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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,关键点梳理,1.几何概型,假如每个事件发生概率只与组成该事件区域_,_(_或_)成百分比,则称这么概率模型为几何,概率模型,简称为_.,2.几何概型中,事件,A,概率计算公式,P,(,A,)=.,10.6 几何概型,长,度,面积,体积,几何概型,基础知识 自主学习,1/42,3.要切实了解并掌握几何概型试验两个基本特点:,(1)无限性：在一次试验中,可能出现结果有没有限,多个；,(2)等可能性：每个结果发生含有等可能性.,4.几何概型试验中,事件,A,概率,P,(,A,)只与子区域,A,几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与,A,位,置和形状无关.,5.求试验中几何概型概率,关键是求得事件所占区,域和整个区域 几何度量,然后代入公式即可求,解.,2/42,基础自测,1.在区间1,3上任取一数,则这个数大于1.5概,率为 (),A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75,解析,因为在1,3上任取一数是随机,故这个,数大于1.5概率,D,3/42,2.如图所表示,边长为2正方形中有,一封闭曲线围成阴影区域,在正,方形中随机撒一粒豆子,它落在阴,影区域内概率为 则阴影区域,面积为 (),A.B.C.D.无法计算,解析,由几何概型知,B,4/42,3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点,时刻是随机,则他候车时间不超出3分钟概率,是 (),A.B.C.D.,解析,此题能够看成向区间0,5内均匀投点,而,且点落入0,3内概率设为,A,=某乘客候车时间,不超出3分钟.,则,P,(,A,)=,A,5/42,4.如图所表示,A,是圆上固定一点,在圆,上其它位置任取一点,A,连接,AA,它是一条弦,它长度大于等于半径,长度概率为 (),A.B.,C.D.,6/42,解析,如图所表示,当,AA,长度等于半,径时,A,位于,B,或,C,点,此时,BOC,=,120,则优弧,满足条件概率为,答案,B,7/42,5.如图所表示,在直角坐标系内,射线,OT,落在30角终边上,任作一条,射线,OA,则射线,OA,落在,yOT,内,概率为_.,解析,如题图,因为射线,OA,在坐标系内是等可能分,布,则,OA,落在,yOT,内概率为,8/42,题型一 与长度相关几何概型,【,例1,】,有一段长为10米木棍,现要截成两段,每段,大于3米概率有多大？,从每一个位置剪断都是一个基本事件,基,本事件有没有限多个.但在每一处剪断可能性相等,故是几何概型.,思维启迪,题型分类 深度剖析,9/42,解,记“剪得两段都大于3米”为事件,A,从木棍,两端各度量出3米,这么中间就有10-3-3=4(米).在中,间4米长木棍处剪都能满足条件,所以,从该题能够看出,我们将每个事件了解为,从某个特定几何区域内随机地取一点,该区域中每,一点被取到机会都一样.而一个随机事件发生则,了解为恰好取到上述区域内某个指定区域中点,这么概率模型就能够用几何概型来求解.,探究提升,10/42,知能迁移1,平面上有一组平行线,且相邻平行线间,距离为3 cm,把一枚半径为1 cm硬币任意平抛在,这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰概率,是 (),A.B.C.D.,解析,如图所表示,这是长度型几何概型问题,当硬币,中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相,碰,故所求概率为,B,11/42,题型二 与面积(或体积)相关几何概型,【,例2,】,街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm正,方形塑料板宽广地面上,掷一枚半径为1 cm小,圆板.规则以下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正,方形边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5,角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板顶点上,可获,1元钱.试问：,(1)小圆板压在塑料板边上概率是多少？,(2)小圆板压在塑料板顶点上概率是多少？,应用几何概型概率计算公式,P,(,A,)=,即可处理这类问题.,思维启迪,12/42,解,(1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm,和9 cm正方形围成区域内,所以概率为,(2)考虑小圆板圆心在以塑料板顶点为圆心 圆,内,因正方形有四个顶点,所以概率为,几何概型概率计算公式中,“,测度,”,既包含本例中面积,也能够包含线段长度、体积,等,而且这个,“,测度,”,只与,“,大小,”,相关,而与形状和,位置无关.,探究提升,13/42,知能迁移2,在边长为2正,ABC,内任取一点,P,则使点,P,到三个顶点距离最少有一个小于1概率,是_.,解析,以,A,、,B,、,C,为圆心,以1为半,径作圆,与,ABC,交出三个扇形,当,P,落在其内时符合要求.,14/42,题型三 与角度相关几何概型,【,例3,】,在Rt,ABC,中,A,=30,过直角顶点,C,作射,线,CM,交线段,AB,于,M,求使|,AM,|,AC,|概率.,如图所表示,因为过一,点作射线是均匀,因而应把在,ACB,内作射线,CM,看做是等可能,基本事件是射线,CM,落在,ACB,内任一处,使,|,AM,|,AC,|概率只与,BCC,大小相关,这符合,几何概型条件.,思维启迪,15/42,解,设事件,D,为“作射线,CM,使|,AM,|,AC,|”.,在,AB,上取点,C,使|,AC,|=|,AC,|,因为,ACC,是等,腰三角形,所以,几何概型关键是选择,“,测度,”,如本例,以角度为,“,测度,”,.因为射线,CM,落在,ACB,内任意,位置是等可能.若以长度为,“,测度,”,就是错误,因为,M,在,AB,上落点不是等可能.,探究提升,16/42,知能迁移3,在圆心角为90扇形,AOB,中,以圆心,O,为起点作射线,OC,求使得,AOC,和,BOC,都大于,30概率.,解,如图所表示,把圆弧,AB,三等分,则,AOF,=,BOE,=30,记,A,为“在扇,形,AOB,内作一射线,OC,使,AOC,和,BOC,都大于30”,要使,AOC,和,BOC,都不小,于30,则,OC,就落在,EOF,内,17/42,题型四 可化为几何概型概率问题,【,例4,】,甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处见面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.,求两人能见面概率.,在平面直角坐标系内用,x,轴表示甲抵达,约会地点时间,y,轴表示乙抵达约会地点时间,用,0分到60分表示6时到7时时间段,则横轴0到60与纵,轴0到60正方形中任一点坐标(,x,y,)就表示甲、,乙两人分别在6时到7时时间段内抵达时间.而能会,面时间由|,x,-,y,|15所对应图中阴影部分表示.,思维启迪,18/42,解,以,x,轴和,y,轴分别表示甲、乙,两人抵达约定地点时间,则两人,能够见面充要条件是|,x,-,y,|15.,在如图所表示平面直角坐标系下,(,x,y,)全部可能结果是边长为60正方形区域,而事,件,A,“两人能够见面”可能结果由图中阴影部分,表示.,由几何概型概率公式得：,所以,两人能见面概率是,19/42,探究提升,(1)甲、乙两人都是在6,7时内任意时,刻抵达见面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用,x,y,轴上数表示,则每一个结果(,x,y,)就对应于图中,正方形内任一点.,(2)找出事件,A,发生条件,并把它在图中区域找出,来,分别计算面积即可.,(3)本题难点是把两个时间分别用,x,y,两个坐标表,示,组成平面内点(,x,y,),从而把时间是一段长度问,题转化为平面图形二维面积问题,进而转化成面积,型几何概型问题.,20/42,知能迁移4,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+,b,2,a,b,R,.,(1)若,a,从集合0,1,2,3中任取一个元素,b,从集合,0,1,2中任取一个元素,求方程,f,(,x,)=0有两个不相,等实根概率；,(2)若,a,从区间0,2中任取一个数,b,从区间0,3中,任取一个数,求方程,f,(,x,)=0没有实根概率.,解,(1),a,取集合0,1,2,3中任一个元素,b,取集合,0,1,2中任一个元素,21/42,a,b,取值情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示,a,取值,第二个数表示,b,取值,即基本事件总数为12.,设“方程,f,(,x,)=0有两个不相等实根”为事件,A,当,a,0,b,0时,方程,f,(,x,)=0有两个不相等实根充要,条件为,a,b,.,当,a,b,时,a,b,取值情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即,A,包含基本事件数为6,方程,f,(,x,)=0有两个不相等实根概率,22/42,(2),a,从区间0,2中任取一个数,b,从区间0,3中任取一个数,则试,验全部结果组成区域 =(,a,b,)|,0,a,2,0,b,3,这是一个矩形,区域,其面积,设“方程,f,(,x,)=0没有实根”为事件,B,则事件,B,所组成,区域为,M,=(,a,b,)|0,a,2,0,b,3,a,b,即图中,阴影部分梯形,其面积,由几何概型概率计算公式可得方程,f,(,x,)=0没有实根,概率,23/42,1.几何概型也是一个概率模型,它与古典概型区分,是试验可能结果不是有限个.它特点是试验结果,在一个区域内均匀分布,所以随机事件概率大小与,随机事件所在区域形状位置无关,只与该区域大,小相关.,2.几何概型“约会问题”已经是程序化方法与技,巧,必须熟练掌握.,方法与技巧,思想方法 感悟提升,24/42,几何概型含有没有限性和等可能性两个特点.无限性是,指在一次试验中,基本事件个数能够是无限；等,可能性是指每一个基本事件发生可能性是均等.,所以,用几何概型求解概率问题和古典概型思绪,是相同,同属于“百分比解法”,即随机事件,A,概率,能够用“事件,A,包含基本事件所占图形长度(面积,或体积)”与“试验基本事件所占总长度(面积或体,积)”之比来表示.,失误与防范,25/42,一、选择题,1.在长为12 cm线段,AB,上任取一点,M,并以线段,AM,为边作正方形,则这个正方形面积介于36 cm,2,与,81 cm,2,之间概率为 (),A.B.C.D.,解析,面积为36 cm,2,时,边长,AM,=6,面积为81 cm,2,时,边长,AM,=9,A,定时检测,26/42,2.在区域 内任取一点,P,则点,P,落在单,位圆,x,2,+,y,2,=1内概率为 (),A.B.C.D.,解析,区域为,ABC,内部(含边界),则概率为,D,27/42,3.在面积为,S,ABC,边,AB,上任取一点,P,则,PBC,面积大于 概率是 (),A.B.C.D.,解析,由,ABC,PBC,有公共底边,BC,所以只需,P,位,于线段,BA,靠近,B,四分之一分点,E,与,A,之间,这是一个,几何概型,C,28/42,4.已知正三棱锥,S,ABC,底面边长为4,高为3,在正,三棱锥内任取一点,P,使得,V,P,ABC,V,S,ABC,概率,是 (),A.B.C.D.,解析,当,P,在三棱锥中截面及下底面组成正三,棱台内时符合要求,由几何概型知,A,29/42,5.,(辽宁文,9),ABCD,为长方形,AB,=2,BC,=1,O,为,AB,中点,在长方形,ABCD,内随机取一点,取到,点到,O,距离大于1概率为 (),A.B.C.D.,解析,如图,要使图中点到,O,距离大于1,则该点需取在图中阴,影部分,故概率为,B,30/42,6.,(山东文,11),在区间 上随机取一个,数,x,cos,x,值介于0到 之间概率为(),A.B.C.D.,解析,A,31/42,二、填空题,7.,(江苏,6),在平面直角坐标系,xOy,中,设,D,是横,坐标与纵坐标绝对值均小于2点组成区域,E,是到原点距离小于1点组成区域,向,D,中随,机投一点,则落入,E,中概率为_.,解析,如图所表示,区域,D,表示边长,为4正方形内部(含边界),区,域,E,表示单位圆及其内部,32/42,8.,已知函数,f,(,x,)=若,a,是从区间0，2上任取,一个数,b,是从区间0,2上任取一个数,则此函,数在1,+)递增概率为_.,解析,令,t,=,ax,2,-,bx,+1,函数,f,(,x,)在1,+)上递增,根,据复合函数单调性判断方法,则,t,=,ax,2,-,bx,+1须在,1,+)上递增,33/42,由题意得 画出图示得,阴影部分面积.,概率为,答案,34/42,9.,(福建文,14),点,A,为周长等于3圆周上一,个定点.若在该圆周上随机取一点,B,则劣弧,长,度小于1概率为_.,解析,圆周上使弧 长度为1点,M,有两个,设,为,M,1,M,2,则过,A,圆弧 长度为2,B,点落在,优弧 上就能使劣弧 长度小于1,所以劣弧,长度小于1概率为,35/42,三、解答题,10.如图所表示,在单位圆,O,某一直径上随机取一点,Q,，求过点,Q,且与该直径垂直弦长长度不超出1,概率.,36/42,解,弦长不超出1,即|,OQ,|而,Q,点在直径,AB,上是随机,事件,A,=弦长超出1.,由几何概型概率公式得,弦长不超出1概率为,答,所求弦长不超出1概率为,37/42,11.投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字,正方体玩具,它六个面中,有两个面标数字是0,两个面标数字是2,两个面标数字是4,将此玩具,连续抛掷两次,以两次朝上一面数字分别作为点,P,横坐标和纵坐标.,(1)求点,P,落在区域,C,：,x,2,+,y,2,10内概率；,(2)若以落在区域,C,上全部点为顶点作面积最大,多边形区域,M,在区域,C,上随机撒一粒豆子,求豆子落,在区域,M,上概率.,38/42,解,(1)以0、2、4为横、纵坐标,点,P,共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、,(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、,(4,2)、(4,4)共9个,而这些点中,落在区域,C,内点有：,(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个,所求概率为,(2)区域,M,面积为4,而区域,C,面积为,所求概率为,39/42,12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船,码头,它们在一昼夜内任何时刻抵达是等可能.,(1)假如甲船和乙船停泊时间都是4小时,求它们中,任何一条船不需要等候码头空出概率；,(2)假如甲船停泊时间为4小时,乙船停泊时间为,2小时,求它们中任何一条船不需要等候码头空出,概率.,40/42,解,(1)设甲、乙两船抵达时间分别为,x,、,y,则0,x,24,0,y,24且,y,-,x,4或,y,-,x,-4.,作出区域,设“两船无需等候码头空出”,为事件,A,41/42,(2)当甲船停泊时间为4小时，,乙船停泊时间为2小时,两船不,需等候码头空出,则满足,x,-,y,2,或,y,-,x,4,设在上述条件时“两船不需等候码头空出”为事件,B,画出区域,返回,42/42,
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