高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.5空间向量及其运算理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

,8.5,空间向量及其运算,1/64,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/64,基础知识自主学习,3/64,1.,空间向量相关概念,知识梳理,名称,概念,表示,零向量,模为 向量,0,单位向量,长度(模)为 向量,相等向量,方向 且模 向量,a,b,0,1,相同,相等,4/64,相反向量,方向 且模 向量,a相反向量为a,共线向量,表示空间向量有向线段所在直线相互 向量,a,b,共面向量,平行于同一个 向量,相反,相等,平行或重合,平面,5/64,2.,空间向量中相关定理,(1),共线向量定理,对空间任意两个向量,a,，,b,(,a,0,),，,b,与,a,共线充要条件是存在实数,使,b,a,.,(2),共面向量定理,假如两个向量,a,，,b,不共线，那么向量,p,与向量,a,，,b,共面充要条件是存在有序实数,(,x,，,y,),，使,.,(3),空间向量基本定理,假如三个向量,e,1,，,e,2,，,e,3,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在惟一有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，使得,p,.,p,x,a,y,b,x,e,1,y,e,2,z,e,3,6/64,3.,空间向量数量积及运算律,(1),数量积及相关概念,两向量夹角,已知两个非零向量,a,，,b,，在空间任取一点,O,，作,a,，,b,，则,AOB,叫做向量,a,，,b,夹角，记作,，其范围是,，若,a,，,b,，则称,a,与,b,，记作,a,b,.,两向量数量积,已知空间两个非零向量,a,，,b,，则,叫做向量,a,，,b,数量积，记作,，即,a,b,.,a,，,b,0,a,，,b,相互垂直,|,a,|,b,|cos,a,，,b,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,7/64,(2),空间向量数量积运算律,结合律：,(,a,),b,；,交换律：,a,b,；,分配律：,a,(,b,c,),.,(,a,b,),b,a,a,b,a,c,8/64,4.,空间向量坐标表示及其应用,设,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,).,向量表示,坐标表示,数量积,ab,_,共线,b,a,(,a,0,，,R,),_,垂直,a,b,0,(,a,0,，,b,0,),_,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,b,1,a,1,，,b,2,a,2,，,b,3,a,3,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,0,9/64,模,|,a,|,_,夹角,a,，,b,(,a,0,，,b,0,),cos,a,，,b,10/64,知识拓展,1.,向量三点共线定理：在平面中,A,、,B,、,C,三点共线充要条件是：,(,其中,x,y,1),，,O,为平面内任意一点,.,2.,向量四点共面定理：在空间中,P,、,A,、,B,、,C,四点共面充要条件是：,(,其中,x,y,z,1),，,O,为空间中任意一点,.,几何画板展示,几何画板展示,11/64,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),空间中任意两非零向量,a,，,b,共面,.(,),(2),在向量数量积运算中,(,a,b,),c,a,(,b,c,).(,),(3),对于非零向量,b,，由,a,b,b,c,，则,a,c,.(,),(4),两向量夹角范围与两异面直线所成角范围相同,.(,),(5),若,A,、,B,、,C,、,D,是空间任意四点，则有,0,.(,),12/64,考点自测,1.,已知正四面体,ABCD,棱长为,a,，点,E,，,F,分别是,BC,，,AD,中点，,则,值为,_.,答案,解析,则,|,a,|,|,b,|,|,c,|,a,，且,a,，,b,，,c,三向量两两夹角为,60.,(,a,2,cos 60,a,2,cos 60),a,2,.,13/64,2.(,苏州模拟,),向量,a,(,2,，,3,1),，,b,(2,0,4),，,c,(,4,，,6,2),，以下结论正确是,_.,a,b,，,a,c;,a,b,，,a,c,；,a,c,，,a,b,.,答案,解析,因为,c,(,4,，,6,2),2(,2,，,3,1),2,a,，,所以,a,c,.,又,a,b,(,2),2,(,3),0,1,4,0,，,所以,a,b,.,14/64,3.(,教材改编,),已知,a,(2,4,，,x,),，,b,(2,，,y,2),，若,|,a,|,6,，且,a,b,，则,x,y,值为,_.,答案,解析,1,或,3,依题意得,x,y,1,或,x,y,3.,15/64,4.,如图，在四面体,O,ABC,中，,a,，,b,，,c,，,D,为,BC,中点，,E,为,AD,中点，则,_.,(,用,a,，,b,，,c,表示,),答案,解析,16/64,5.(,教材改编,),正四面体,ABCD,棱长为,2,，,E,，,F,分别为,BC,，,AD,中点，则,EF,长为,_.,答案,解析,1,2,2,2,1,2,2(1,2,cos 120,0,2,1,cos 120),2,，,17/64,题型分类深度剖析,18/64,题型一空间向量线性运算,例,1,(1),如图所表示，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,为,AC,中点,.,答案,解析,19/64,(2),三棱锥,O,ABC,中，,M,，,N,分别是,OA,，,BC,中点，,G,是,ABC,重心，用基向量,表示,.,解答,20/64,用已知向量表示某一向量方法,用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题关键,.,要正确了解向量加法、减法与数乘运算几何意义,.,首尾相接若干向量之和，等于由起始向量始点指向末尾向量终点向量,.,在立体几何中三角形法则、平行四边形法则依然成立,.,思维升华,21/64,跟踪训练,1,(,盐城模拟,),如图所表示，在空间几何体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，各面为平行四边形，设,a,，,b,，,c,，,M,，,N,，,P,分别是,AA,1,，,BC,，,C,1,D,1,中点，试用,a,，,b,，,c,表示以下各向量：,解答,因为,P,是,C,1,D,1,中点，,22/64,解答,因为,M,是,AA,1,中点，,23/64,题型二共线定理、共面定理应用,例,2,(,南京模拟,),已知,E,，,F,，,G,，,H,分别是空间四边形,ABCD,边,AB,，,BC,，,CD,，,DA,中点,.,(1),求证：,E,，,F,，,G,，,H,四点共面；,证实,连结,BG,，,由共面向量定理推论知,E,，,F,，,G,，,H,四点共面,.,24/64,证实,(2),求证：,BD,平面,EFGH,；,所以,EH,BD,.,又,EH,平面,EFGH,，,BD,平面,EFGH,，,所以,BD,平面,EFGH,.,25/64,(3),设,M,是,EG,和,FH,交点，求证：对空间任一点,O,，有,证实,26/64,找一点,O,，并连结,OM,，,OA,，,OB,，,OC,，,OD,，,OE,，,OG,.,由,(2),知,同理,所以,，即,EH,綊,FG,，,所以四边形,EFGH,是平行四边形，,所以,EG,，,FH,交于一点,M,且被,M,平分,.,27/64,(1),证实空间三点,P,，,A,，,B,共线方法,(,R,),；,对空间任一点,O,，,(,t,R,),；,对空间任一点,O,，,(,x,y,1).,(2),证实空间四点,P,，,M,，,A,，,B,共面方法,对空间任一点,O,，,对空间任一点,O,，,(,x,y,z,1),；,思维升华,28/64,跟踪训练,2,已知,A,，,B,，,C,三点不共线，对平面,ABC,外任一点,O,，若点,M,满足,(1),判断,三个向量是否共面；,解答,由题意知,29/64,(2),判断点,M,是否在平面,ABC,内,.,解答,由,(1),知,共面且基线过同一点,M,，,M,，,A,，,B,，,C,四点共面,.,从而点,M,在平面,ABC,内,.,30/64,题型三空间向量数量积应用,例,3,(,盐城模拟,),如图，已知平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，底面,ABCD,是边长为,1,正方形，,AA,1,2,，,A,1,AB,A,1,AD,120.,(1),求线段,AC,1,长；,解答,31/64,则,|,a,|,|,b,|,1,，,|,c,|,2,，,a,b,0,，,c,a,c,b,2,1,cos 120,1.,线段,AC,1,长为,.,32/64,(2),求异面直线,AC,1,与,A,1,D,所成角余弦值；,解答,设异面直线,AC,1,与,A,1,D,所成角为,，,a,b,c,，,b,c,，,(,a,b,c,)(,b,c,),a,b,a,c,b,2,c,2,0,1,1,2,2,2,2,，,故异面直线,AC,1,与,A,1,D,所成角余弦值为,.,33/64,(3),求证：,AA,1,BD,.,证实,c,(,b,a,),c,b,c,a,(,1),(,1),0,，,，,AA,1,BD,.,34/64,(1),利用向量数量积可证实线段垂直关系，也能够利用垂直关系，经过向量共线确定点在线段上位置；,(2),利用夹角公式，能够求异面直线所成角，也能够求二面角；,(3),能够经过,|,a,|,，将向量长度问题转化为向量数量积问题求解,.,思维升华,35/64,跟踪训练,3,如图，在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，以顶点,A,为端点三条棱长度都为,1,，且两两夹角为,60.,(1),求,长；,解答,则,|,a,|,|,b,|,|,c,|,1,，,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60,，,a,b,b,c,c,a,.,(,a,b,c,),2,a,2,b,2,c,2,2(,a,b,b,c,c,a,),1,1,1,2,(),6,，,，即,AC,1,长为,.,36/64,(2),求,与,夹角余弦值,.,解答,b,c,a,，,a,b,，,(,b,c,a,)(,a,b,),b,2,a,2,a,c,b,c,1,，,即,与,夹角余弦值为,.,37/64,典例,(14,分,),如图，已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，在底面,ABC,中，,CA,CB,1,，,BCA,90,，棱,AA,1,2,，,M,，,N,分别是,A,1,B,1,，,A,1,A,中点,.,(1),求,模；,(2),求,cos,值；,(3),求证：,A,1,B,C,1,M,.,坐标法在立体几何中应用,思想与方法系列,18,规范解答,思想方法指导,利用向量处理立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，经过建立坐标系利用向量坐标进行求解,.,38/64,(1),解,如图，建立空间直角坐标系,.,依题意得,B,(0,1,0),，,N,(1,0,1),，,39/64,(2),解,依题意得,A,1,(1,0,2),，,B,(0,1,0),，,C,(0,0,0),，,B,1,(0,，,1,2).,40/64,(3),证实,依题意得,C,1,(0,0,2),，,M,(,，,2),，,(,1,1,，,2),，,所以,，即,A,1,B,C,1,M,.,14,分,41/64,课时作业,42/64,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.,在以下命题中：,若向量,a,，,b,共线，则向量,a,，,b,所在直线平行；,若向量,a,，,b,所在直线为异面直线，则向量,a,，,b,一定不共面；,若三个向量,a,，,b,，,c,两两共面，则向量,a,，,b,，,c,共面；,已知空间三个向量,a,，,b,，,c,，则对于空间任意一个向量,p,总存在实数,x,，,y,，,z,使得,p,x,a,y,b,z,c,.,其中正确命题个数是,_.,答案,解析,0,43/64,a,与,b,共线，,a,，,b,所在直线也可能重合，故,不正确；,依据自由向量意义知，空间任意两向量,a,，,b,都共面，故,不正确；,三个向量,a,，,b,，,c,中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故,不正确；,只有当,a,，,b,，,c,不共面时，空间任意一向量,p,才能表示为,p,x,a,y,b,z,c,，故,不正确，综上可知四个命题中正确个数为,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,44/64,2.(,苏州模拟,),已知,a,(2,1,，,3),，,b,(,1,2,3),，,c,(7,6,，,),，若,a,，,b,，,c,三向量共面，则,_.,答案,解析,9,由题意知,c,x,a,y,b,，,即,(7,6,，,),x,(2,1,，,3),y,(,1,2,3),，,解得,9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,45/64,3.(,南京检测,),如图所表示，在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,为,A,1,C,1,与,B,1,D,1,交点,.,若,a,，,b,，,c,，则向量,_.,(,用,a,，,b,，,c,表示,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,46/64,4.,如图，在大小为,45,二面角,A,EF,D,中，四边形,ABFE,，,CDEF,都是边长为,1,正方形，则,B,，,D,两点间距离是,_.,答案,解析,1,1,1,3,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,47/64,5.(,徐州模拟,),如图所表示，已知空间四边形,OABC,，其对角线为,OB,，,AC,，,M,，,N,分别为,OA,，,BC,中点，点,G,在线段,MN,上，且,，,若,，则,x,，,y,，,z,值分别为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,48/64,x,，,y,z,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,49/64,6.,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为,a,，点,M,在,AC,1,上且,，,N,为,B,1,B,中点，则,_.,答案,解析,以,D,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,D,xyz,，,则,A,(,a,，,0,0),，,C,1,(0,，,a,，,a,),，,N,(,a,，,a,，,).,设,M,(,x,，,y,，,z,),，,点,M,在,AC,1,上且,，,(,x,a,，,y,，,z,),(,x,，,a,y,，,a,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,50/64,7.,A,，,B,，,C,，,D,是空间不共面四点，且,，,则,BCD,形状是,_,三角形,.(,填锐角、直角、钝角中一个,),答案,解析,锐角,所以,CBD,为锐角,.,同理,BCD,，,BDC,均为锐角,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,51/64,8.(,南京模拟,),设,O,ABC,是四面体，,G,1,是,ABC,重心，,G,是,OG,1,上一点，且,OG,3,GG,1,，若,，则,x,，,y,，,z,值分别,为,_.,答案,解析,如图所表示，取,BC,中点,E,，连结,AE,.,x,y,z,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,52/64,9.(,连云港模拟,),已知,a,(,x,4,1),，,b,(,2,，,y,，,1),，,c,(3,，,2,，,z,),，,a,b,，,b,c,，则,c,_.,答案,解析,(3,，,2,2),因为,a,b,，所以,，,解得,x,2,，,y,4,，,此时,a,(2,4,1),，,b,(,2,，,4,，,1),，,又因为,b,c,，所以,b,c,0,，,即,6,8,z,0,，解得,z,2,，于是,c,(3,，,2,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,53/64,10.,已知,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,为正方体，,向量,与向量,夹角是,60,；,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,体积为,其中正确序号是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,54/64,中，,，故,正确；,中，,，因为,AB,1,A,1,C,，故,正确；,中，两异面直线,A,1,B,与,AD,1,所成角为,60,，但,与,夹角为,120,，故,不正确；,中，,0,，故,也不正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,55/64,*11.,如图，在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,M,，,P,，,Q,分别为棱,AB,，,CD,，,BC,中点，若平行六面体各棱长均相等，则,A,1,M,D,1,P,；,A,1,M,B,1,Q,；,A,1,M,平面,DCC,1,D,1,；,A,1,M,平面,D,1,PQB,1,.,以上正确说法个数为,_.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,56/64,，,A,1,M,D,1,P,，,由线面平行判定定理可知，,A,1,M,平面,DCC,1,D,1,，,A,1,M,平面,D,1,PQB,1,.,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,57/64,12.,如图所表示，已知空间四边形,ABCD,每条边和对角线长都等于,1,，点,E,，,F,，,G,分别是,AB,，,AD,，,CD,中点，计算：,解答,则,|,a,|,|,b,|,|,c,|,1,，,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,58/64,解答,(,bc,ab,c,2,ac,),.,(3),EG,长；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,59/64,(4),异面直线,AG,与,CE,所成角余弦值,.,解答,因为异面直线所成角范围是,，,所以异面直线,AG,与,CE,所成角余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,60/64,*13.,如图，在直三棱柱,ABC,A,B,C,中，,AC,BC,AA,，,ACB,90,，,D,、,E,分别为,AB,、,BB,中点,.,(1),求证：,CE,A,D,；,证实,依据题意得，,|,a,|,|,b,|,|,c,|,，且,ab,bc,ca,0,，,即,CE,A,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,61/64,(2),求异面直线,CE,与,AC,所成角余弦值,.,解答,即异面直线,CE,与,AC,所成角余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,62/64,14.,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,a,，,b,，,c,，点,M,，,N,分别是,A,1,D,，,B,1,D,1,中点,.,(1),试用,a,，,b,，,c,表示,；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,63/64,(2),求证：,MN,平面,ABB,1,A,1,.,证实,即,MN,AB,1,，,AB,1,平面,ABB,1,A,1,，,MN,平面,ABB,1,A,1,，,MN,平面,ABB,1,A,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,64/64,