CG05-几何变换.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本章目标,学习如何使图形变化,平移变换、旋转变换和放缩,学会复杂变换的分解与合成,学会使用,MatLab,的几何变换函数,1,主要内容,数学基础,二维几何变换,齐次坐标,复合变换,其它变换,三维几何变换,MatLab的几何变换函数,2,5.1 数学基础,矢量（,vector,）,连接两个点的有向线段。又称向量,行向量和列向量两种表示,矢量和,3,5.1 数学基础,矩阵（,Matrix),m,n,阶矩阵,n,阶方阵（,m,n,）,单位矩阵,n,阶方阵，对角线元素为,1,，,其它元素为,0,6,5.1 数学基础,矩阵（续）,行向量与列向量,当,m,1,时，,A,退化为行向量,a,11,a,12,a,1,n,当,n,1,时，,A,退化为列向量,a,11,a,21,a,m,1,T,矩阵的加法,A,=(,a,ij,),m,n,，,B,(,b,ij,),m,n,A,与,B,的和记为,A,B,性质：结合律和交换律,7,5.1 数学基础,矩阵（续）,矩阵的数乘,矩阵的乘法,性质：结合律和分配律（不满足交换律）,8,5.1 数学基础,矩阵（续）,矩阵的转置,矩阵的逆,n,阶方阵,A,是可逆的，若存在另一个,n,阶方阵,B,，使得,AB,BA,I,n,，称,B,是,A,的逆阵，记为,B,A,1,9,5.2 二维几何变换,平移变换,(translation transformation),将点,P,(,x,y,),在,x,轴方向、,y,轴方向分别平移距离,t,x,，,t,y,，得到点,P,(,x,y,),，则,记为：,T,(,t,x,t,y,),矩阵表示：,10,5.2 二维几何变换,旋转变换,(rotation transformation),如,点,P,(,x,y,),的极坐标表示,（,r,为,P,到原点的距离）,绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度,（逆时针为正，顺时针为负）,11,5.2 二维几何变换,旋转变换,(,续）,记为：,R(,),矩阵表示为：,12,5.2 二维几何变换,放缩变换,(scaling transformation),将点,P,(,x,y,),在,x,方向,y,方向分别放缩,s,x,和,s,y,倍，得到点,P,(,x,y,),以坐标原点为放缩参照（基准）点,不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离,记为：,S(,s,x,s,y,),13,5.2 二维几何变换,利用矩阵计算变换后的坐标时，平移、旋转和放缩变换分别为：,运算不统一，如何统一运算？,14,5.3 齐次坐标,为什么需要齐次坐标,?,运算表示形式不统一,平移为“”,旋转和放缩为“,”,对多个点计算多次不同的变换时，分别利用矩阵计算各变换导致计算量大,统一运算形式后，可以先合成变换运算的矩阵，再作用于图形对象,15,5.3 齐次坐标,定义,Homogeneous Coordinate,（,x,，,y,）点对应的齐次坐标定义为,（,x,，,y,）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,标准齐次坐标（,x,，,y,，,1,）,h,0,表示无穷远点,16,5.3 齐次坐标,二维变换的矩阵表示,平移变换,旋转变换,17,5.3 齐次坐标,放缩变换,变换具有统一表示形式的优点,便于变换合成,连续变换时，可以先得到变换的矩阵,便于硬件实现,18,5.3 齐次坐标,变换的性质,平移和旋转变换具有可加性,放缩变换具有可乘性,19,5.4 复合变换,变换合成,方法：连续变换时，先计算变换矩阵，再计算坐标,优点：,（,1,）提高了对图形依次做多次变换的运算效率,如：图形上有,n,个顶点,P,i,，如果依次施加的变换为,T,，,R,，那么顶点,P,i,变换后的坐标为,每个顶点需要,2,次矩阵相乘,只需要,1,次矩阵相乘,20,5.4 复合变换,（,2,）提供构造复杂变换的方法,对图形作较复杂的变换时，不直接去计算这个变换，而是将其先分解成多个基本变换，再合成总的变换,复合变换,Composite transformation,多个变换的组合,可通过单个变换矩阵来计算矩阵乘积,21,5.4.1 复合平移变换,连续平移变换,平移向量为,(,t,1,x,，,t,1,y,),和,(,t,2,x,，,t,2,y,),点,P,经变换为,P,，则有,复合矩阵,22,5.4.2 复合旋转变换,连续旋转,P,经连续旋转角度分别为,1,和,2,后,连续旋转具有相加性,23,5.4.3 复合放缩变换,连续放缩,连续放缩因子分别为：,(,s,1,x,s,1,y,),和,(,s,2,x,s,2,y,),24,5.4.4 二维基准点旋转,关于任意参照点 的旋转变换,步骤,：（,1,）平移对象使参照（基准）点移到原点（,2,）绕坐标原点旋转（,3,）平移对象使基准点回到原始位置,25,5.4.5 二维基准点放缩,4.3.2 扫描线算法,关于任意参照点 的放缩变换,步骤,：（,1,）平移对象使基准点与坐标原点重合（,2,）放缩变换（,3,）反向平移使得基准点回到初始位置,26,5.4.6 小结,变换合成时，矩阵相乘的顺序,单次变换：列向量表示点,复合变换：先作用的放在连乘的右端，后作用的放在连乘的左端,点表示成行向量呢？,27,5.5 其它变换,对称变换（反射变换、镜像变换：,reflection,）,(1),关于,x,轴的对称变换,(2),关于,y,轴的对称变换,28,5.5 其它变换,(3),关于任意轴的对称变换,平移（,t,x,t,y,),使,l,过坐标原点，记为,T,1,旋转,，记,R,1,对称,记,SYx,旋转,-,记,R,2,平移,(-,t,x,-,t,y,),，,记,T,2,总变换：,T,2,R,2,SY,x,R,1,T,1,29,5.5 其它变换,仿射变换,affine transformation,二维线性变换的一般形式,平移，旋转，放缩，对称是特例,特点：保持平行线间的平行关系,30,5.5 其它变换,例：证明二维复合变换的矩阵总能表示为：,证明：,31,三维齐次坐标,(,x,y,z,),点对应的齐次坐标为,标准齐次坐标,(,x,y,z,1),右手坐标系,旋转方向,当拇指与坐标轴同向时，,四指所指方向为绕该轴的,正旋转方向,5.6 三维几何变换,32,平移变换,位移量,：（,t,x,，,t,y,，,t,z,）,放缩变换,参照点为坐标原点,5.6 三维几何变换,33,旋转变换,绕,x,轴,绕,y,轴,5.6 三维几何变换,y,x,z,34,绕,z,轴,对称变换,关于坐标平面,xy,的对称变换,其它坐标平面类似,5.6 三维几何变换,y,x,z,35,5.6 三维几何变换,三维几何变换的一般形式,（,1,）前三行和前三列对应旋转和放缩变换,（,2,）第四列的前三个元素对应平移变换,（,3,）第四行前三个元素对应投影变换,36,思考题：绕任意轴旋转,思路：将矢量,P,1,P,2,变换后与坐标轴重合，再用基本旋转变换实现旋转，再逆变换到原位置,步骤：,先平移，将,P,1,平移到坐标原点,绕,y,和,z,轴旋转使矢量,P,1,P,2,与,x,轴重和,。,5.6 三维几何变换,37,（一）旋转函数,Rotate,格式：,rotate(h,direction,alpha),h,是图形句柄，,direction,旋转轴，,alpha,是角度,例：,for i=1:6,subplot(3,2,i);,x,y=meshgrid(-10:1:10);,z=x.2/36-y.2/25;,h=mesh(z);,rotate(h,1 0 0,55*i),axis off,pause(0.1),end,5.7 MatLab的几何变换函数,38,（二）动画,*,-,多面体变化成球体,M=moviein(16),for i=1:16,sphere(i);,axis equal;,M(:,i)=getframe;,end,movie(M,1);,5.7 MatLab的几何变换函数,说明：,（,1,）,Moviein,创建一个结构体保存动画的各帧,（,2,）,getframe,把绘制出的图形保存到结构体,（,3,）,movie,播放函数，后面的参数为播放次数,39,基本变换,平移，旋转，放缩，对称,矩阵表示,限制条件,复合变换,分解与复合,能根据具体问题计算复杂变换的矩阵,MatLab,几何变换函数,变换函数,矩阵,小结,40,1,、在坐标系,Oxyz,中，计算将矢量,P,(1,1,1),Q,(2,2,2),变换到矢量,P,(0,0,0),Q,(0,0,1),的变换矩阵,作业,41,