人教版九年级上《22.1二次函数的图象和性质》练习题含答案.doc

二次函数图象与性质（1）

1. 二次函数的定义：一般地，形如的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
2. 当b＝0且c＝0时：二次函数变为，
（1）当a＞0时，其图象如下：

（2）当a＜0时，其图象如下：

可以看到：对于抛物线，越大，开口越小。
3. 二次函数的图象与性质

开口方向
上
下
顶点坐标
（0，0）
对称轴
y轴
性质
在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在y轴的右侧，y随x的增大而增大
在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小
最值
函数有最小值，最小值为0
函数有最大值，最大值为0

例题1 已知函数是二次函数，且当时，y随x的增大而增大。
（1）求k的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得，解得，；
当时，原函数为，当时，y随x的增大而减小，故不合题意，舍去；
当时，原函数为，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
故。
（2）抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
点评：注意对k的值进行合理的取舍。

例题2 （1）已知A（1，y1）、B（－2，y2）、C（－，y3）在函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 。
（2）（潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－ x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 。

思路分析：（1）最直接的思路是将自变量的值代入函数表达式，求出每个点的相应的纵坐标，然后进行比较；当然也可以利用数形结合、以形助数的方法。（2）数形结合：由图象可知，当x＝－2或1.5时，两函数图象相交，从数量上来看，对应着y1＝ y2，当x＜－2时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，当－2＜x＜1.5时，抛物线在直线的下方，对应着y1＜y2，当x＞1.5时，抛物线在直线的上方，对应着y1＞y2，综上所述，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是－2＜x＜1.5。
答案：（1）y1＜y3＜y2；（2）－2＜x＜1.5。
点评：以形助数，数形结合，直观形象，事半功倍。

例题3 苹果熟了，从树上落下所经过的路程y与下落的时间t满足y＝gt2（g是不为0的常数），则y与t的函数图象大致是（　　）

A　　　　　　 B　　　　　　　　 C　　　　　　　　 D
思路分析：结合函数关系式和自变量的取值范围进行判断：y＝gt2（g是不为0的常数），所以y是t的二次函数，图象为抛物线且顶点是原点，据此排除A和C选项，由于时间t不可能为负数，即抛物线不可能经过第二象限，据此排除D选项，因此这道题选B。
答案：B
点评：对于抛物线，当自变量取值范围是一切实数时，图象是整条抛物线；当函数中两个变量被赋予了实际意义或者函数自变量的取值范围有限制时，图象是抛物线的一部分。

【高频疑点】数形结合理解函数的增减性
1. 一次函数；当k＞0时，直线从左往右是一直上升的，因此y随x的增大而增大；举例：函数，不论自变量添加怎样的取值范围，y总是随着x的增大而增大。

2. 反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，从左往右双曲线是下降的，因此在每一个象限内，y随x的增大而减小；举例：函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜－0.5时，y随x的增大而减小，但是不能说函数，其中y随x的增大而减小。

3. 二次函数，当a＞0时，在对称轴的左侧，从左往右图象一直是下降的，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，从左往右图象一直是上升的，因此在对称轴右侧，y随x的增大而增大，举例：函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＞5时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜－2时，y随x的增大而减小。

【矫正训练】
（山东德州）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. y＝－x＋1 B. y＝x2 C. y＝ D. y＝－x2＋1
思路分析：A. 函数y＝－x＋1，当x>0时，y随x的增大而减小；B. 函数y＝x2，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C. 函数y＝，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D. 抛物线y＝－x2＋1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小。
答案：B
点评：本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质。解答本题，需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断，只要函数图象从左往右一直是上升的，y就随x的增大而增大，只要函数图象从左往右一直是下降的，y就随x的增大而减小。

二次函数图象与性质（2）

一、考点突破
1. 掌握二次函数的图象和性质，并能应用于解题；
2. 理解二次函数的图象与图象之间的关系。

二、重难点提示
重点：二次函数的图象和性质。
难点：（1）理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系；（2）二次函数的图象和性质的应用。

1. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：
举例：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度而得到；
抛物线是由抛物线向下平移2个单位长度而得到。

2. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：
举例：抛物线是由抛物线向左平移3个单位长度而得到；
抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度而得到。

3. 二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系：
举例：抛物线是由抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到；
抛物线是由抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度而得到。

4. 归纳：二次函数的图象都是抛物线，它是轴对称图形，开口向上或者向下，抛物线与其对称轴的交点叫做顶点，只要二次项系数相同，抛物线的形状就相同，所不同的是位置。
5. 图表演示抛物线之间的位置关系：

平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”。
6.

y＝a（x－h）2＋k（a＞0）
y＝a（x－h）2＋k（a＜0）
开口方向
上
下
顶点坐标
（h，k）
对称轴
直线x＝h
性质
当x＜h时，y随x的增大而减小；
当x＞h时，y随x的增大而增大
当x＜h时，y随x的增大而增大；
当x＞h时，y随x的增大而减小
最值
函数有最小值，最小值为k
函数有最大值，最大值为k

例题1 （雅安）将抛物线y＝（x－1）2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A. y＝（x－2）2　 B. y＝（x－2）2＋6　
C. y＝x2＋6 　　 D. y＝x2
思路分析：抛物线y＝（x－1）2＋3的顶点为（1，3），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得顶点（0，0），所以平移后所得抛物线的解析式为y＝x2，故选D。
答案：D
点评：抛物线的平移变换是本题的考查重点，解决此类问题的关键是抓住抛物线顶点坐标的变化而无需关注整条抛物线的变化，以（h，k）为顶点的抛物线的关系式，可以假设为y＝a（x－h）2＋k。

例题2 对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路分析：根据二次函数的性质对各小题进行分析判断，即可得解。
解：①∵a＝－＜0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x＝－1，故本小题错误；
③顶点坐标为（－1，3），正确；
④∵x＞－1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
⑤对于顶点式，a＜0，当x＝h时，有最大值，最大值为k，正确。
综上所述，正确结论的个数是①③④⑤共4个，故选C。
答案：C
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性和最值。

例题3 （滨州）某中学为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm。请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）
思路分析：根据题意列出二次函数关系式，然后利用配方法将函数解析式化成的形式，利用二次函数的性质求最大值。
答案：解：根据题意，得y＝20·x·（－x），
整理，得y＝－20x2＋1800x。
∵ y＝－20x2＋1800x＝－20（x2－90x＋2025）＋40500＝－20（x－45）2 ＋40500，
由题意得：，
解得：，
∵a＝－20＜0，
而，
∴当x＝45时，函数y有最大值，＝40500。
答：当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大值为40500cm3。
点评：本题考查的是利用二次函数解决实际问题。难点是从实际问题中抽象出函数关系式，得到函数关系式以后，将其化成的形式，这里有一个易错点，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时，顶点的纵坐标就是最大值或最小值。

【高频疑点】当自变量的取值范围受限制时，求二次函数的最大值、最小值或者因变量的取值范围，千万不能直接将自变量取值范围的两个端点的值代入函数解析式进行计算，应采用数形结合的方法：画出自变量取值范围下的函数图象（不是整条抛物线而是抛物线的一部分），结合函数的增减性来求最值，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。
【矫正训练】已知函数；
（1）求当时，y的取值范围；
（2）求当时，y的取值范围；
（3）求当时，y的取值范围。

思路分析：分别画出函数在相应的自变量取值范围下的函数图象，函数图象上的最高点对应的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。
答案：（1）；（2）；（3）。

（答题时间：20分钟）
1. 下列函数关系式中，不属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（ ）
A. ±2　　 B. －2　　 C. 2　　 D. 3
*3. 给出下列四个函数：①；②；③；④。时，y随x的增大而减小的函数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
*4. 如果函数是二次函数，则k的值一定是__________。
*5. 二次函数y＝ax2的图象如图，该函数的关系式是 ；如果另一个函数的图象与该函数关于x轴对称，那么这个函数的关系式是 。

*6. 如图，A、B分别为抛物线y＝ax2上两点，且线段AB⊥y轴于点C，若AB＝OC＝6，则a的值为　　　　。

**7. 已知函数
（1）k为何值时，y是关于x的一次函数？
（2）k为何值时，y是关于x的二次函数？
**8. 如图，在抛物线上取三点A、B、C，设A、B的横坐标分别为a（a＞0）、a＋1，直线BC与x轴平行。

（1）把△ABC的面积S用a表示；
（2）当△ABC的面积S＝15时，求a的值；
（3）当△ABC的面积S＝15时，在BC上求一点D，使△ACD的面积为8。

1. B 解析：B选项经过化简，二次项系数为0，它不是二次函数。
2. C 解析：∵函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），∴点的坐标满足函数解析式，∴，即，∴，故选C。
*3. C 解析：解答本题，需要了解各函数图象的增减性特点，①，当时，y随的增大而减小；②，当时，y随x的增大而增大；③，当时，y随x的增大而减小；④，当时，y随x的增大而减小；∴共有3个函数是当时，y随x的增大而减小的函数，故选C。
*4. 解析：得，；当时，二次项系数为0，舍去，∴。
*5. ，
解析：∵函数y＝ax2的图象经过点，∴点的坐标满足函数解析式，∴，∴，∴函数的关系式是y＝x2，∵另一个函数的图象与该函数关于x轴对称，∴另一个函数的图象开口向下，过原点，过点，∴，∴，∴函数的关系式是。
*6. 解析：∵此抛物线关于轴对称，且线段AB⊥y轴于点C，若AB＝OC＝6，∴点、 坐标分别为：，∴把或点坐标代入函数解析式得：，。
**7. 解：（1）k＝1，（2）
解析：（1）当且时，原函数为一次函数，即k＝1，
（2）当时，原函数为二次函数，即。
**8. 解：（1）S△ABC＝S＝×2（a＋1）×（2a＋1）＝（a＋1）（2a＋1）。
（2）当S＝15时，（a＋1）（2a＋1）＝15，得a＝2或a＝－，
a＞0，所以a＝2适合，a＝－不适合。
（3）当S＝15时，a＝2，∴△ABC的边BC上的高为5，∵S△ACD＝8，则
S△ABD＝7＝×5×BD，BD＝，由B（3，－9），
所以点D的坐标为（，－9）。
解析：（1）如图，y＝－x2的图象关于y轴对称，BC∥x轴。

所以A（a，－a2），B（a＋1，－（a＋1）2），C（－a－1，－（a＋1）2），BC＝2（a＋1）。
在△ABC中，BC上的高为＝2a＋1，S△ABC＝S＝×2（a＋1）×（2a＋1）＝（a＋1）（2a＋1）。
（2）当S＝15时，解方程（a＋1）（2a＋1）＝15，得a＝2或a＝－，a＞0，所以a＝2适合，a＝－不适合。
（3）当S＝15时，△ABC的BC边上的高为5，S△ACD＝8，则S△ABD＝7，×5×BD＝7，BD＝。由B（3，－9），
所以点D的坐标为（，－9）。
（答题时间：20分钟）
1. 把抛物线向左平移两个单位长度得到抛物线为（　　）
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
2. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
*3. 函数，的图象在同一坐标系的图象可能是（ ）

A B C D
*4. 抛物线是由抛物线向 平移 个单位长度得到的，它的开口 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值，是 。
*5. 把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线的图象，则a＝ ，h＝ 。
*6. 二次函数的图象如图所示，已知＝，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

**7. 如图，一位篮球运动员跳起投篮，篮球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米，求：
（1）球在空中运行的最大高度为多少米？
（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离应是多少米？

1. C 解析：抛物线的顶点坐标为，向左平移两个单位得到的抛物线的顶点坐标为，所以平移后的抛物线的解析式为：，故选C。
2. B 解析：抛物线，开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，所以抛物线与轴的交点的个数是2个，故选B。
*3. B 解析：当时，函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；函数的图象经过第一、二、三象限；
当时，函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；函数的图象经过第二、三、四象限。
综上，故选B。
*4. 右，4，向下，直线x＝4，4，大，0
解析：抛物线顶点坐标为，开口向下，对称轴为轴，将此抛物线向右平移4个单位长度就能得到抛物线，所以抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线x＝4，当x＝4时，y有最大值，是0。
*5. 解析：由题意：把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线的图象，可得：顶点坐标由变为，∴平移后的抛物线解析式为：，∴。
*6. 抛物线的解析式为：
解析：由题意可得：，∵OA＝OC，∴点坐标为，又＝，所以得：，即：，解之得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为：。
**7. （1）3.5米；（2）4米
解析：（1）∵抛物线 的顶点坐标为（0，3.5）
∴球在空中运行的最大高度为3.5米；
（2）在中，当时，，
∴，∴，又∵＞0，∴
当时，，
∴，∴，又∵＜0，∴
故运动员距离篮筐中心的水平距离为米。
二次函数图象与性质（3）

一、考点突破
1. 掌握二次函数的图象和性质；
2. 掌握二次函数的两种形式：一般式、顶点式，会求函数解析式。

二、重难点提示
重点：掌握抛物线的对称轴和顶点坐标公式。
难点：求函数解析式。

1. 把二次函数进行配方得，对照顶点式，可得，，所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为。
2.

开口方向
上
下
顶点坐标

对称轴
直线
性质
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小
最值
函数有最小值，最小值为
函数有最大值，最大值
3. 抛物线的开口方向和大小只与字母a的取值有关，抛物线 与y轴的交点的纵坐标就是c，当a、b同号时，抛物线的对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，抛物线的对称轴在y轴的右侧。
4. 用待定系数法求函数解析式
（1）一般式：确定一个二次函数的解析式，需要求出a、b、c的值，通常情况下由已知条件列方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式；
（2）顶点式：确定一个二次函数的解析式，需要求出a、h、k的值，若已知顶点坐标，则使用顶点式较为简便。

例题1 （山东烟台）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点（－3，0），下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中正确的说法是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④
思路分析：①根据抛物线的开口方向，来确定a的符号，综合a的符号和对称轴的位置，来确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置，来确定c的符号。
∵开口向上，∴a＞0；∵抛物线与y轴交于负半轴∴c＜0；∵＝－1＜0∴b＞0，∴abc＜0，故此选项正确。
②利用对称轴求解：∵＝－1，∴2a－b＝0；故此选项正确。
③根据对称轴，即可求出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），然后补齐图象，根据图象特点，即可求出当x＝2时，4a＋2b＋c＞0，故此选项错误。
④把所给两点利用二次函数的对称轴，转化为对称轴同侧图象上的点，即利用对称轴可以求出（－5，y1）的对称点的坐标是（3，0），在对称轴的右侧图象上y随x的增大而增大，故此选项正确。故选C。
答案：C
点评：本题考查二次函数的图象及性质。对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，特别注意二次函数的增减性一定要以对称轴为界，利用数形结合的思想来进行分析。

例题2 （重庆市）如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）。
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点。若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；

思路分析：（1）由抛物线的轴对称性容易求解。
（2）先求出△BOC的面积，然后以OC为底边，点P到OC的距离，即点P的横坐标的绝对值为高，表示△POC的面积，进而求出点P的横坐标，再将其代入抛物线的解析式，求得点P的纵坐标解决问题。
答案：（1）∵点A（－3，0）与点B关于直线x＝－1对称，∴点B的坐标为（1，0）。
（2）∵a＝1，∴y＝x2＋bx＋c。
∵抛物线过点（－3，0），且对称轴为直线x＝－1，
∴
解得b＝2，c＝－3，
∴y＝x2＋2x－3，且点C的坐标（0，－3）。
设点P的坐标为（x，y），由题意得S△BOC＝×1×3＝，∴S△POC＝6。
当x＞0时，有×3×x＝6，∴x＝4，∴y＝42＋2×4－3＝21。
当x＜0时，有×3×（－x）＝6，∴x＝－4，∴y＝（－4）2＋2×（－4）－3＝5。
∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）。
点评：本题考查轴对称，求二次函数的解析式，平面直角坐标系中的图形面积，二次函数的最值。第（2）问中，在表示△POC的面积时，启示我们在坐标系中，求三角形的面积时，一般是将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横（纵）坐标的绝对值作为高。

例题3 （山东临沂）如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标。

思路分析：利用待定系数法求出解析式；利用轴对称求两条线段和的最小值、利用平行四边形的性质构建方程，求点N的坐标。
答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意，得 解得
∴抛物线的解析式为：。
（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求。
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
由题意，得 解得∴直线BC的解析式为。
∵抛物线的对称轴是x＝2，
∴当x＝2时，，
∴点P的坐标是（2，）。
点评：此题考查的知识点较多，综合程度较高，有一定的难度，用待定系数法求函数解析式属于常规题，解决第二小题要使用“牵牛饮水”，或者“将军饮马”这一数学模型。

【高频疑点】对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象：
（1）开口向上a>0；开口向下a<0。
（2）c>0图象与y轴的正半轴有交点；c＝0图象过坐标原点；c<0图象与y轴的负半轴有交点。
（3）根据对称轴和a的符号，确定b的符号，以及a、b之间的数量关系。
（4）根据x＝1时y的值，来确定a＋b＋c的符号；根据x＝－1时y的值，来确定a－b＋c的符号；x＝2时y的值，来确定4a＋2b＋c的符号；根据x＝－2时y的值，来确定4a－2b＋c的符号。
（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性，把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性，即可比较大小。
【矫正训练】（白银）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a－b＜0；②abc＜0；③a＋b＋c＜0；④a－b＋c＞0；⑤4a＋2b＋c＞0，
错误的个数有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴＜0，故b < 0，
且，根据a＜0化简，得到2a－b＜0，①正确；
②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，
故abc＜0，②正确；
③当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，③正确；
④当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，④错误；
⑤当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，⑤错误；
故错误的有2个。
故选B。

（答题时间：20分钟）
1. 二次函数y＝－3x2－6x＋5图象的顶点坐标是（ ）
A.（－1，8） B.（1，8） C.（－1，2） D.（1，－4）
*2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（－1，0），则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2；其中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
*3. 抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b＝______，c＝________。
**4. 已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。下图分别是当，，，时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 。

**5. 如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（－4，0）和（2，0），BC＝，设直线AC与直线x＝4交于点E。
（1）求以直线x＝4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值。

**6. （湖北黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：

（1）用含x的代数式表示t为：t＝ ；当0＜x≤4时， y2与x的函数关系为y2＝ ；当________≤x＜ 时，y2＝100。
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围。
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

1. A 解析：直接将a、b、c的值代入顶点坐标公式即可，也可以使用配方法，将其配成顶点式。
*2. B 解析：由，得，从而可判断①是正确的；当时，，从而可判断②是正确的；由图象可得a＜0，c＞0，从而可判断③是错误的；根据二次函数的对称性可得：当y＜0时，x＜－1或x＞3，从而可判断④是错误的。故选B。
*3. 2；0 解析：函数y＝（x－1）2－4的顶点坐标为（1，－4），
∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1－2＝－1，－4＋3＝－1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（－1，－1），
∴平移前的抛物线为y＝（x＋1）2－1，
即y＝x2＋2x，
∴b＝2，c＝0。
**4. 解析：把，，，分别代入二次函数（为常数）得：，∴顶点分别为：；设直线的解析式是 ，代入两个点的坐标如：和即可求出和的值为：，∴直线的解析式是。
**5.（1）点C的坐标。
设抛物线的函数关系式为，
则，解得。
∴所求抛物线的函数关系式为 ①
设直线AC的函数关系式为则，解得。
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为。
把x＝4代入①式，得，∴此抛物线过E点。
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则
S△CMN＝S△MNG＋S梯形MGBC－S△CBN＝
＝
＝
又，
∴当x＝5时，S△CMN有最大值。
**6. 解：（1）t＝6－x；当0＜x≤4时，y2＝－5（6－x）＋110＝5x＋80；
当4≤x＜6时，y2＝100。
（2）当0＜x≤2时，w＝（15x＋90）x＋（5x＋80）（6－x）＝10x2＋40x＋480；
当2＜x≤4时，w＝（－5x＋130）x＋（5x＋80）（6－x）＝－10x2＋80x＋480；
当4＜x＜6时，w＝（－5x＋130）x＋100（6－x）＝－5x2＋30x＋600。

（3）当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10（x＋2）2＋440，x＝2时，w最大＝600，
当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10（x－4）2＋640，x＝4时，w最大＝640，
当4＜x＜6时，w＝－5x2＋30x＋600＝－5（x－3）2＋645，4＜x＜6时，w＜640；
，
∴x＝4时，w最大＝640。
故该公司每年国内销售量为4千件，国外的销售量为2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大值为640千元。
解析：（1）根据“每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件”，知x＋t＝6，据此易解第（1）问。
（2）w等于国内销售总利润与国外销售总利润的和，即w＝y1x＋y2（6－x），根据第（1）问可得，结合，可知w与x之间属于分段函数关系，自变量x的取值范围分别是0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x≤6；然后将不同取值范围下的解析式代入w＝y1x＋y2（6－x）中得解。
（3）对（2）中w与x之间的各段二次函数关系配方，得出各最大值情况，再把它们进行对比，获得最后的最大值。
点评：本题考查构建二次函数模型求最大值，涉及列函数解析式，配方，二次函数的增减性、极值。这类分段函数问题涉及数量众多，关系错综复杂，求解关键是抓住主要相等关系（如本例中“总利润w＝国内销售总利润＋国外销售总利润＝y1x＋y2（6－x）”），然后理清各段情况下自变量的取值范围，并求出相应函数关系式，这是关键中的关键，最后将它们整体代入主要相等关系式中分类讨论得解。