(精心整理)图像的傅里叶变换.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,图像的傅里叶变换,Fourier Transformation For Image,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,时间,幅值,频率,时域分析,频域分析,信号频谱,X(f),代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,一维,FT,及其反变换,连续函数,f,(,x,),的傅立叶变换,F,(,u,):,傅立叶变换,F,(,u,),的反变换,:,一维,DFT,及其反变换,离散函数,f,(,x,)(,其中,x,，,u,=0,1,2,N-1,),的傅立叶变换,:,F,(,u,),的反变换的反变换,:,计算,F(u),：,在指数项中代入,u=0,，然后将所有,x,值相加，得到,F(0),；,2)u=1,，复对所有,x,的相加，得到,F(1),；,3),对所有,M,个,u,重复此过程，得到全部完整的,FT,。,二维,DFT,傅里叶变换,一个图像尺寸为,M,N,的函数,f,(,x,y,),的离散傅立叶变换,F,(,u,v,):,F,(,u,v,),的反变换,:,二维,DFT,傅里叶变换,(,u,v,)=(0,0),位置的傅里叶变换值为,即,f,(,x,y,),的均值，原点,(0,0),的傅里叶变换是图像的,平均灰度,。,F,(0,0),称为频率谱的,直流分量,(,系数,),，,其它,F,(,u,v,),值称为,交流分量,(,交流系数,),。,二维连续傅里叶变换,1,）定义,2,）逆傅里叶变换,3,）傅里叶变换特征参数,频谱,/,幅度谱,/,模,能量谱,/,功率谱,相位谱,傅里叶变换中出现的变量,u,和,v,通常称为频率变量，,空间频率,可以理解为等相位线在,x,y,坐标投影的截距的倒数。,x,y,0,X,Y,相应的空间频率分别为,对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。,思考：噪声、线、细节、背景或平滑区域对应的空间频率特性？,傅里叶变换的意义,傅里叶变换好比一个玻璃棱镜,棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长决定。,傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。,一些图像的傅里叶变换,是,g(x,y),的频谱，,物函数,g(x,y),可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加,。为权重因子。空间频率 表示了单色平面波的传播方向。,对于,xy,平面上一点的复振幅分布,g(x,y),可由逆傅里叶变换表示成：,二维离散傅里叶变换,1,）定义,2,）逆傅里叶变换,离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。,例,设一函数如图（,a,）所示，如果将此函数在自变量,并重新定义为图（,b,）离散函数，求其傅里叶变换。,取样,（,a,）,（,b,）,x,y,1,-1,j,-j,图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减,许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项变得越来越不清楚。,解决办法：,对数化,25,26,主极大的值用,F,max,表示，,第一个旁瓣的峰值用,F,min,表示,例题：对一幅图像实施二维,DFT,，显示并观察其频谱。,解：源程序及运行结果如下：,%,对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱，,%,即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平,%,移至中心后显示；以对数方式显示。,f=zeros(512,512);,f(246:266,230:276)=1;,subplot(221),imshow(f,),title(,单狭缝图像,),F=fft2(f);%,对图像进行快速傅里叶变换,S=abs(F);,subplot(222),imshow(S,)%,显示幅度谱,title(,幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）,),Fc=fftshift(F);%,把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央,subplot(223),Fd=abs(Fc);,imshow(Fd,),ratio=max(Fd(:)/min(Fd(:),%ratio=2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显示,title(,幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）,),S2=log(1+abs(Fc);,subplot(224),imshow(S2,),title(,以对数方式显示频谱,),运行上面程序后，结果如下：,二维离散傅里叶变换的性质,线性性,证明：,%imagelinear.m,%,该程序验证了二维,DFT,的线性性质,f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);,g=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.30(a).jpg);,m,n=size(g);,f(m,n)=0;,f=im2double(f);,g=im2double(g);,subplot(221),imshow(f,),title(f),subplot(222),imshow(g,),title(g),F=fftshift(fft2(f);,G=fftshift(fft2(g);,subplot(223),imshow(log(abs(F+G),),FG=fftshift(fft2(f+g);,title(DFT(f)+DFT(g),subplot(224),imshow(log(abs(FG),),title(DFT(f+g),可分离性,二维,DFT,可视为由沿,x,y,方向的两个一维,DFT,所构成。,其中：,例题：编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离散傅里叶变换。,解：,%myseparable.m,%,该程序验证了二维,DFT,的可分离性质,%,该程序产生了冈萨雷斯,数字图像处理,（第二版）,%P125,图,4.4,f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);,subplot(211),imshow(f,),title(,原图,),F=fftshift(fft2(f);,subplot(223),imshow(log(1+abs(F),),title(,用,fft2,实现二维离散傅里叶变换,),m,n=size(f);,F=fft(f);%,沿,x,方向求离散傅里叶变换,G=fft(F);%,沿,y,方向求离散傅里叶变换,F=fftshift(G);,subplot(224),imshow(log(1+abs(F),),title(,用,fft,实现二维离散傅里叶变换,),平移性,证明：,（,1,）频域移位,结论：,即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（,0,，,0,）移至显示屏的中心点只要将,f(x,y),乘以,(-1),x+y,因子再进行傅里叶变换即可实现。,例题：利用,(-1),x+y,对单缝图像,f,(,x,y,),进行调制，实现把频谱坐标原点移至屏幕正中央的目标。,当,解：完成本题的源程序为：,%,在傅里叶变换之前，把函数乘以,(-1),x+y,，相当于把频谱,%,坐标原点移至屏幕窗口正中央。,f(512,512)=0;,f=mat2gray(f);,Y,X=meshgrid(1:512,1:512);,f(246:266,230:276)=1;,g=f.*(-1).(X+Y);,subplot(221),imshow(f,),title(,原图像,f(x,y),subplot(222),imshow(g,),title(,空域调制图像,g(x,y)=f(x,y)*(-1)x+y),F=fft2(f);,subplot(223),imshow(log(1+abs(F),),title(f(x,y),的傅里叶频谱,),G=fft2(g);,subplot(224),imshow(log(1+abs(G),),title(g(x,y),的傅里叶频谱,),（,a,）在,0 N-1,周期中有两个背靠背半周期,（,b,）同一区间内有一个完整的周期,这就意味着，坐标原点移到了频谱图像的中间位置，这一点十分重要，尤其是对以后的图像显示和滤波处理。,例题：利用,(-1),x,对,f,(x),曲线进行调制，达到平移频域坐标原点至屏幕正中央的目的。,%,以一维情况为例，说明空域调制对应着频域坐标原点移位。,f(1:512)=0;,f(251:260)=1;%,产生宽度为,10,的窗口函数,subplot(221),plot(f),title(,宽度为,10,的窗口函数,),F=fft(f,512);%,进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为,512,subplot(222),plot(abs(F)%,绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处）,title(,幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）,),x=251:260;,f(251:260)=(-1).x;%,把曲线,f(x),乘以,(-1)x,，可以把频谱,%,坐标原点移至屏幕正中央,subplot(223),plot(f),title(,宽度为,10,的调制窗口函数,),F=fft(f,512);%,进行快速傅里叶变换,subplot(224);,plot(abs(F)%,直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央）,title(,幅度谱（频谱坐标原点在中央）,),figure,f(1:512)=0;,f(251:270)=1;%,产生宽度为,20,的窗口函数,subplot(221),plot(f),title(,宽度为,20,的窗口函数,),F=fft(f,512);%,进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为,512,subplot(222),plot(abs(F)%,绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处）,title(,幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）,),x=251:270;,f(251:270)=(-1).x;%,把曲线,f(x),乘以,(-1)x,，可以把频谱坐标原点移至屏幕正中央,subplot(223),plot(f),title(,宽度为,20,的调制窗口函数,),F=fft(f,512);%,进行快速傅里叶变换,subplot(224);,plot(abs(F)%,直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央）,title(,幅度谱（频谱坐标原点在中央）,),（,2,）空域移位：,周期性和共轭对称性,周期性：,共轭对称性,：,证明：（,1,）周期性：,(2),共轭对称性：,旋转不变性,证明：,注,：为看清问题的实质、简化旋转不变性的证明，以上用二维连续傅里叶变换进行证明。实际上，由连续积分公式进行离散化处理，即可得到离散公式，证明可参照连续情况进行。,f=zeros(512,512);,f(246:266,230:276)=1;,subplot(221);,imshow(f,),title(,原图,),F=fftshift(fft2(f);,subplot(222);,imshow(log(1+abs(F),),title(,原图的频谱,),f=imrotate(f,45,bilinear,crop);,subplot(223),imshow(f,),title(,旋转,450,图,),Fc=fftshift(fft2(f);,subplot(224);,imshow(log(1+abs(Fc),),title(,旋转图的频谱,),离散卷积定理,例,1,求以下两个函数的卷积,1,）连续卷积,2,）离散卷积定理,离散卷积定义：,空间滤波输出：,结论：空间域进行滤波的过程就是,“,卷积,”,的过程。,证明：（,1,）空域卷积和,（,2,）频域卷积和：,离散的卷积原理基本上是和连续卷积相同，其差别仅仅是在与抽样间隔对应的离散增增量处发生位移，用求和代替微分，,由于离散傅里叶变换和它的逆傅里叶变换都是周期函数，,那么离散卷积定理应该和这个周期联系起来，,就是让在计算卷积时让这两个离散函数具有同样的周期，否则将产生错误。,注意,：利用,FFT,计算卷积时，为防止频谱混叠误差，需对离散的二维函数补零，即,周期延拓,，对两个函数同时添加零，使它们具有相同的周期。,0,200,400,200,800,3,0,200,400,2,800,0,200,400,2,800,周期延拓,周期延拓,的大小为,的大小为,空间域滤波和频域滤波的关系,空间域和频域的滤波器构成傅里叶变换对,相关定理,证明：,