同时乘3,再同时加1可得1+3,+3,2,+3,3,+,+3,n,-1,+3,n,=85,3+1,即(3+1),n,=256,n,=4.,2.,(江苏盐城三模)设,F,(,n,)=,a,1,-,a,2,+,a,3,-,a,4,+,+(-1),n,a,n,+1,(,n,2,n,N,*,).若数列,a,n,各项,均为1,则,F,(,n,)=,.,15/30,答案,0,解析,因为数列,a,n,各项均为1,所以,F,(,n,)=,-,+,-,+,+(-1),n,而(1+,x,),n,=,+,x,+,x,2,+,x,3,+,+,x,n,令,x,=-1,得0=,-,+,-,+,+(-1),n,即,F,(,n,)=0.,二、解答题(共35分),3.,(江苏苏北四市联考,21)已知等式(1+,x,),2,n,-1,=(1+,x,),n,-1,(1+,x,),n,.,(1)求(1+,x,),2,n,-1,展开式中含,x,n,项系数,并化简:,+,+,+,;,(2)证实:(,),2,+2(,),2,+,+,n,(,),2,=,n,.,16/30,解析,(1)(1+,x,),2,n,-1,展开式中含,x,n,项系数为,由(1+,x,),n,-1,(1+,x,),n,=(,+,x,+,+,x,n,-1,)(,+,x,+,+,x,n,)可知(1+,x,),n,-1,(1+,x,),n,展开式中含,x,n,项,系数为,+,+,+,.,所以,+,+,+,=,.,(2)证实:当,k,N,*,时,k,=,k,=,=,n,=,n,.,所以(,),2,+2(,),2,+,+,n,(,),2,=,k,(,),2,=,(,k,),=,(,n,),=,n,(,),=,n,(,).,由(1)知,+,+,+,=,17/30,即,(,)=,所以(,),2,+2(,),2,+,+,n,(,),2,=,n,.,4.,(江苏如皋高三上学期教学质量调研(三),24)已知二项式(1+,x,),n,.,(1)求展开式中中间项;,(2)化简:,(,n,-2,k,),2,3,k,.,18/30,解析,(1)记展开式第(,k,+1)项为,T,k,+1,=,x,k,.,当,n,为奇数时,中间项为,=,和,=,当,n,为偶数时,中间项为,=,.,(2)等式(1+,x,),n,=,x,k,两边分别对,x,求导,得,n,(1+,x,)0,n,-1,=,k,x,k,-1,(*),令,x,=3,则有,n,4,n,-1,=,k,3,k,-1,所以,k,3,k,=3,n,4,n,-1,.(*),(*)式两边分别对,x,求导,得,n,(,n,-1)(1+,x,),n,-2,=,k,(,k,-1),x,k,-2,.,令,x,=3,则有,n,(,n,-1)4,n,-2,=,k,3,k,19/30,由(*)得,k,2,3,k,=(9,n,2,+3,n,)4,n,-2,.,所以,(,n,-2,k,),2,3,k,=,n,2,3,k,-4,n,k,3,k,+4,k,2,3,k,=,n,2,4,n,-4,n,(3,n,4,n,-1,)+4(9,n,2,+3,n,)4,n,-2,=(,n,2,+3,n,)4,n,-1,.,5.,(江苏南京六校联考,23)设,f,(,x,)是定义在R上函数,已知,n,N,*,且,g,(,x,)=,f,x,0,(1-,x,),n,+,f,x,1,(1-,x,),n,-1,+,f,x,2,(1-,x,),n,-2,+,+,f,x,n,(1-,x,),0,.,(1)若,f,(,x,)=1,求,g,(,x,);,(2)若,f,(,x,)=,x,求,g,(,x,).,20/30,解析,(1),f,(,x,)=1,所以,f,=,f,=,=,f,=1,g,(,x,)=,x,0,(1-,x,),n,+,x,1,(1-,x,),n,-1,+,x,2,(1-,x,),n,-2,+,+,x,n,(1-,x,),0,=(1-,x,)+,x,n,=1.,0,0,无意义,g,(,x,)=1,且,x,0,x,1,x,R.,(2),r,=,r,=,=,n,=,n,其中,r,=1,2,n,r,=,n,(,r,=1,2,n,).,又,f,(,x,)=,x,g,(,x,)=,0,x,0,(1-,x,),n,+,x,1,(1-,x,),n,-1,+,x,2,(1-,x,),n,-2,+,+,x,n,(1-,x,),0,=,x,1,(1-,x,),n,-1,+2,x,2,(1-,x,),n,-2,+,+,r,x,r,(1-,x,),n,-,r,+,+,n,x,n,(1-,x,),0,=,n,x,1,(1-,x,),n,-1,+,x,2,(1-,x,),n,-2,+,+,x,r,(1-,x,),n,-,r,+,+,x,n,(1-,x,),0,=,x,x,0,(1-,x,),n,-1,+,x,1,(1-,x,),n,-2,+,+,x,r,-1,(1-,x,),(,n,-1)-(,r,-1),+,+,x,n,-1,(1-,x,),0,=,x,(1-,x,)+,x,n,-1,=,x,即,g,(,x,)=,x,x,0,x,1,x,R.,21/30,解答题(共50分),B,组 高考模拟综合题组,(时间：40分钟 分值：50分),1.,(江苏扬州中学高三开学考试,24)设二项展开式,C,n,=(,+1),2,n,-1,(,n,N,*,)整数部分为,A,n,小数,部分为,B,n,.,(1)计算,C,1,B,1,C,2,B,2,值;,(2)求,C,n,B,n,.,22/30,解析,(1)因为,C,n,=(,+1),2,n,-1,所以,C,1,=,+1,则,A,1,=2,B,1,=,-1,所以,C,1,B,1,=2.,C,2,=(,+1),3,=10+6,所以,A,2,=20,B,2,=6,-10,所以,C,2,B,2,=8.,(2),C,n,=(,+1),2,n,-1,=,(,),2,n,-1,+,(,),2,n,-2,+,+,+,(,-1),2,n,-1,=,(,),2,n,-1,-,(,),2,n,-2,+,+,-,-得,(,+1),2,n,-1,-(,-1),2,n,-1,=2,(,),2,n,-2,+,(,),2,n,-4,+,+,因为0(,-1),2,n,-1,1,所以,A,n,=(,+1),2,n,-1,-(,-1),2,n,-1,B,n,=(,-1),2,n,-1,.,所以,C,n,B,n,=(,+1),2,n,-1,(,-1),2,n,-1,=2,2,n,-1,(,n,N,*,).,2.,(江苏南京、盐城高三第一次模拟考试,23)设,n,N,*,n,3,k,N,*,.,(1)求值:,k,-,n,;,k,2,-,n,(,n,-1),-,n,(,k,2);,(2)化简:1,2,+2,2,+3,2,+,+(,k,+1),2,+,+(,n,+1),2,.,23/30,解析,(1),k,-,n,=,k,-,n,=,-,=0.,k,2,-,n,(,n,-1),-,n,=,k,2,-,n,(,n,-1),-,n,=,k,-,-,=,=0.,(2)当,n,3时,由二项式定理,得(1+,x,),n,=1+,x,+,x,2,+,+,x,k,+,+,x,n,两边同乘,x,得(1+,x,),n,x,=,x,+,x,2,+,x,3,+,+,x,k,+1,+,+,x,n,+1,两边对,x,求导,得,(1+,x,),n,+,n,(1+,x,),n,-1,x,=1+2,x,+3,x,2,+,+(,k,+1),x,k,+,+(,n,+1),x,n,两边再同乘,x,得,(1+,x,),n,x,+,n,(1+,x,),n,-1,x,2,=,x,+2,x,2,+3,x,3,+,+(,k,+1),x,k,+1,+,+(,n,+1),x,n,+1,两边再对,x,求导,得(1+,x,),n,+,n,(1+,x,),n,-1,x,+,n,(,n,-1)(1+,x,),n,-2,x,2,+2,n,(1+,x,),n,-1,x,=1+2,2,x,+3,2,x,2,+,+(,k,+1),2,x,k,+,+(,n,+1),2,x,n,.,24/30,令,x,=1,得,2,n,+,n,2,n,-1,+,n,(,n,-1)2,n,-2,+2,n,2,n,-1,=1+2,2,+3,2,+,+(,k,+1),2,+,+(,n,+1),2,即1,2,+2,2,+3,2,+,+(,k,+1),2,+,+(,n,+1),2,=2,n,-2,(,n,2,+5,n,+4).,25/30,3.,(江苏苏、锡、常、镇四市二模,23)在杨辉三角中,从第3行开始,除1以外,其它每一个数值,是它上面两个数值之和,这三角形数阵开头几行如图所表示.,(1)在杨辉三角中是否存在某一行中三个相邻数之比为345?若存在,试求出是第几行;若,不存在,请说明理由;,(2)已知,n,r,为正整数,且,n,r,+3.求证:任何四个相邻组合数,不能组成等差数列.,26/30,解析,(1)存在.杨辉三角第,n,行由二项式系数,k,=0,1,2,n,组成.,假如第,n,行中有,=,=,=,=,那么3,n,-7,k,=-3,4,n,-9,k,=5,解得,k,=27,n,=62.,即第62行有三个相邻数,比为345.,(2)证实:若有,n,r,(,n,r,+3)使得,成等差数列,则2,=,+,2,=,+,即,=,+,=,+,.,所以有,=,+,=,+,经整理得到,n,2,-(4,r,+5),n,+4,r,(,r,+2)+2=0,n,2,-(4,r,+9),n,+4(,r,+1)(,r,+3)+2=0.,两式相减可得,n,=2,r,+3,27/30,于是,成等差数列,而由二项式系数性质可知,=,=,这与等差数列性质矛盾,从而要证实结论成立.,4.,(江苏徐州质检,24)设,a,b,n,N,*,且,a,b,已知二项式(,-,),n,.,(1)当,n,=3,4时,分别将该二项式表示为,-,(,p,q,N,*,)形式;,(2)求证:存在,p,q,N,*,使得等式(,-,),n,=,-,与(,a,-,b,),n,=,p,-,q,同时成立.,28/30,解析,(1)当,n,=3时,(,-,),3,=(,a,+3,b,),-(,b,+3,a,),=-.,当,n,=4时,(,-,),4,=,a,2,-4,a,+6,ab,-4,b,+,b,2,=(,a,2,+6,ab,+,b,2,)-4(,a,+,b,),=-,.,(2)证实:由二项式定理得(,-,),n,=,(-1),k,(,),n,-,k,(,),k,若,n,为奇数,则(,-,),n,=,(,),n,+,(,),n,-2,(,),2,+,+,(,),3,(,),n,-3,+,(,)(,),n,-1,-,(,),n,-1,(,)+,(,),n,-3,(,),3,+,+,(,),2,(,),n,-2,+,(,),n,分析各项指数奇偶性易知,上式能够表示为(,-,),n,=,u,1,-,v,1,形式,其中,u,1,v,1,N,*,即(,-,),n,=-=,-,其中,p,=,a,q,=,b,p,q,N,*,若,n,为偶数,则(,-,),n,=,(,),n,+,(,),n,-2,(,),2,+,+,(,),2,(,),n,-2,+,(,),n,-,(,),n,-1,(,),+,(,),n,-3,(,),3,+,+,(,),3,(,),n,-3,+,(,),n,-1,分析各项指数奇偶性易知,上式能够表示为(,-,),n,=,u,2,-,v,2,形式,其中,u,2,v,2,N,*,即(,-,)=-=,-,其中,p,=,q,=,ab,p,q,N,*,.,所以存在,p,q,N,*,使得等式(,-,),n,=,-,成立.,29/30,同理可得(,+,),n,可表示为(,+,),n,=,+,从而有,p,-,q,=(,+,)(,-,)=(,+,),n,(,-,),n,=(,a,-,b,),n,.,综上可知,结论成立.,30/30,