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,3.1.2,用二分法求方程近似解,第1页,第2页,主题二分法及二分法求函数零点步骤,在一档娱乐节目中,主持人让选手在要求时间内猜某物品价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜物品为价格在1000元之内一款手机,选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.,第3页,1.假如是你,你知道接下来该怎样竞猜吗?,提醒,:,接下来应该猜,“600”,即区间,400,800,中点,.,第4页,2.经过这种方法能猜到详细价格吗?,提醒,:,能够,经过不停地缩小价格所在区间,直至猜到手机价格,.,第5页,3.一样,上节课我们已经知道f(x)=lnx+2x-6零点在区间(2,3)内,那么怎样缩小零点所在区间(2,3)呢?,提醒,:,取区间,(2,3),中点,x,0,=2.5,验证,f(2)f(2.5)0,是否成立,若成立,则函数,f(x),零点在区间,(2,2.5),内,不然在,(2.5,3),内,.,第6页,结论:,1.二分法定义,对于在,区间a,b上_且_函数,y=f(x),经过不停地把函数f(x)零点所在区间一分,为二,使区间_逐步迫近零点,进而得到零点,近似值方法.,连续不停,f(a)f(b)0,两个端点,第7页,2.用二分法求函数f(x)零点近似值步骤,(1)确定区间,a,b,验证_,给定准确度.,(2)求区间(a,b)中点_.,f(a)f(b)0,c,第8页,(3)计算f(c):,若,f(c)=0,则_就是函数零点;,若_,则令b=c(此时零点x,0,(_);,若f(c)f(b)0,则令_(此时零点x,0,(_).,c,f(a)f(c)0,a,c,a=c,c,b,第9页,(4)判断,是否到达准确度:即|a-b|,则得到零点近,似值_;不然重复(2)(4).,a(或b),第10页,【微思索】,1.全部函数零点都能够用二分法求出吗?,提醒,:,不是,比如函数,y=(x+),2,零点,-,就无法用二分法求出,.,第11页,2.当|a-b|时,为何说区间a,b内任意实数x都能够作为零点x,0,近似值?,提醒,:,因为,|x-x,0,|,|a-b|,所以以,x,作为零点,x,0,近似值满足准确度要求,.,第12页,3.用二分法怎样求方程f(x)=g(x)在区间a,b上近似解?,提醒,:,结构:令F(x)=f(x)-g(x);,定区间:确定区间a,b,使F(a),F(b)0;,求解:用二分法求F(x)在区间a,b上零点近似值.,第13页,【预习自测】,1.以下函数中,不能用二分法求零点是(),第14页,【解析】,选B.观察图象与x轴交点,若交点附近函数图象连续且在交点两侧函数值符号相异,则可用二分法求零点.,第15页,2.用二分法求函数f(x)=3,x,-x-4零点时,其参考数据以下,f(1.600 0)=0.200,f(1.587 5)=0.133,f(1.575 0)=0.067,f(1.562 5)=0.003,f(1.556 2)=,-0.029,f(1.550 0)=,-0.060,第16页,据此数据,可得f(x)=3,x,-x-4一个零点近似值(准确度0.01)为(),A.1.55B.1.56C.1.57D.1.58,【解析】,选,B.,依据,零点存在性定理,可知只有f(1.5562)f(1.5625)0,F(0)=-10,所以F(-1),F(0)0时,f(x)0;当x0,所以f(x)=|x|函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点近似值.,第24页,(2)选C.判断函数f(x)=2,x,-x,2,在各个区间两端点符号,若满足条件f(a),f(b)0,f(1.0)=2.0-1.00,故排除A;因为f(1.4)2.639-1.960,f(1.8)3.482-,3.240,故排除B;因为f(1.8)3.482-3.240,f(2.2)4.595-4.840,故可确定方程2,x,=x,2,一定有一个根位于,区间(1.8,2.2).,第25页,【方法总结】,利用二分法求函数零点必须满足两个条件,(1)图象:函数图象在零点附近是连续不停.,(2)函数值:函数在该点两侧函数值符号相反.,第26页,【巩固训练】,1.如图所表示,以下函数图象与x轴都有交点,但不能用二分法求交点横坐标是(),第27页,2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程根所在区间为(),A.(1.25,1.5)B.(1,1.25),C.(1.5,2)D.不能确定,第28页,【解题指南】,1.观察所给函数图象,依据图象特点判断能否利用二分法求交点横坐标.,2.按照二分法判断零点方法,看函数值在哪个区间内符号相反.,第29页,【解析】,1.选A.因A不满足二分法条件,在零点两侧函数值都是正值,故应选A.,2.选A.由题意知f(1.25),f(1.5)0.1;不,妨设根在(2,3)内,第二次等分,则根在区间(2,2.5)内,或(2.5,3)内,此时准确度0.1;不妨设根在(2,2.5),内,第三次等分,则根在区间(2,2.25)内或(2.25,2.5),第35页,内,此时准确度0.1;不妨设根在(2,2.25)内,第四次等分,则根在区间(2,2.125)内或(2.125,2.25)内,此时准确度0.1;不妨设根在(2,2.125)内,第五次等分,则根在区间(2,2.0625)内或(2.0625,2.125)内,此时准确度0.1.满足题目要求,故最少要等分5次.,答案:,5次,第36页,【方法总结】,利用二分法求方程近似解过程步骤,第37页,【巩固训练】,用二分法求方程2x,3,+3x-3=0一个正实数近似解.(准确度0.1),【解题指南】,结构函数f(x)=2x,3,+3x-3,利用零点存在性定理找出函数f(x)正零点所在区间,然后利用二分法求该函数近似零点,即为原方程近似解.,第38页,【解析】,令f(x)=2x,3,+3x-3,经计算,f(0)=-30,f(0)f(1)0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x,3,+3x=3在(0,1)内有解.取(0,1)中点0.5,经计算f(0.5)0,所以方程2x,3,+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程正实数根所在区间,如表:,第39页,(a,b),中点c,f(a),f(b),f,(0,1),0.5,f(0)0,f(0.5)0,(0.5,1),0.75,f(0.5)0,f(0.75)0,(0.5,0.75),0.625,f(0.5)0,f(0.625),0,(0.625,0.75),0.687 5,f(0.625)0,f(0.687 5),0,(0.687 5,0.75),|0.687 5-0.75|=0.062 50.1,第40页,因为|0.6875-0.75|=0.06250.1,所以0.75可作为方程一个正实数近似解.,第41页,拓展类型:二分法实际应用,【典例】,年1月18日,意大利中部发生4次5级以上地震.地震发生后,停水断电,交通受阻.已知A地到B地电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10km长线路,每隔50m有一根电线杆,怎样快速查出故障所在?,第42页,【解题指南】,能够参考二分法求函数零点近似值方法,以降低工作量并节约时间.,第43页,【解析】,如图,可首先从中点C开始检验,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检验,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检验,如此这般,每检验一次就能够将待查线路长度缩短二分之一,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50100m之间,即可快速找到故障所在.,第44页,【方法总结】,(1)现实生活中,有很多问题能够用二分法来求解,比如线路断路、地下管道堵塞、水管泄露等故障查找,试验设计,资料查询等.,(2)经过实际情景抽象出函数,将实际问题转化为用二分法求函数最值.,第45页,【课堂小结】,1.知识总结,第46页,2.方法总结,(1)化归思想:把求方程f(x)=0近似解转化为求函数y=f(x)近似零点.,(2)迫近思想:二分法是求函数零点一个惯用方法,是“逐步迫近”数学思想应用.,第47页,
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